Determinants MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Determinants - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है:

\(\begin{vmatrix} x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3 \end{vmatrix} = 0\) और \(\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} \neq 0\)

\(\begin{vmatrix} x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3 \end{vmatrix} = 0\)

⇒ \(\begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & x^2 & x^3 \\ y & y^2 & y^3 \\ z & z^2 & z^3 \end{vmatrix} = 0\)

⇒ \(\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} + xyz \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} = 0\)

⇒ \((1+xyz)\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} = 0\)

चूँकि \(\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} \neq 0\) है, इसलिए 1 + xyz = 0 होना चाहिए। 

⇒ xyz = -1

अतः विकल्प 2 सही है। 

अवधारणा

जिसके तीन शीर्ष दिए गए हैं, किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

\(​A = \frac{1}{2} | x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2 ) | \)

स्पष्टीकरण:

\(A = \frac{1}{2} [|1(5-3) + 2(3-2) + 4(2-5)|] \)

\(A = \frac{1}{2} |1× 2 + 2 × 1 + 4 × (-3) | \)

\(A = \frac{1}{2} | 2 + 2 - 12| \)

\(A = \frac{1}{2} |-8| \)

\(A = \frac{1}{2} × 8 = 4 \)

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

हम जानते हैं कि एक आव्यूह A के सहखंडज का सारणिक, adj(A), निम्न द्वारा दिया जाता है:

\( \det(\text{adj}(A)) = \det(A)^{n-1}\)

जहाँ n आव्यूह की कोटि है। एक \(3 \times 3 \) आव्यूह के लिए:

\( \det(\text{adj}(A)) = \det(A)^2\)

आव्यूह \(A^{-1}\) के लिए, हमारे पास है:

\( \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\)

और:

\( \det(\text{adj}(A^{-1})) = \det(A^{-1})^2 = \left(\frac{1}{\det(A)}\right)^2 = \frac{1}{\det(A)^2} \)

आव्यूह के सहखंडज के सहखंडज का सारणिक (अर्थात, \(\text{adj}(\text{adj}(A^{-1}))\)) है:

\( \det(\text{adj}(\text{adj}(A^{-1}))) = \left(\frac{1}{\det(A)^2}\right)^2 = \frac{1}{\det(A)^4}\)

चूँकि \(\det(A) = 2\) है, हमारे पास है:

\( \det(\text{adj}(\text{adj}(\text{adj}(A^{-1})))) = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256} \)

सही विकल्प (d) : \(\frac{1}{256}\) है। 

व्याख्या:

विषम कोटि के किसी भी विषम सममित आव्यूह का सारणिक हमेशा शून्य होता है। 

∴ विकल्प (b) सही है।

रखेंधारणा:

यदि \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_{11}}}&{{{\rm{a}}_{12}}}\\ {{{\rm{a}}_{21}}}&{{{\rm{a}}_{22}}} \end{array}} \right]\) है, तो A का सारणिक निम्न दिया गया है:

|A| = (a­11 × a22) - (a12 - a21).

​गणना:

दिया हुआ: \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{\;}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ {\rm{x}}&{\rm{a}} \end{array}} \right|\)

ज्ञात करना है: 2f(x) – f(2x) =?

\({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{\;}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ {\rm{x}}&{\rm{a}} \end{array}} \right| = \left( {1 \times {\rm{a}}} \right) - \left( {2 \times {\rm{x}}} \right)\)

\( \Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{a}} - 2{\rm{x\;\;}}\)

इसलिए, \({\rm{f}}\left( {2{\rm{x}}} \right) = {\rm{a}} - 2\left( {2{\rm{x}}} \right) = {\rm{a}} - 4{\rm{x}}\)                 (x = 2x रखें)

\(\therefore 2{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{\;f}}\left( {2{\rm{x}}} \right) = 2\left( {{\rm{a}} - 2{\rm{x}}} \right) - \left( {{\rm{a}} - 4{\rm{x}}} \right)\)

\(\Rightarrow 2{\rm{a}} - 4{\rm{x}} - {\rm{a}} + 4{\rm{x}} = {\rm{a}}\)

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

एक आव्यूह की सारणिक के गुण:

• यदि एक सारणिक के किसी भी पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि 0 है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 
• किसी वर्ग आव्यूह अर्थात् A के लिए, |A| = |AT|.
• यदि हम एक आव्यूह के किसी दो पंक्तियों (स्तंभों) को एक-दूसरे से परिवर्तित करते हैं, तो सारणिक को -1 से गुणा किया जाता है। 
• यदि एक आव्यूह की कोई भी दो पंक्तियां (स्तंभ) समान होती है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

गणना:

\(\begin{vmatrix} \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x & \rm y & \rm z \end{vmatrix}\)

R3 → R3 - R2 लागू करने पर

= \(\begin{vmatrix} \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c \end{vmatrix}\)

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिए गए आव्यूह की पहली और तीसरी पंक्ति बराबर हैं। 

हम जानते हैं कि, यदि एक आव्यूह की कोई भी दो पंक्तियां (स्तंभ) समान होती है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

\(\begin{vmatrix} \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x & \rm y & \rm z \end{vmatrix}\) = 0

संकल्पना:

\(\rm i = \sqrt {-1}\)

i² = -1 , i³ = - i, i⁴ = 1, i⁶ = - 1 , i⁸ = 1 , i⁹ = i, i ¹² = 1, और i¹⁵ = - i

गणना:

दी गयी सारणिक \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{i}}&{{{\rm{i}}^2}}&{{{\rm{i}}^3}}\\ {{{\rm{i}}^4}}&{{{\rm{i}}^6}}&{{{\rm{i}}^8}}\\ {{{\rm{i}}^9}}&{{{\rm{i}}^{12}}}&{{{\rm{i}}^{15}}} \end{array}} \right|\) है। 

 चूंकि हमारे पास निम्न है, 

\(\rm i = \sqrt {-1}\)

i2 = -1 , i3 = - i, i4 = 1, i6 = - 1 , i8 = 1 , i9 = i, i 12 = 1, और i15 = - i

=\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{i}}&{{{\rm{-1}}}}&{{{\rm{-i}}}}\\ {{{\rm{1}}}}&{{{\rm{-1}}}}&{{{\rm{1}}}}\\ {{{\rm{i}}}}&{{{\rm{1}}}}&{{{\rm{-i}}}} \end{array}} \right|\)

=i(i - 1) + 1(-i - i) - i (1 + i)

= i² - i - 2i - i - i²

= - 4i

संकल्पना

माना कि समीकरणों की प्रणाली निम्न है,

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

\(\; \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right] = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_1}}\\ {{d_2}}\\ {{d_3}} \end{array}} \right]\)

⇒ AX = B

⇒ X = A^-1 B = \(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}\;B\)

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल वाली संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B = 0 है, तो प्रणाली अनंत रूप से कई हलों के साथ संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B ≠ 0 है, तो प्रणाली असंगत (कोई हल नहीं) है। 

गणना:

दिया गया समीकरण: kx + y + z = 1, x + ky + z = k और x + y + kz = k²

\( \Rightarrow {\rm{A}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right],{\rm{B}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right]{\rm{and\;C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {\rm{k}}\\ {{{\rm{k}}^2}} \end{array}} \right]\)

⇒ दिए गए समीकरण का कोई हल नहीं होने के लिए, |A|=0

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right| = 0\)

⇒ k (k² – 1) -1(K – 1) +1(1 – k) = 0

⇒ k³ – k – k +1 +1 – k = 0

⇒ k³ -3k +2 = 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0

⇒ k = 1, -2

यदि हम दिए गए उपरोक्त समीकरण में k = 1 रखते हैं, तो सभी समीकरण समान हो जायेगा। 

अतः k = -2 होने पर दिए गए समीकरण में कोई हल नहीं हैं। 

संकल्पना:

यदि \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_{11}}}&{{{\rm{a}}_{12}}}\\ {{{\rm{a}}_{21}}}&{{{\rm{a}}_{22}}} \end{array}} \right]\) है, तो A की सारणिक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

|A| = a11 × a22 – a21 × a12

|An| = |A|n

गणना:

दिया गया है कि,

\({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}&2\\ 4&{\rm{x }} \end{array}} \right]\) और  |A2​| = 64

⇒ |A| = x2 - 8          .... (1)

दिया गया है |A2| = 64

⇒ |A|2 = 64         [∵ |An| = |A|n]

⇒ |A| = (64)1/2 = 8         ....(2)

समीकरण 1 और 2 से 

⇒ x2 - 8 = 8

⇒ x2 = 16

संकल्पना:

1. एक 3 × 3 आव्यूह का सारणिक:

• माना कि A एक 3 × 3 आव्यूह निम्न दिया गया है:

\({\rm{A}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{a}}&{\rm{b}}&{\rm{c}}\\ {\rm{f}}&{\rm{e}}&{\rm{d}}\\ {\rm{g}}&{\rm{h}}&{\rm{i}} \end{array}} \right]\)

तो |A| के मान को det(A) के रूप में भी लिखा गया है:

det (A) = a (ei - dh) – b (fi - dg) + c (fh - eg)

2. एक आव्यूह की सारणिक का गुण:

• माना कि A कोटि n × n और det(A) = k वाला एक आव्यूह है। तो एक सदिश c के लिए निम्नलिखित गुण हैं:

          det(cA) = cⁿ det(A)

गणना:

सर्वप्रथम दिए गए आव्यूह की सारणिक का मूल्यांकन कीजिए:

det(A) = 4(15 - 0) – 7(-5 + 4) + 1(0 + 6)

= 4(15) -7(-1) + 1(6)

= 60 + 7 + 6

= 73

अब गुण का प्रयोग करने पर det(3A) का मान निम्न है:

det(3A) = 3³ det(A)

= 27 × 73

= 1971

संकल्पना:

शीर्ष (x1, y1) , (x2, y2), (x3, y3) वाले एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 12 \rm \begin{vmatrix} \rm x_1&\rm y_1 &1 \\ x_2& \rm y_2&1 \\ \rm\rm x_3 &\rm y_3&1 \end{vmatrix}\)

गणना:

दिया गया है, शीर्ष (-3, 0), (3, 0) और (0, k) वाले एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है। 

​⇒ क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 12 \rm \begin{vmatrix} \rm -3&\rm 0 &1 \\ 3& 0&1 \\ 0 &k&1 \end{vmatrix}\)

⇒ क्षेत्रफल = \(\dfrac 12\)[-3(0 - k) - 0 + 1(3k)]

⇒ क्षेत्रफल = 3k

प्रश्न के अनुसार, त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है। 

⇒ 3k = 9

⇒ k = 3

अतः k का मान 3 है। 

अवधारणा :

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ×a2

गणना:

दिया है : इसके शीर्षों के निर्देशांक (x1, y1); (x2, y2): (x3, y3) हैं फिर सारणिक \(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\) का वर्ग

(△ ABC ) = \(\dfrac{1}{2}\) \(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\) = ( \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ) ×a²

दोनों ओर वर्ग करने पर,

⇒ \(\dfrac{1}{4}\)\(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\)= \(\dfrac{3a^4}{16}\)

⇒ \(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\)= \(\dfrac{3a^4}{4}\)

संकल्पना:

यदि  \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right]\) है, तो A की सारणिक निम्न दी गयी है: |A| = (a­₁₁ × a₂₂) - (a₁₂ - a₂₁).

यदि  \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right]\) है, तो A की सारणिक निम्न दी गयी है:

|A| = a₁₁ × {(a₂₂ × a₃₃) - (a₂₃ × a₃₂)} - a₁₂ × {(a₂₁ × a₃₃) - (a₂₃ × a₃₁)} + a₁₃ × {(a₂₁ × a₃₂) - (a₂₂ × a₃₁)}

गणना:

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&0&2\\ {2x}&2&1\\ 1&1&1 \end{array}} \right| = x \times \left( {2 - 1} \right) - 0 \times \left( {2x - 1} \right) + 2 \times \left( {2x - 2} \right) = 5x - 4\)

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {3x}&0&2\\ {{x^2}}&2&1\\ 0&1&1 \end{array}} \right| = 3x \times \left( {2 - 1} \right) - 0 \times \left( {{x^2} - 0} \right) + 2 \times \left( {{x^2} - 0} \right) = 2{x^2} + 3x\)

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&0&2\\ {2x}&2&1\\ 1&1&1 \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {3x}&0&2\\ {{x^2}}&2&1\\ 0&1&1 \end{array}} \right| = \left( {5x - 4} \right) + \left( {2{x^2} + 3x} \right) = 2{x^2} + 8x - 4 = 0\)

⇒ 2x² + 8x - 4 = 0

ax² + bx + c = 0 के साथ समीकरण  2x2 + 8x - 4 = 0 की तुलना करने पर, हमें a = 2, b = 8 और c = - 4 प्राप्त होता है। 

संकल्पना:

सारणिक के गुण:

n×n वाले आव्यूह A के लिए, det(kA) = kn det(A).

गणना:

दिया गया है कि:

|A| = 5

k = 5

सारणिकों के गुणों से हम जानते हैं कि |KA| = Kn |A| है, जहाँ n सारणिक की कोटि है। 

यहाँ n = 2 है, इसलिए उत्तर K2 |A| है। 

|5A| = 52|A|

|5A| = 52 × 5 = 125