Triangles MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Triangles - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

వివరణాత్మక పరిష్కారం:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

⇒ ∠A + ∠B + 72° + 80° = 360°

⇒ ∠A + ∠B = 360° - 152° = 208°

ΔAOB లో

∠A/2 + ∠B/2 + ∠AOB = 180°

⇒ ∠A/2 + ∠B/2 + ∠AOB = 180°

⇒ ∠AOB = 180° - (∠A + ∠B)/2

⇒ ∠AOB = 180° - 208°/2

∴ ∠AOB = 180° - 104° = 76°

 Additional Information  Short Trick:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

2∠AOB = ∠C + ∠D

⇒ 2∠AOB = 72° + 80°

⇒ ∠AOB = 152°/2 = 76°

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ఒక వృత్తం 30 సెం.మీ, 40 సెం.మీ మరియు 50 సెం.మీ భుజాల త్రిభుజాన్ని చుట్టుముడుతోంది.

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

వృత్తం చుట్టుకొలత = 2πr

సాధన:

వర్ణించబడిన త్రిభుజం ఒక లంబ త్రిభుజం (నుండి\(30^2 + 40^2 = 50^2\)), దీనిని పైథాగరియన్ ట్రిప్లేట్ అని కూడా పిలుస్తారు.

ఒక లంబ త్రిభుజంలో, చుట్టుకొలత (త్రిభుజాన్ని చుట్టుముట్టే వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం) కర్ణములో సగం పొడవు ఉంటుంది.

కర్ణము 50 సెం.మీ కాబట్టి, చుట్టుకొలత 50/2 = 25 సెం.మీ.

చుట్టుకొలత వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత 2 × π × 25 సెం.మీ = 50π సెం.మీ.

∴ ఎంపిక 4 సరైన సమాధానం.

వివరణాత్మక పరిష్కారం:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

⇒ ∠A + ∠B + 72° + 80° = 360°

⇒ ∠A + ∠B = 360° - 152° = 208°

ΔAOB లో

∠A/2 + ∠B/2 + ∠AOB = 180°

⇒ ∠A/2 + ∠B/2 + ∠AOB = 180°

⇒ ∠AOB = 180° - (∠A + ∠B)/2

⇒ ∠AOB = 180° - 208°/2

∴ ∠AOB = 180° - 104° = 76°

 Additional Information  Short Trick:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

2∠AOB = ∠C + ∠D

⇒ 2∠AOB = 72° + 80°

⇒ ∠AOB = 152°/2 = 76°

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ఒక వృత్తం 30 సెం.మీ, 40 సెం.మీ మరియు 50 సెం.మీ భుజాల త్రిభుజాన్ని చుట్టుముడుతోంది.

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

వృత్తం చుట్టుకొలత = 2πr

సాధన:

వర్ణించబడిన త్రిభుజం ఒక లంబ త్రిభుజం (నుండి\(30^2 + 40^2 = 50^2\)), దీనిని పైథాగరియన్ ట్రిప్లేట్ అని కూడా పిలుస్తారు.

ఒక లంబ త్రిభుజంలో, చుట్టుకొలత (త్రిభుజాన్ని చుట్టుముట్టే వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం) కర్ణములో సగం పొడవు ఉంటుంది.

కర్ణము 50 సెం.మీ కాబట్టి, చుట్టుకొలత 50/2 = 25 సెం.మీ.

చుట్టుకొలత వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత 2 × π × 25 సెం.మీ = 50π సెం.మీ.

∴ ఎంపిక 4 సరైన సమాధానం.

ఇవ్వబడినవి:

O అనేది ΔABC యొక్క లంబకేంద్రము అయితే, ∠BOC = 100° మరియు ∠AOB = 90°

నిర్వచనాలు:

లంబకేంద్రము అనేది త్రిభుజంలోని మూడు శీర్షాల నుండి అన్ని ఎత్తుల ఖండన స్థానం

ఒకవేళ ΔABCలో, CE మరియు BD ఎత్తులో ఉంటే మరియు అవి O వద్ద కలుస్తాయి,

∠BOC + ∠BAC = 180 ^∘

ఒక బిందువు చుట్టూ ఉన్న అన్ని కోణాల మొత్తం 360°.

లెక్కలు:

ప్రశ్న ప్రకారం,

∠AOB + ∠BOC + ∠AOC = 360° (సంపూర్ణ కోణం)

⇒ 90° + 100° + ∠AOC = 360° 

⇒ ∠AOC = 360° - 190° = 170° 

ఇప్పుడు, ∠AOC = 180° – ∠ABC

⇒ ∠ABC = 180° – ∠AOC

⇒ ∠ABC = 180° – 170° = 10°

∴ ∠ABC యొక్క కొలత 10°.

కాన్సెప్ట్:

త్రిభుజం యొక్క చిన్న భుజం = చిన్న కోణానికి ఎదురుగా

త్రిభుజం యొక్క పొడవైన భుజం = గొప్ప కోణానికి ఎదురుగా.

లెక్కింపు:

ఇలా అనుకుందాం,

∠A = 2x, ∠B = 4x, ∠C = 3x

మనకు తెలిసింది,

∠A + ∠B + ∠C = 180∘

⇒ 2x + 4x + 3x = 180∘

⇒ 9x = 180∘

⇒ x = 20∘

అందుకే,

∠A = 2x = 40∘

 ∠B = 4x = 80∘

∠C = 3x = 60∘

అందువల్ల, చిన్న భుజం మరియు పొడవైన భుజాల BC మరియు AC ఉంటాయి

భావన:

త్రిభుజంలోని అన్ని కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలకు సమానం.

ఒకే చేయి మరియు శీర్షాన్ని పంచుకునే రేఖపై ఉన్న కోణాల జత ఎల్లప్పుడూ 180 డిగ్రీల మొత్తాన్ని ఇస్తుంది.

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన:

బొమ్మ నుండి, 110 ^o కోణం ప్రక్కనే ఉన్న కోణం 180 ^o - 110 ^o = 70 ^o కి సమానం

త్రిభుజం లోపల కోణాల మొత్తం సూత్రం ప్రకారం, మనం వ్రాయవచ్చు

x + 60 ^o + 70 ^o = 180 ^o

\(\Rightarrow\) x + 130 ^o = 180 ^o

\(\Rightarrow\) x = 50 ^o

కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక 1 .

భావన:

ఒక త్రిభుజం యొక్క అంతర్కేంద్రం అనేది ఆ త్రిభుజంలోని మూడు అంతర్గత కోణ ద్విభాగాల ఖండన బిందువు.

త్రిభుజం ABC యొక్క అంతర్కేంద్రం యొక్క నిరూపకాలు, శీర్షాల నిరూపకాలు, $A\left({\mathrm{x1,\; y1}}^{}\right),B(x2,\; y2),C(x3,\; y3)$ మరియు వైపులాa$,$b,cఎ , బి , సి a , b , c a,b,c ఉన్నాయి:

\((\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c},\frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c})\)

లెక్కింపు:

(1.5, 0), (1.5, 6) మరియు (-1, 6) అనేవి త్రిభుజం యొక్క మధ్య బిందువులు.

మధ్య బిందువులు ఉన్న యాదృచ్ఛిక త్రిభుజాన్ని గీద్దాం.

A, B, C శీర్షాల విలువలను కనుగొనండి.

X_a = 1.5 + 1.5 - (-1) = 4    Y_a = 0 + 6 - 6 = 0

X_b = 1.5 + (-1) - 1.5 = -1    Y_b = 0 + 6 - 6 = 0

X_c = 1.5 + (-1) - 1.5 = -1      Y_c = 6 + 6 - 0 = 12

శీర్షాల విలువలను లెక్కించిన తర్వాత యాదృచ్ఛిక త్రిభుజం:

శీర్షాల విలువలతో నిరూపక అక్షంపై యాదృచ్ఛిక త్రిభుజాన్ని గీయండి.

పై త్రిభుజం ABC నుండి,

(x₁ , y₁ ) బిందువు A యొక్క నిరూపకాలు మరియు 'a' బిందువు A కి ఎదురుగా ఉన్న త్రిభుజం వైపు.

(x₂ , y₂ ) బిందువు B యొక్క నిరూపకాలు మరియు 'b' బిందువు B కి ఎదురుగా ఉన్న త్రిభుజం వైపు.

(x₃ , y₃) బిందువు C యొక్క నిరూపకాలు మరియు 'c' బిందువు C కి ఎదురుగా ఉన్న త్రిభుజం వైపు.

AB = 5, BC = 12, AC = ?

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం,

AC² = AB² + BC²

AC² = 5² + 12² = 169

∴ AC = 13

కాబట్టి, (x₁, y₁) = (4, 0) మరియు a = 12

(x₂ , y₂ ) = (-1, 0) మరియు b = 13

(x₃ , y₃ ) = (-1, 12) మరియు c = 5

త్రిభుజం ABC యొక్క అంతర్కేంద్రం యొక్క నిరూపకాలు,

\((I_x,I_y)=(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c},\frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c})\)

\((I_x,I_y)=(\frac{12\times 4+13\times (-1) + 5\times (-1)}{12+13+5},\frac{12\times 0+13\times 0 + 5\times 12}{12+13+5})\)

\((I_x,I_y)=(\frac{30}{30}, \frac{60}{30})\)

\((I_x,I_y)=(1, 2)\)

భావన:

త్రిభుజం చుట్టుకొలత = అన్ని వైపుల మొత్తం

త్రిభుజం వైశాల్యం = (1/2)బేస్ × ఎత్తు

లెక్కింపు:

ఇది ప్రస్తావించబడనందున, Δ ABC ఏ రకమైన త్రిభుజం. కాబట్టి, గణనను సులభతరం చేయడానికి

మనం ఊహిద్దాం, Δ ABC అనేది ∠A 90° ఉన్న లంబకోణ త్రిభుజం.

a = 5, b = 4, మరియు c = 3 (పైథాగరియన్ ట్రిపుల్)

పై భావనను ఉపయోగించి, చుట్టుకొలత

p = 3 + 4 + 5

⇒ p = 12

త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం

q = (1/2) 3 × 4

⇒ q = 6

అందువల్ల, అవసరమైన విలువ

\(\Rightarrow p(p-2a) \tan \frac{A}{2}\) = 12(12 - 2 × 5)tan (90°/2) [∵ ∠A = 90°]

⇒ p(p − 2a)tan(A/2) = 24 [∵ tan 45° = 1

ఎంపిక 4 నుండి

4q = 4 × 6 = 24

∴ 4q సరైన సమాధానం.

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి కాన్సెప్ట్:

త్రిభుజం చుట్టుకొలత = అన్ని భుజాల మొత్తం = a + b + c

స్కేలేన్ త్రిభుజం వైశాల్యం = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) ,

హాఫ్ యాంగిల్ ఫార్ములా: \(\displaystyle tan(\frac{A}{2})=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \)

ఇక్కడ 2s = a + b + c మరియు a, b, c త్రిభుజం యొక్క భుజాలు.

లెక్కింపు:

p అనేది త్రిభుజం చుట్టుకొలత అయితే,

p = a + b + c ----(1)

q = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) ----(2)

ఇక్కడ a , b , c అనేవి త్రిభుజం యొక్క భుజాలు.

ఇప్పుడు,

\(\displaystyle \frac{q}{s(s-a)}\) = ( a + b+ c ) ( a + b+ c - 2a ) \(\displaystyle \tan \left(\frac{A}{2}\right) \)

⇒ ( a + b+ c ) ( a + b+ c - 2a ) \(\displaystyle \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \)

⇒ (a + b+ c) (a + b+ c - 2a) \(\displaystyle \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}×\frac{s(s-a)}{ s(s-a)}} \)

భావన:

కోణ ద్విభాగ సిద్ధాంతం:

త్రిభుజంలోని ఒక కోణ ద్వంద్వ త్రిభుజం యొక్క ఇతర రెండు వైపులా అదే నిష్పత్తిలో ఉన్న రెండు భాగాలుగా ఎదురుగా విభజిస్తుంది.

కొసైన్ నియమం

చూపిన విధంగా త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి:

కొసైన్ నియమానికి సంబంధించిన ముగింపులు క్రిందివి

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc × cosA

b 2 = a 2 + c 2 - 2ac × cosB

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab × cosC

A, B, C శీర్షాల వద్ద ఉన్న కోణాలు

లెక్కింపు:

దానిని బట్టి,

AB = 2, BC = √7 మరియు AC = 3

కొసైన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc × cosA

\(⇒cos\ A = \frac{b^2\ +\ c^2\ -\ a^2}{2bc}\)

\(⇒ cos\ A= \frac{2^2\ +\ 3^2\ -\ (\sqrt 7)^2}{2\ \times\ 2\ \times \ 3}\)

⇒ cos A = 1/2

⇒ A = 60 ^∘

కాబట్టి, AD పంక్తి ∠A యొక్క కోణ ద్విసెక్టార్

అందుకే,

కోణ ద్విభాగ సిద్ధాంతం నుండి,

\(\frac{BD}{DC} = \frac{2}{3}\)

\(⇒ \frac{BD\ +\ DC}{DC} = \frac{2\ +\ 3}{3}\)

\(⇒ \frac{BC}{DC} = \frac{5}{3}\)

⇒ DC = \(\frac{3\sqrt 7}{5}\)

కాబట్టి, ఎంపిక 3 సరైనది.

వివరణాత్మక పరిష్కారం:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

⇒ ∠A + ∠B + 72° + 80° = 360°

⇒ ∠A + ∠B = 360° - 152° = 208°

ΔAOB లో

∠A/2 + ∠B/2 + ∠AOB = 180°

⇒ ∠A/2 + ∠B/2 + ∠AOB = 180°

⇒ ∠AOB = 180° - (∠A + ∠B)/2

⇒ ∠AOB = 180° - 208°/2

∴ ∠AOB = 180° - 104° = 76°

 Additional Information  Short Trick:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

2∠AOB = ∠C + ∠D

⇒ 2∠AOB = 72° + 80°

⇒ ∠AOB = 152°/2 = 76°

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ఒక వృత్తం 30 సెం.మీ, 40 సెం.మీ మరియు 50 సెం.మీ భుజాల త్రిభుజాన్ని చుట్టుముడుతోంది.

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

వృత్తం చుట్టుకొలత = 2πr

సాధన:

వర్ణించబడిన త్రిభుజం ఒక లంబ త్రిభుజం (నుండి\(30^2 + 40^2 = 50^2\)), దీనిని పైథాగరియన్ ట్రిప్లేట్ అని కూడా పిలుస్తారు.

ఒక లంబ త్రిభుజంలో, చుట్టుకొలత (త్రిభుజాన్ని చుట్టుముట్టే వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం) కర్ణములో సగం పొడవు ఉంటుంది.

కర్ణము 50 సెం.మీ కాబట్టి, చుట్టుకొలత 50/2 = 25 సెం.మీ.

చుట్టుకొలత వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత 2 × π × 25 సెం.మీ = 50π సెం.మీ.

∴ ఎంపిక 4 సరైన సమాధానం.