Sequences and Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sequences and Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

1. समांतर श्रेढ़ी (AP): क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है।

⇒ यदि p, a, q AP में हैं, तो 2a = p + q।

2. गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP): क्रमागत पदों का अनुपात स्थिर होता है।

⇒ यदि p, b, q GP में हैं, तो b² = pq।

3. हरात्मक श्रेढ़ी (HP): पदों के व्युत्क्रम AP में होते हैं।

⇒ यदि p, c, q HP में हैं, तो (1/p), (1/c), (1/q) AP में हैं।

गणना:

समांतर श्रेढ़ी शर्त का उपयोग करते हुए: p, 1, q AP में हैं।

⇒ 2(1) = p + q

⇒ p + q = 2 ............(1)

गुणोत्तर श्रेढ़ी शर्त का उपयोग करते हुए: p, 2, q GP में हैं।

⇒ 2² = p × q

⇒ 4 = pq ............(2)

अब,

\(\frac{2pq}{p + q} = \frac{8}{2} = 4\)

और

\(\frac{p + q}{2pq} = \frac{1}{4}\)

∴ (1/p), (1/4), (1/q) समांतर श्रेढ़ी में हैं और

p, 4 और q हरात्मक श्रेढ़ी में हैं।

इस प्रकार, दोनों कथन सत्य हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

संप्रत्यय:

एक समांतर श्रेढ़ी में, nवाँ पद दिया जाता है:

T_n = a + (n - 1)d

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी में, पद निम्न संबंध को संतुष्ट करते हैं:

T_m² = T_n × T_p

गणना:

मान लीजिए समांतर श्रेढ़ी के 5वें, 7वें और 13वें पद क्रमशः T₅, T₇ और T₁₃ हैं।

⇒ T₅ = a + 4d

⇒ T₇ = a + 6d

⇒ T₁₃ = a + 12d

चूँकि पद गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं:

⇒ T₇² = T₅ × T₁₃

⇒ (a + 6d)² = (a + 4d) × (a + 12d)

दोनों पक्षों का प्रसार करने पर:

⇒ (a + 6d)² = a² + 12ad + 48d²

⇒ a² + 12ad + 36d² = a² + 12ad + 48d²

उभयनिष्ठ पदों को निरस्त करने पर:

⇒ 36d² = 48d²

⇒ -12d² = 0

d² से भाग देने पर (यह मानते हुए कि d ≠ 0):

⇒ a = -3d

निष्कर्ष:

∴ प्रथम पद का सार्व अंतर से अनुपात है:

⇒ a/d = -3

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है,

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम 8 पदों का योग उसके प्रथम 4 पदों के योग का 5 गुना है।

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों के योग का सूत्र है:

\( S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \)

\( S_8 \)और\( S_4 \) के लिए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

\( a \frac{1 - r^8}{1 - r} = 5 \times a \frac{1 - r^4}{1 - r} \)

\( \frac{1 - r^8}{1 - r^4} = 5 \)

\( r^8 - 5r^4 + 4 = 0 \)

मान लीजिये x = r⁴, जिससे द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:

\( x^2 - 5x + 4 = 0 \)

x के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\( x = 4 \quad \text{या} \quad x = 1 \)

चूँकि x = r⁴, यह देता है:

\( r^4 = 4 \Rightarrow r = \pm \sqrt{2} \)

r के संभावित वास्तविक मानों की संख्या दो है: \(\pm \sqrt{2} \).

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है:

किसी श्रेढ़ी S के प्रथम k पदों का योग S_k = 3k² + 5k दिया गया है।

संप्रत्यय:

किसी श्रेढ़ी का nवाँ पद ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

a_n = S_n - S_n-1

यदि nवाँ पद एक समान्तर श्रेढ़ी (AP) बनाता है, तो सार्व अंतर (d) इस प्रकार दिया जाता है:

d = a_n+1 - a_n

गणना:

हमें S_k = 3k² + 5k दिया गया है।

⇒ a_n = S_n - S_n-1

इसलिए S_n = 3n² + 5n और S_n-1 = 3(n-1)² + 5(n-1)

⇒ a_n = [3n² + 5n] - [3(n-1)² + 5(n-1)]

⇒ a_n = [3n² + 5n] - [3(n² - 2n + 1) + 5n - 5]

⇒ a_n = [3n² + 5n] - [3n² - 6n + 3 + 5n - 5]

⇒ a_n = 3n² + 5n - 3n² + 6n - 3 - 5n + 5

⇒ a_n = 6n + 2

यदि क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर है, तो श्रेढ़ी एक समांतर श्रेढ़ी (AP) है।

⇒ सार्व अंतर d = a_n+1 - a_n

⇒ a_n+1 = 6(n+1) + 2 = 6n + 6 + 2 = 6n + 8

⇒ d = (6n + 8) - (6n + 2) = 6

∴ श्रेढ़ी के पद 6 के सार्व अंतर वाली एक समान्तर श्रेढ़ी बनाते हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प B है।

अवधारणा:

• समान्तर श्रेढ़ी (A.P.): एक समान्तर श्रेढ़ी का nवाँ पद दिया जाता है: T_n = a + (n − 1)d
• 3×3 आव्यूह का सारणिक: आव्यूह के लिए, सारणिक है
• समान्तर श्रेढ़ी का योगफल: प्रथम n पदों का योगफल S_n = (n/2)[2a + (n − 1)d] है

गणना:

माना A₁, A₂, A₃ तीन समान्तर श्रेढ़ियाँ हैं जिनके प्रथम पद क्रमशः A, A + 1, A + 2 और सार्व अंतर = d है

⇒ A₁ का 7वाँ पद:

⇒ A₂ का 9वाँ पद:

⇒ A₃ का 17वाँ पद:

दिया गया सारणिक प्रतिबंध:

\(\left|\begin{array}{lll} \mathrm{a} & 7 & 1 \\ 2 \mathrm{~b} & 17 & 1 \\ \mathrm{c} & 17 & 1 \end{array}\right|+70=0\)

पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का प्रसार करते हैं:

= a(17×1 − 1×17) − 7(2b×1 − 1×c) + 1(2b×17 − 17×c)

= a(0) − 7(2b − c) + 1(34b − 17c) + 70 = 0

⇒ −14b + 7c + 34b − 17c + 70 = 0

⇒ (20b − 10c + 70 = 0)

⇒ 2b − c = −7

अब, दिया गया है: a = A + 6d = 29

⇒ A = 29 − 6d

इस प्रकार: b = A + 1 + 8d = (29 − 6d) + 1 + 8d = 30 + 2d

c = A + 2 + 16d = (29 − 6d) + 2 + 16d = 31 + 10d

अब शर्त की जाँच करते हैं: 2b − c = −7

2(30 + 2d) − (31 + 10d) = 60 + 4d − 31 − 10d = 29 − 6d = −7

⇒ 29 + (−6d) = −7

⇒ −6d = −36

⇒ d = 6

अब ज्ञात करते हैं, A = 29 − 6×6 = −7

तब b = 30 + 2×6 = 42

c = 31 + 10×6 = 91

अब, आवश्यक है:

प्रथम पद = c − a − b = 91 − 29 − 42 = 20

सार्व अंतर = d / 12 = 6 / 12 = 0.5

प्रथम 20 पदों का योगफल:

S20 = (20 / 2)[2×20 + (20 − 1)×0.5]

= 10[40 + 9.5]

= 10 × 49.5

= 495

∴ अभीष्ट योगफल 495 है।

संकल्पना:

समांतर श्रेणी (AP):

• संख्याओं का वह अनुक्रम जहाँ किसी भी दो क्रमागत पदों का अंतर समान होता है, उसे समांतर श्रेणी कहा जाता है।
• यदि एक समांतर श्रेणी का पहला पद a है, d सार्व अंतर है और n पदों की संख्या है, तो अनुक्रम को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:
  a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d.
• उपरोक्त श्रृंखला के n पदों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
  Sn = \(\rm \dfrac{n}{2}[a+\{a+(n-1)d\}]=\left (\dfrac{First\ Term+Last\ Term}{2} \right )\times n\)​

गणना:

दी गयी श्रृंखला 5 + 9 + 13 + … + 49 है, जो पहला पद a = 5 और सार्व अंतर d = 4 के साथ एक समांतर श्रेणी है। 

माना कि अंतिम पद 49, nवां पद है। 

∴ a + (n - 1)d = 49

⇒ 5 + 4(n - 1) = 49

⇒ 4(n - 1) = 44

⇒ n = 12.

और, इस समांतर श्रेणी का योग है:

S₁₂ = \(\rm \left (\dfrac{First\ Term+Last\ Term}{2} \right )\times 12\)

= \(\rm \left (\dfrac{5+49}{2} \right )\times 12\) = 54 × 6 = 324.

संकल्पना:

ex का विस्तार:

\(\rm e^{x} = 1+ \dfrac{x}{1!}+ \dfrac{x^2}{2!}+ \dfrac{x^3}{3!}+ \dfrac{x^4}{4!}+ .....\)

गणना:

\(\rm e^{x} = 1+ \dfrac{x}{1!}++ \dfrac{x^2}{2!}+ \dfrac{x^3}{3!}+ \dfrac{x^4}{4!}+ .....\)

x = -1 रखने पर,

\(\rm e^{(-1)} = 1+ \dfrac{(-1)}{1!}++ \dfrac{(-1)^2}{2!}+ \dfrac{(-1)^3}{3!}+ \dfrac{(-1)^4}{4!}+ .....\)

\( \rm e^{-1} = 1- \dfrac{1}{1!}+ \dfrac{1}{2!}- \dfrac{1}{3!}+ \dfrac{1}{4!}- .....\)

\( \therefore \rm 1- \dfrac{1}{1!}+ \dfrac{1}{2!}- \dfrac{1}{3!}+ \dfrac{1}{4!}- ..... = \frac 1 e\)

संकल्पना:

ज्यामितीय श्रेणी में पांच पद:

यदि एक ज्यामितीय श्रेणी में पहला पद a है और सार्व अनुपात r है, तो ज्यामितीय श्रेणी में पांच क्रमागत पद रूप \(\rm \dfrac{a}{r^2},\dfrac{a}{r},a,ar,ar^2\) के हैं।

गणना:

माना कि हम सार्व अनुपात r वाली एक सामान्य ज्यामितीय श्रेणी लेते हैं। 

माना कि ज्यामितीय श्रेणी में पांच पद \(\rm \dfrac{a}{r^2},\dfrac{a}{r},a,ar,ar^2\) हैं। 

यह दिया गया है कि तीसरा पद 9 है। 

इसलिए, a = 9.

अब पांच पदों का गुणनफल निम्न दिया गया है:

\(\rm \dfrac{a}{r^2}\times\dfrac{a}{r}\times a\times ar \times ar^2 = a^5\)

लेकिन हम जानते हैं कि a = 9

अतः गुणनफल \(9^5=3^{10}\) है। 

गणना:

\(\rm \frac{1}{{1 \times 2}} + \frac{1}{{2 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 4}} +...+\frac{1}{{n \times (n+1)}} \)

\(\rm = \frac{{2\; - \;1}}{{1 \times 2}} + \frac{{3\; - \;2}}{{2 \times 3}} + \frac{{4\; - \;3}}{{3 \times 4}} +... + \frac{{(n+1)\; - \;n}}{{n \times (n+1)}}\)

\(\rm = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \;\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\)

\(\rm = 1 - \frac {1}{n+1}\)

\(\rm = \frac {n+1 -1}{n+1}\)

\(\rm = \frac {n}{n+1}\)

संकल्पना:

समांतर श्रेणी श्रंखला के लिए,

n पदों का योग = \(\rm \dfrac n 2\) (पहला पद + nवां पद)

गणना:

हम जानते हैं कि, समांतर श्रेणी श्रंखला के लिए,

n पदों का योग = \(\rm \dfrac n 2\) (पहला पद + nवां पद)

दिया गया है, दी गयी श्रृंखला का nवां पद a_n = 5n + 1 है। 

n = 1 रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

a1 = 5(1) + 1 = 6.

हम जानते हैं कि

n पदों का योग = \(\rm \dfrac n 2\) (पहला पद + nवां पद)

⇒ n पदों का योग = \(\rm \dfrac n 2\) (6 + 5n + 1)

⇒ n पदों का योग = \(\rm \dfrac n 2\) (7+ 5n)

संकल्पना:

• सार्व-अनुपात = r = \(\frac{{{{\rm{a}}_2}}}{{{{\rm{a}}_1}}} = \frac{{{{\rm{a}}_3}}}{{{{\rm{a}}_2}}} = \ldots = \frac{{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{a}}_{{\rm{n}} - 1}}}}\)
• गुणोत्तर श्रेढी का nवाँ पद an = arn−1 है। 
• गुणोत्तर श्रेढी के n पदों का योगफल = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); जहाँ r >1
• गुणोत्तर श्रेढी के n पदों का योगफल = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {1 - {\rm{\;}}{{\rm{r}}^{\rm{n}}}} \right)}}{{1 - {\rm{\;r}}}}\); जहाँ r <1
• अनंत गुणोत्तर श्रेढी का योगफल = \({{\rm{s}}_\infty } = {\rm{\;}}\frac{{\rm{a}}}{{1{\rm{\;}} - {\rm{\;r}}}}{\rm{\;}}\) ; |r| < 1

गणना:

दी गयी शृंखला 5, 10, 20, ... है।  

यहाँ, a = 5, r = 2

n संख्याओं का योगफल = sn = 1275

ज्ञात करना है: चूँकि हम जानते हैं कि, गुणोत्तर श्रेढी के n पदों का योगफल = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); जहाँ r >1

∴ sn = \(\frac{{{\rm{5\;}}\left( {{{\rm{2}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{2}} - {\rm{\;}}1}}\)

1275 = 5 × (2n - 1)

⇒ 255 = (2n - 1)

⇒ 2n = 256

⇒ 2n = 28

∴ n = 8

संकल्पना:

माना कि अनुक्रम a₁, a₂, a₃ …. a_n G.P में है। 

• सार्व अनुपात = r = \(\frac{{{a_2}}}{{{a_1}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_2}}} = \ldots = \frac{{{a_n}}}{{{a_{n - 1}}}}\)
• G.P का nवां पद = arⁿ⁻¹ है। 
• n पदों का योग = s = \(\frac{{a\;\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - 1}}\); जहाँ r >1
• n पदों का योग = s = \(\frac{{a\;\left( {1 - {r^n}} \right)}}{{1 - r}}\); जहाँ  r <1
• अनंत GP का योग = \({{\rm{s}}_\infty } = {\rm{}}\frac{{\rm{a}}}{{1{\rm{}} - {\rm{r}}}}{\rm{}}\); |r| < 1

जहाँ a पहला पद है और r सार्व अनुपात है। 

गणना:

दिया गया है: GP का तीसरा पद 3 है। 

माना कि 'a' पहला पद है और 'r' सार्व अनुपात है। 

∴ T₃ = ar² = 3

हम जानते हैं कि T_n = a r^n-1

इसलिए, T₁ = a, T₂ = ar, T₃ = ar², T₄ = ar³, T₅ = ar⁴

दिया है :

दो संख्याओं के हरात्मक माध्य और गुणोत्तर माध्य, क्रमशः 10 और 12 हैं।

प्रयुक्त अवधारणा :

(गुणोत्तर माध्य)² = हरात्मक माध्य × समान्तर माध्य 

गणना :

ऊपर दिए गए सूत्र के अनुसार

(12)² = 10 × समान्तर माध्य  

⇒ समान्तर माध्य = 144/10 

⇒ 14.4 

∴ विकल्प 4 सही उत्तर होगा।

Alternate Method 

अवधारणा:

a और b के बीच समान्तर माध्य = \(a+b \over 2\)

a और b के बीच गुणोत्तर माध्य = \(\sqrt{ab} \)

a और b के बीच हरात्मक माध्य = \(2ab\over a+b \)

गणना​:

दिया गया है, G.M. = 12, H.M. = 10

\(GM = \sqrt{ab} \)

\(12^2 = ab\)

ab = 144 ........(1)

\(HM=\frac{2ab}{a+b}\)

\(10=\frac{2ab}{a+b}\)

2ab = 10a + 10b

ab = 5 (a + b)........(2)

समीकरण (1) और (2) से

144 = 5 (a + b)

\(\frac{144}{5}=a+b\)

\(\frac{144}{10}=\frac{a+b}{2}\)

\(\frac{a+b}{2}=14.4\)

लेकिन, हम जानते हैं कि,

a और b के बीच समान्तर माध्य = 

Therefore, समान्तर माध्य = 14.4

धारणा:

हम मानते हैं कि अनुक्रम a1, a2, a3 …. an एक G.P. है

• सार्व अनुपात = r = \(\frac{{{a_2}}}{{{a_1}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_2}}} = \ldots = \frac{{{a_n}}}{{{a_{n - 1}}}}\)
• G.P. का nवां पद है = arn−1
• n पदों का योग = s = \(\frac{{a\;\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - \;1}}\); जहाँ r >1
• n पदों का योग = s = \(\frac{{a\;\left( {1 - \;{r^n}} \right)}}{{1 - \;r}}\); जहाँ r <1

गणना:

दिया हुआ:

एक G. P का चौथा पद 8 और दसवां पद 27 है

G.P. का nवां पद T_n = a r^n-1 है

∴ T₄ = a. r³ = 8      ----(1)

T₁₀ = a r⁹ = 27      ----(2)

समीकरण (2) ÷ (1), हमें मिलता 

\( {r^6} = \frac{{27}}{8}\)

\(\Rightarrow {\left( {{{\rm{r}}^2}} \right)^3} = {\rm{\;}}{\left( {\frac{3}{2}} \right)^3}\)

∴ \({r^2} = \frac{3}{2}\)

T₆ = a r⁵

= a r³.r²

\(= 8 \times \frac{3}{2} \)

दिया है:

दो श्रेढ़ियाँ अर्थात् S1 और S2 दी गई हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

a_n = a + ( n - 1 ) d 

S_n = n/2 [2a + (n - 1) d ] 

जहाँ,

श्रेढ़ी में a_n = nवां पद, n = पदों की संख्या, a = श्रेढ़ी में पहला पद, d = सार्व अंतर, Sn = योग

गणना:

यहाँ, श्रेढ़ी S1 और S2 समान्तर श्रेणी में हैं।

इसलिए, श्रेढ़ी एक निश्चित सार्व अंतर (दूसरा पद - पहला पद) को क्रमागत पदों में जोड़कर आगे बढ़ेगी

S1 = 2 , 9 , 16 , 23, 30 , 37 , 44 , 51 ,........ 632    [चूँकि यहाँ d = 7, इसलिए, अगला पद प्राप्त करने के लिए पिछले पद में 7 जोड़ना है ]

S2 = 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51 , ......... 743  [यहाँ d = 4 ] 

अब, हम एक तीसरी श्रेढ़ी S3 लेते हैं जो उभयनिष्ठ श्रेढ़ी है [इसमें केवल दोनों श्रेढ़ियों की उभयनिष्ठ संख्याएँ होंगी]

इसलिए, S1 और S2 श्रेढ़ी से, यहाँ पहला उभयनिष्ठ पद = 23, दूसरा उभयनिष्ठ पद = 51, d = (51 - 23) = 28 है

इसलिए, तीसरा पद प्राप्त करने के लिए दूसरे पद में 28 जोड़ें और इसी प्रकार आगे

S3 = 23 , 51 , .................. \(\le\)  632            [चूंकि, 632, 743 से कम है इसलिए उनके बीच उभयनिष्ठ 632 से कम होना चाहिए]

अब, यहाँ a = 23, d = 28 है

⇒ a_n = a + ( n - 1) d    \(\le\) 632 

⇒ 23 + ( n - 1) × 28 \(\le\) 632 

⇒ ( n -  1) × 28  \(\le\)  ( 632 - 23 ) 

⇒ ( n - 1) × 28  \(\le\) 609 

⇒ n -1 \(\le\) 609 /28 

⇒ n - 1 \(\le\) 21.75 

⇒ n \(\le\) 22 .75

जैसा कि n को 22.75 के बराबर या उससे कम होना चाहिए। अतः, n = 22 लें 

अब, जैसा कि हम जानते हैं कि, 

Sn = n/2 [2a + (n - 1) d]

⇒ Sn = 22/2 [2 × 23 + (22 - 1) 28] = 11 [46 + 21 × 28 ]

⇒ 11 [46 + 588 ] = 11 × 634 = 6974

इसलिए, श्रेढ़ी के सभी उभयनिष्ठ पदों का योग 6974 है।