Statistics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Statistics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

\(\overline x = \frac{x_1+x_2+x_3+......... x_n}{n}\)

⇒ \(x_1+x_2+X_3+......x_n= n\overline x \)

⇒ जब x_n को k से प्रतिस्थापित किया जाता है तब माध्य

⇒ नया माध्य = \(\frac{x_1+x_2+x_3+......... x_{n-1}+k}{n}\)

= \(\frac{n\overline x -x_n+k}{n}\)

∴ विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

दिया गया है:

\(\rm \Sigma_{i=1}^9x_i^2=885\)

प्रसरण σ² = \(\rm \Sigma_{i=1}^9x_i^2 - (माध्य)^2\)

= \(\frac{885}{9} -(M)^2\)

इसलिए, σ² + M² = \(\frac{885}{9} = 98.33\) (लगभग 95 के करीब)

हालांकि, प्रश्न में दिया गया योग 885 है, यदि हम मान लें कि योग 855 है तो:

σ² + M² = \(\frac{855}{9} = 95\)

इसलिए, विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

10 प्राकृत संख्याओं का माध्य

⇒ \(\overline{x} = \frac{1+2+3+4+....10}{10}\)

= \(\frac{10\times11}{2\times10}\) = 5.5

माध्य विचलन = \(\frac{|1- 5.5| + |2-5.5| + |3- 5.5| + ... + |10- 5.5|}{10} = 2.5\)

∴ विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

माध्य = \(\frac{1+ 4+ 9 ... n^2}{n}\)

⇒ 130 = \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n}\)

⇒ 780 = 2n² + 3n + 1

⇒ 2n² + 3n - 779 =0

⇒ 2n² + 41n - 38n - 779 = 0

⇒ n(2n + 41) - 19(2n + 41) = 0

⇒ (2n + 41) (n - 19) = 0

⇒ n = 19 ..... ( n = \(-\frac{41}{2}\) संभव नहीं है)

∴ विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

x पर y की समाश्रयण रेखा

⇒x - 3y + 4 = 0

⇒x = 3y - 4

⇒ b_xy = 3

x पर y की समाश्रयण रेखा

⇒ 2x - 7y+8 = 0

⇒ y =\(\frac{2}{7}x + \frac{8}{7}\)

⇒ b_yx = 2/7

अब

⇒ b _xy + 7b _yx = 3 + 7 x 2 /7 = 5

∴ विकल्प (d) सही है

दिया गया है:

दिया गया आंकड़ा 5, 10, 3, 6, 4, 8, 9, 3, 15, 2, 9, 4, 19, 11, 4 है

प्रयुक्त अवधारणा:

बहुलक वह मान है जो किसी आंकड़े में सबसे अधिक बार आता है

माध्यक ज्ञात करने के समय

सबसे पहले, दिए गए आंकड़ें को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिये और फिर पद ज्ञात कीजिये

प्रयुक्त सूत्र:

माध्य = सभी पदों का योग/पदों की कुल संख्या

माध्यक = {(n + 1)/2}^वां पद जब n विषम होगा

माध्यक = 1/2[(n/2)वां पद + {(n/2) + 1}वां] पद जब n सम होगा

परास = अधिकतम मान – न्यूनतम मान

गणना:

दिए गए आंकड़ें को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 11, 15, 19

यहाँ, अधिकतर आने वाला आंकड़ा 4 है तो

बहुलक = 4

दिए गए आंकड़ें में कुल पद, (n) = 15 (यह विषम है)

माध्यक = {(n + 1)/2}वां पद जब n विषम है

⇒ {(15 + 1)/2}वां पद

⇒ (8)वां पद

⇒ 6 

अब, परास = अधिकतम मान – न्यूनतम मान

⇒ 19 – 2 = 17

परास, बहुलक और माध्यक का माध्य = (परास + बहुलक + माध्यक)/3

⇒ (17 + 4 + 6)/3 

⇒ 27/3 = 9

∴ परास, बहुलक और माध्यक का माध्य 9 है।

प्रयुक्त सूत्र:

वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य निम्न द्वारा दिया गया है,

\(\bar X\ = \frac{∑ f_iX_i}{∑ f_i}\)

जहां, \(u_i \ = \ \frac{X_i\ -\ a}{h}\)

Xi = वर्ग i का माध्य

fi = वर्ग i के अनुरूप बारंबारता

दिया गया है:

गणना:

अब, नीचे, आंकड़ों के माध्य की गणना करने के लिए ∑fiXi और ∑fi को ज्ञात करना,

तब,

हम जानते हैं कि वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य है

\(\bar X\ = \frac{∑ f_iX_i}{∑ f_i}\)

= \(\frac{1535}{43}\)

= 35.7

अतः, वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य 35.7 है। 

संकल्पना:

माध्य: आंकड़ों के समूह का माध्य या औसत आंकड़ों के समूह में सभी संख्याओं को जोड़कर और फिर समूह में मानों की संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।

बहुलक: बहुलक वह मान है जो आंकड़ों के समूह में सबसे अधिक बार आता है।

माध्यिका: माध्यिका एक संख्यात्मक मान है जो एक समूह के ऊपरी आधे हिस्से को निचले आधे हिस्से से अलग करता है।

माध्य, बहुलक और माध्यिका के बीच संबंध:

बहुलक = 3(माध्यिका) - 2(माध्य)

गणना:

दिया है कि,

आंकड़ों का माध्य = 4 और आंकड़ों का बहुलक = 10

हम जानते हैं कि,

बहुलक = 3(माध्यिका) - 2(माध्य)

⇒ 10 = 3(माध्यिका) - 2(4)

⇒ 3(माध्यिका) = 18

⇒ माध्यिका = 6

अतः, आंकड़ों की माध्यिका 6 होगी।

प्रयुक्त सूत्र:

• σ2 = ∑(xi – x)2/n
• मानक विचलन समान होता है जब प्रत्येक तत्व को एक ही स्थिरांक से बढ़ाया जाता है

गणना:

चूंकि प्रत्येक डेटा में 10 की वृद्धि होती है,

मानक विचलन में कोई परिवर्तन नहीं होगा क्योंकि (xi – x) समान रहता है।

∴ 10, 11, 12, 13 _____ 19 का मानक विचलन K होगा।

Alternate Method 

संकल्पना:

माध्यिका: माध्यिका संख्याओं के वर्गीकृत-आरोही या अवरोही सूची में मध्य संख्या होती है। 

स्थिति 1: यदि अवलोकनों (n) की संख्या सम होती है। 

\({\rm{Median\;}} = {\rm{\;}}\frac{{{\rm{value\;of\;}}{{\left( {\frac{{\rm{n}}}{2}} \right)}^{{\rm{th}}}}{\rm{\;observation\;}} + {\rm{\;\;value\;of\;}}{{\left( {\frac{{\rm{n}}}{2}{\rm{\;}} + 1} \right)}^{{\rm{th}}}}{\rm{\;observation}}}}{2}\)

स्थिति 2: यदि अवलोकनों की संख्या (n) विषम होती है। \({\rm{Median\;}} = {\rm{value\;of\;}}{\left( {\frac{{{\rm{n}} + 1}}{2}} \right)^{{\rm{th}}}}{\rm{\;observation}}\)

गणना:

दिया गया मान 2, 6, 6, 8, 4, 2, 7, 9 

आरोही क्रम में अवलोकनों को व्यवस्थित करने पर:

2, 2, 4, 6, 6, 7, 8, 9

यहाँ, n = 8 = सम 

चूँकि हम जानते हैं, यदि n सम है तो,

\({\rm{Median\;}} = {\rm{\;}}\frac{{{\rm{value\;of\;}}{{\left( {\frac{{\rm{n}}}{2}} \right)}^{{\rm{th}}}}{\rm{\;observation\;}} + {\rm{\;\;value\;of\;}}{{\left( {\frac{{\rm{n}}}{2}{\rm{\;}} + 1} \right)}^{{\rm{th}}}}{\rm{\;observation}}}}{2}\)

= \(\rm \frac{4^{th} \;\text{observation}+5^{th} \;\text{observation}}{2} \)

= \(\frac{6+6}{2} =6\)

अतः माध्यक = 6

गणना:

माना कि संख्याएँ x1, x2, x3, x4 हैं।

चार संख्याओं का माध्य x1, x2, x3, x4 = 37

चार संख्याओं का योग x1, x2, x3, x4 = 37 × 4 = 148.

तीन न्यूनतम संख्याओं का माध्य x1, x2, x3 = 34

तीन न्यूनतम संख्याओं का योग x1, x2, x3 = 34 × 3 = 102.

∴ अधिकतम संख्या का मान x4 = 148 – 102 = 46.

रेंज (अधिकतम और न्यूनतम संख्याओं के बीच का अंतर) x4 – x1 = 15.

∴ न्यूनतम संख्या x1 = 46 – 15 = 31.

अब,

x2, x3 का योग = कुल योग – (न्यूनतम और अधिकतम संख्या का योग)

⇒ 148 – (46 + 31)

⇒ 148 – 77

⇒ 71

अब,

संकल्पना:

मानक विचलन:

अवलोकन समुच्चय \(\rm \{x_i,i=1,2,3,\cdots\}\) का मानक विचलन निम्नानुसार दिया गया है:

\(\rm \sigma=\sqrt{\dfrac{\sum\left(x_i-\mu\right)^2}{N}}\)

जहाँ N = अवलोकन समुच्चय का आकार और μ = अवलोकनों का माध्य।

गणना:

सबसे पहले हम दिए गए अवलोकनों के माध्य की गणना करेंगे।

\(\begin{align*} \mu &= \dfrac{-\sqrt6-\sqrt5-\sqrt4-1+1+\sqrt4+\sqrt5+\sqrt6}{8}= 0 \end{align*}\)

इसलिए मानक विचलन सूत्र के वर्गमूल पद के अंदर अंश \(\rm (x_i-\mu)^2=x_i^2\) के बराबर होगा।

अब हम निरीक्षण करते हैं कि \(\rm N=8\)।

इसलिए, मानक विचलन निम्नानुसार दिया गया है:

\(\begin{align*} \sigma &= \sqrt{\dfrac{\left(-\sqrt6\right)^2+\left(-\sqrt5\right)^2+\left(-\sqrt4\right)^2+\left(-1\right)^2+\left(1\right)^2+\left(\sqrt4\right)^2+\left(\sqrt5\right)^2+\left(\sqrt6\right)^2}{8}}\\ &= \sqrt{\dfrac{32}{8}}\\ &= \sqrt4\\ &= 2 \end{align*}\)

इसलिए, दिए गए अवलोकनों का मानक विचलन 2 है।

\(\bar x\) (माध्य) \( = \;\frac{{\sum fx}}{n}\)

माध्य

⇒ n = कुल आवृति

\(\sum fx =\) मध्य मान के गुणनफल का योग - अंतराल मान और उनकी संगत आवृत्तियाँ

10 – 12 का मध्य मान = (10 + 12)/2 = 11

12 – 14 का मध्य मान = (12 + 14 )/2 = 13

14 – 16 का मध्य मान = (14 + 16 )/2 = 15

16 – 18 का मध्य मान = (16 + 18 )/2 = 17

18 – 20 का मध्य मान = (18 + 20 )/2 = 19

⇒ माध्य \( = \;\frac{{11\; \times \;6\; + \;13\; \times \;8\; + \;15\; \times \;5\; + \;17\; \times \;7\; + \;19\; \times \;4}}{{6\; + \;8\; + \;5\; + \;7\; + \;4}} = \;\frac{{440}}{{30}}\)

⇒ माध्य = 14.67

∴ दिए गए डेटा के माध्य अंक 14.67 हैं

संकल्पना:

• \({\rm{Mean}} = \frac{{\sum {\rm{xf}}}}{{\sum {\rm{f}}}}\)

गणना:

हम जानते हैं कि, \({\rm{Mean}} = \frac{{\sum {\rm{xf}}}}{{\sum {\rm{f}}}}\)

\(\therefore {\rm{Mean}} = \frac{{800}}{{24}} = 33.3\)

अवधारणा:

प्रसरण का गुणांक = \(\rm\text{Standard Deviation} \over\text{ Mean}\)

प्रसरण = (मानक विचलन)2

गणना:

दिया गया है कि प्रसरण का गुणांक = 45% = 0.45

और माध्य = 100

प्रसरण के गुणांक के रूप में = \(\rm\text{Standard Deviation} \over\text{ Mean}\)

0.45 = \(\rm\text{Standard Deviation} \over100\)

मानक विचलन = 100 × 0.45

SD = 45

∴ प्रसरण = 452 = 2025