Determinants MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Determinants - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

భావన

సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉండనివ్వండి,

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

⇒ AX = B

⇒ X = A-1 B =\(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}\;B\)

⇒ det (A) ≠ 0 అయితే, సిస్టమ్ ప్రత్యేక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

⇒ det (A) = 0 మరియు (adj A) అయితే. B = 0, సిస్టమ్ స్థిరంగా ఉంటుంది, అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.

⇒ det (A) = 0 మరియు (adj A) అయితే. B ≠ 0, సిస్టమ్ అస్థిరంగా ఉంది (పరిష్కారం లేదు)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన:

kx + y + z = 1, x + ky + z = k మరియు x + y + kz = k2

\( \Rightarrow {\rm{A}} = {\rm{}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right],{\rm{B}} = {\rm{}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right]{\rm{and\;C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {\rm{k}}\\ {{{\rm{k}}^2}} \end{array}} \right]\)

⇒ ఇచ్చిన సమీకరణాలకు పరిష్కారం లేకపోవడానికి, |A| = 0

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right| = 0\)

⇒ k(k2 – 1) - 1(k – 1) + 1(1 – k) = 0

⇒ k3 – k – k + 1 + 1 – k = 0

⇒ k3 -3k +2 = 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0

⇒ k = 1, -2

పైన ఇచ్చిన సమీకరణాలలో మనం k = 1ని ఉంచినట్లయితే, అన్ని సమీకరణాలు ఒకేలా మారతాయి.

కాబట్టి, ఇచ్చిన సమీకరణాలకు k = - 2 అయితే పరిష్కారం ఉండదు.

ఇవ్వబడింది:

\(\left|\begin{array}{ccc} 2 x-4 & 4 & 0 \\ 2 & x-1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{array}\right|=0\)

భావన:

నిర్ణాయక విస్తరణ భావనను ఉపయోగించండి.

లెక్కింపు:

\(\left|\begin{array}{ccc} 2 x-4 & 4 & 0 \\ 2 & x-1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{array}\right|=0\)

మూడవ నిలువు వరుసకు సంబంధించి విస్తరించండి, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

\(\rm 0-1((2x-4)\times(2)-2\times4)+0=0\)

⇒ 4x - 8 - 8 = 0

⇒ 4x = 16

⇒ x = 4

కాబట్టి ఎంపిక (1) సరైనది.

భావన:

ఫార్ములా:

త్రిభుజం వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1\\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: శీర్షాల (-k , k), (1 , 0) మరియు (5 , 0) ద్వారా ఏర్పడిన త్రిభుజం వైశాల్యం 8 చదరపు యూనిట్లు.

వైశాల్యం  = \(\frac{1}{2}\begin{vmatrix} -k & k& 1 \\ 1 & 0 & 1\\5 & 0 & 1 \end{vmatrix}\)

⇒ |- k(0 × 1 - 0 × 1) - k(1 × 1 - 5 × 1) + 1(1 × 0 - 5 × 0)| = 8 × 2

⇒ |4k| = 16

⇒ k = ± 4

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక 3

భావన

సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉండనివ్వండి,

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

⇒ AX = B

⇒ X = A-1 B =\(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}\;B\)

⇒ det (A) ≠ 0 అయితే, సిస్టమ్ ప్రత్యేక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

⇒ det (A) = 0 మరియు (adj A) అయితే. B = 0, సిస్టమ్ స్థిరంగా ఉంటుంది, అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.

⇒ det (A) = 0 మరియు (adj A) అయితే. B ≠ 0, సిస్టమ్ అస్థిరంగా ఉంది (పరిష్కారం లేదు)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన:

kx + y + z = 1, x + ky + z = k మరియు x + y + kz = k2

\( \Rightarrow {\rm{A}} = {\rm{}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right],{\rm{B}} = {\rm{}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right]{\rm{and\;C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {\rm{k}}\\ {{{\rm{k}}^2}} \end{array}} \right]\)

⇒ ఇచ్చిన సమీకరణాలకు పరిష్కారం లేకపోవడానికి, |A| = 0

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right| = 0\)

⇒ k(k2 – 1) - 1(k – 1) + 1(1 – k) = 0

⇒ k3 – k – k + 1 + 1 – k = 0

⇒ k3 -3k +2 = 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0

⇒ k = 1, -2

పైన ఇచ్చిన సమీకరణాలలో మనం k = 1ని ఉంచినట్లయితే, అన్ని సమీకరణాలు ఒకేలా మారతాయి.

కాబట్టి, ఇచ్చిన సమీకరణాలకు k = - 2 అయితే పరిష్కారం ఉండదు.

భావన:

శీర్షాల ద్వారా ఏర్పడిన త్రిభుజం వైశాల్యం సున్నా అయితే, మూడుబిందువులు సమరేఖీయంగా ఉంటాయి

ఫార్ములా:

త్రిభుజం వైశాల్యం =\(|\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1\\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}|\)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన:

బిందువులు  A(a , b), B(b , a) మరియు C(2a - 3b , 3b - a)

వైశాల్యం =\(|\frac{1}{2}\begin{vmatrix} a & b & 1 \\ b & a & 1\\2a-3b & 3b-a & 1 \end{vmatrix}|\)

= 1/2[a(a × 1 - (3b - a) × 1) -b(b × 1 - (2a - 3b) × 1) +1(b × (3b - a) - (2a - 3b) × a)]

⇒ వైశాల్యం = 0

అందువల్ల బిందువులు సమరేఖీయంగా ఉంటాయి.

గణన:

ఇచ్చినది, D = \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ ^nC_1 & ^{n+3}C_1 & ^{n+6}C_1 \\ ^nC_2 & ^{n+3}C_2 & ^{n+6}C_2 \\ \end{vmatrix}\)

= \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ n & n+3 & n+6 \\ \frac{n(n-1)}{2} & \frac{(n+3)(n+2)}{2} & \frac{(n+6)(n+5)}{2} \\ \end{vmatrix}\)

= \(\frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ n & n+3 & n+6 \\ n^2-n & n^2+5n+6 & n^2+11n+30 \\ \end{vmatrix}\)

C₂ → C₂ − C₁ మరియు C₃ → C₃ − C₁ అనువర్తిస్తే

= \(\frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ n & 3 & 6 \\ n^2-n & 6n+6 & 12n+30 \\ \end{vmatrix}\)

= \(\frac{1}{2}\)[3(12n + 30) − 6(6n + 6)]

= \(\frac{1}{2}\)[36n + 90 − 36n − 36]

= \(\frac{1}{2}\)[54]

= 27 = 33 = 3ⁿ

⇒ n = 3

∴ n యొక్క గరిష్ట విలువ 3.

సరైన సమాధానం 1వ ఎంపిక.

ఇవ్వబడింది:

\(\left|\begin{array}{ccc} 2 x-4 & 4 & 0 \\ 2 & x-1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{array}\right|=0\)

భావన:

నిర్ణాయక విస్తరణ భావనను ఉపయోగించండి.

లెక్కింపు:

\(\left|\begin{array}{ccc} 2 x-4 & 4 & 0 \\ 2 & x-1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{array}\right|=0\)

మూడవ నిలువు వరుసకు సంబంధించి విస్తరించండి, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

\(\rm 0-1((2x-4)\times(2)-2\times4)+0=0\)

⇒ 4x - 8 - 8 = 0

⇒ 4x = 16

⇒ x = 4

కాబట్టి ఎంపిక (1) సరైనది.

సిద్ధాంతం:

\(\Delta \left( x \right)=\left| \begin{matrix} {{f}_{1}}\left( x \right) & {{f}_{2}}\left( x \right) & {{f}_{3}}\left( x \right) \\ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \\ \end{matrix} \right|\) అయితే, \( \Delta’ \left( x \right)=\left| \begin{matrix} {{f}_{1}}’\left( x \right) & {{f}_{2}}’\left( x \right) & {{f}_{3}}’\left( x \right) \\ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

సాధారణంగా, \(\begin{array}{l}{{\Delta }^{n}}\left( x \right)=\left| \begin{matrix} f_{1}^{n}\left( x \right) & f_{2}^{n}\left( x \right) & f_{3}^{n}\left( x \right) \\ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \\ \end{matrix} \right|\end{array}\)

ఇక్కడ n ఏదైనా ధన పూర్ణ సంఖ్య మరియు fⁿ(x) అనేది f(x) యొక్క n^th అవకలజాన్ని సూచిస్తుంది.

గణన:

ఇచ్చినది, \(\rm f(x)=\begin{vmatrix}x^n&\sin x&\cos x\\\ n!& \sin \left(\frac{n\pi}{2}\right)&\cos \left(\frac{n\pi}{2}\right)\\\ a&a^2&a^3\end{vmatrix}\)

⇒ \(\rm \frac{d^n}{dx^n}[f(x)]\) = \(\left| \begin{matrix} \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left( {{x}^{n}} \right) & \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left( \sin x \right) & \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left( \cos x \right) \\ n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \\ a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

= \(\left| \begin{matrix} n! & \sin \left( x+\frac{n\pi }{2} \right) & \cos \left( x+\frac{n\pi }{2} \right) \\ n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \\ a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

∴ \(\\ {{\left( \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left\{ f\left( x \right) \right\} \right)}}\)

= \(\left| \begin{matrix} n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \\ n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \\ a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

= 0

∴ x = 0 వద్ద \(\rm \frac{d^n}{dx^n}[f(x)]\) విలువ 0.

సరైన సమాధానం 3వ ఎంపిక.

సమాధానం : 2

పరిష్కారం :

\(\left|\begin{array}{ccc} \cos (A+B) & -\sin (A+B) & \cos (2 B) \\ \sin A & \cos A & \sin B \\ -\cos A & \sin A & \cos B \end{array}\right|=0\)

cos(A + B) [(cos A cos B - sin A sin B)] + sin(A + B) [sin A cos B + sin B cos A] + cos 2B [sin² A + cos² A] = 0

cos(A + B) cos(A + B)

+sin(A + B) sin(A + B) + cos 2 B = 0

cos² (A + B) + sin² (A + B) + cos 2 B = 0

1 + cos 2 B = 0

2 cos² B -1 = 0

2 cos² B = 1

cos²B = 1/2

cos B = 0

∴ \(B=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \text { for }(n \in Z)\)

వివరణ -

మనకు α ≠ a, β ≠ b, γ ≠ c మరియు \(\left|\begin{array}{lll}\alpha & {b} & {c} \\ \mathrm{a} & \beta & c \\ {a} & {b} & \gamma\end{array}\right|=0\) అని ఇవ్వబడింది.

R₁ → R₁ - R₂, R₂ → R₂ - R₃

\(\left|\begin{array}{ccc} α-\mathrm{a} & \mathrm{b}-β & 0 \\ 0 & β-\mathrm{b} & \mathrm{c}-γ \\ \mathrm{a} & \mathrm{b} & γ \end{array}\right|\) = 0

(α - a) (γ(β - b) - b(c - γ)) - (b - β) (- a(c - γ)) = 0

γ(α - a) (β - b) - b(α - a) (c - γ) + a(b - β) (c - γ)

\(\frac{\gamma}{\gamma-\mathrm{c}}+\frac{\mathrm{b}}{\beta-\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{a}}{\alpha-\mathrm{a}}=0\)

కాబట్టి 3వ ఎంపిక సరైనది.