Vector Algebra MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Vector Algebra - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

పద్ధతి:

 \(\rm \vec{a}\) ప్రొజెక్షన్​ అయిన \(\rm \vec{b}\)  దిశ = \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(\vec a.\vec b)\)

సాధన:

ఇచ్చిన కోణం \(\rm \vec{a} \ and \ \vec{b} \ is \ \dfrac{2\pi}{3}\) మరియు ప్రొజెక్షన్​ \(\vec{a}\) \(\vec{b}\)యొక్క దిశ -2

సమాచారం ప్రకారం, 

 \(\vec{a}\) ప్రొజెక్షన్​ అయిన \(\rm \vec{b}\)= \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(\vec a.\vec b)\) యొక్క దిశ

⇒ - 2 = \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(|\vec a||\vec b|\;cos\;\dfrac {2\pi}{3})\)

⇒ - 2 = \(\rm |\vec a|\;cos\;\dfrac {2\pi}{3}\)

⇒ - 2 = \(\rm |\vec a|\;(\dfrac {-1}{2})\)

⇒  \(\rm |\vec a| = 4\)

కావునn \(\rm \vec{a} \ and \ \vec{b} \ is \ \dfrac{2\pi}{3}\) మధ్యకోణం \(\vec{a}\) ప్రొజెక్షన్​ అయిన \(\vec{b}\) దిశ -2, అయిన \(|\vec{a}|=\) 4

భావన:

రెండు నాభిశ్రుతిలు క్రాస్/నాభిశ్రుతి లబ్ధం ఇలా నిర్వచించబడింది:

\({\rm{ \vec{A} \times \vec{B} = }}\left| {\rm{A}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{B}} \right|{\rm{ \times sin}}\;{\rm{\theta }} \times \rm ̂{n}\)

ఇక్కడ θ అనేది \({\rm{⃗ A}}\;{\rm{and}}\;{\rm{⃗ B}}\) మధ్య కోణం.

ఇక్కడ \(\rm ̂ n\) అనేది యూనిట్ నాభిశ్రుతి 

\(\rm \vec A = a_1̂ i +a_2̂ j+ a_3̂ k\) మరియు \(\rm \vec B = b_1̂ i +b_2̂ j+b_3 ̂ k\) అయితే, వాటి క్రాస్ ఉత్పత్తి:

\(\rm \vec A\times\vec B=\begin{vmatrix} \rm ̂ i & \rm ̂ j & \rm ̂ k \\ \rm a_1 & \rm a_2 & \rm a_3 \\ \rm b_1 & \rm b_2 & \rm b_3\end{vmatrix}\) .

లెక్కింపు:

వీలు,

\(\vec{a}\ =\ (3\vec{i}+4\vec{j})\)

\(\vec{b}\ =\ (\vec{i}-\vec{j}+\vec{k})\)

\(\rm \vec a\times\vec b=\begin{vmatrix} \rm ̂ i & \rm ̂ j & \rm ̂ k \\ \rm 3 & \rm 4 & \rm 0 \\ \rm 1 & \rm -1 & \rm 1\end{vmatrix}\)

= î(4 + 0) - ĵ (3 - 0) + k̂(- 3 - 4)

⇒ \((3\vec{i}+4\vec{j})\times (\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}) = 4\vec{i}-3\vec{j}-7\vec{k}\)

ఇప్పుడు,

\(|4\vec{i}-3\vec{j}-7\vec{k}|=\ \sqrt{4^2\ +\ 3^2\ +\ 7^2}\)

⇒ \(|4\vec{i}-3\vec{j}-7\vec{k}|=\ \sqrt{74}\)

\(\Rightarrow \ \sqrt{74}\ =|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta\)

\(\Rightarrow \ \sqrt{74}\ = 5\sqrt{3}\sin \theta\)

అందువలన,

\(\sin \theta = \frac{\sqrt{74}}{5\sqrt{3}}\)

పద్ధతి:

 \(\rm \vec{a}\) ప్రొజెక్షన్​ అయిన \(\rm \vec{b}\)  దిశ = \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(\vec a.\vec b)\)

సాధన:

ఇచ్చిన కోణం \(\rm \vec{a} \ and \ \vec{b} \ is \ \dfrac{2\pi}{3}\) మరియు ప్రొజెక్షన్​ \(\vec{a}\) \(\vec{b}\)యొక్క దిశ -2

సమాచారం ప్రకారం, 

 \(\vec{a}\) ప్రొజెక్షన్​ అయిన \(\rm \vec{b}\)= \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(\vec a.\vec b)\) యొక్క దిశ

⇒ - 2 = \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(|\vec a||\vec b|\;cos\;\dfrac {2\pi}{3})\)

⇒ - 2 = \(\rm |\vec a|\;cos\;\dfrac {2\pi}{3}\)

⇒ - 2 = \(\rm |\vec a|\;(\dfrac {-1}{2})\)

⇒  \(\rm |\vec a| = 4\)

కావునn \(\rm \vec{a} \ and \ \vec{b} \ is \ \dfrac{2\pi}{3}\) మధ్యకోణం \(\vec{a}\) ప్రొజెక్షన్​ అయిన \(\vec{b}\) దిశ -2, అయిన \(|\vec{a}|=\) 4

గణన:

A, B, C, D, E, F ల స్థాన సదిశలు వరుసగా a̅ , b̅, c̅, d̅ , e̅, f̅ గా ఉండనివ్వండి.

∴ \(\overline{\mathrm{d}}=\frac{\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}}}{2}, \overline{\mathrm{e}}=\frac{\overline{\mathrm{c}}+\overline{\mathrm{a}}}{2}, \overline{\mathrm{f}}=\frac{\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}}{2}\)

ఇప్పుడు, \(\overline{\mathrm{AD}}+\frac{2}{3} \overline{\mathrm{BE}}+\frac{1}{3} \overline{\mathrm{CF}}\)

= \(\overline{\mathrm{d}}-\overline{\mathrm{a}}+\frac{2}{3}(\overline{\mathrm{e}}-\overline{\mathrm{b}})+\frac{1}{3}(\overline{\mathrm{f}}-\overline{\mathrm{c}})\)

= \(\frac{\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}}}{2}-\overline{\mathrm{a}}+\frac{2}{3}\left(\frac{\overline{\mathrm{c}}+\overline{\mathrm{a}}}{2}-\overline{\mathrm{b}}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}}{2}-\overline{\mathrm{c}}\right)\)

= \(\frac{\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}}-2 \overline{\mathrm{a}}}{2}+\frac{\overline{\mathrm{c}}+\overline{\mathrm{a}}-2 \overline{\mathrm{~b}}}{3}+\frac{\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}-2 \overline{\mathrm{c}}}{6}\)

= \(\frac{3 \overline{\mathrm{c}}-3 \overline{\mathrm{a}}}{6}\)

= \(\frac{3}{6}(\overline{\mathrm{c}}-\overline{\mathrm{a}})\)

= \(\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}\)

∴ కావలసిన సమాధానం \(\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}\).

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.

భావన:

రెండు నాభిశ్రుతిలు క్రాస్/నాభిశ్రుతి లబ్ధం ఇలా నిర్వచించబడింది:

\({\rm{ \vec{A} \times \vec{B} = }}\left| {\rm{A}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{B}} \right|{\rm{ \times sin}}\;{\rm{\theta }} \times \rm ̂{n}\)

ఇక్కడ θ అనేది \({\rm{⃗ A}}\;{\rm{and}}\;{\rm{⃗ B}}\) మధ్య కోణం.

ఇక్కడ \(\rm ̂ n\) అనేది యూనిట్ నాభిశ్రుతి 

\(\rm \vec A = a_1̂ i +a_2̂ j+ a_3̂ k\) మరియు \(\rm \vec B = b_1̂ i +b_2̂ j+b_3 ̂ k\) అయితే, వాటి క్రాస్ ఉత్పత్తి:

\(\rm \vec A\times\vec B=\begin{vmatrix} \rm ̂ i & \rm ̂ j & \rm ̂ k \\ \rm a_1 & \rm a_2 & \rm a_3 \\ \rm b_1 & \rm b_2 & \rm b_3\end{vmatrix}\) .

లెక్కింపు:

వీలు,

\(\vec{a}\ =\ (3\vec{i}+4\vec{j})\)

\(\vec{b}\ =\ (\vec{i}-\vec{j}+\vec{k})\)

\(\rm \vec a\times\vec b=\begin{vmatrix} \rm ̂ i & \rm ̂ j & \rm ̂ k \\ \rm 3 & \rm 4 & \rm 0 \\ \rm 1 & \rm -1 & \rm 1\end{vmatrix}\)

= î(4 + 0) - ĵ (3 - 0) + k̂(- 3 - 4)

⇒ \((3\vec{i}+4\vec{j})\times (\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}) = 4\vec{i}-3\vec{j}-7\vec{k}\)

ఇప్పుడు,

\(|4\vec{i}-3\vec{j}-7\vec{k}|=\ \sqrt{4^2\ +\ 3^2\ +\ 7^2}\)

⇒ \(|4\vec{i}-3\vec{j}-7\vec{k}|=\ \sqrt{74}\)

\(\Rightarrow \ \sqrt{74}\ =|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta\)

\(\Rightarrow \ \sqrt{74}\ = 5\sqrt{3}\sin \theta\)

అందువలన,

\(\sin \theta = \frac{\sqrt{74}}{5\sqrt{3}}\)