Binomial Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 4, 2025
Latest Binomial Theorem MCQ Objective Questions
Binomial Theorem Question 1:
यदि के प्रसार में द्विपद गुणांकों का योगफल 256 है, तो निम्नलिखित पदों में से किसमें महत्तम द्विपद गुणांक आएगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
द्विपद गुणांकों का योग और महत्तम द्विपद गुणांक:
- \( (x + y)^n \) के प्रसार में द्विपद गुणांकों का योग x = 1 और y = 1 प्रतिस्थापित करके परिकलित किया जाता है। परिणाम \(2^n\) है।
- महत्तम द्विपद गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम गुणांकों \(C(n, r)\) का विश्लेषण करते हैं जहाँ r प्रसार में पद सूचकांक है। महत्तम गुणांक मध्य पद (पदों) के पास होता है।
- मुख्य सूत्र:
- द्विपद गुणांकों का योग: \( \text{Sum} = 2^n \)
- द्विपद गुणांक: \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)
- महत्तम द्विपद गुणांक: सम n के लिए, यह r = n/2 पर होता है। विषम n के लिए, यह r = (n-1)/2 और r = (n+1)/2 पर होता है।
गणना:
दिया गया है,
द्विपद गुणांकों का योग = \(2^n = 256\)
हम n की गणना करते हैं:
\( 2^n = 256 \)
⇒ \(2^8 = 256\)
महत्तम द्विपद गुणांक:
\( n = 8 \) (सम) के लिए, सबसे बड़ा द्विपद गुणांक \( r = n/2 = 8/2 = 4 \) पर होता है।
⇒ पद सूचकांक r = 4 है, जो 5वें पद (चूँकि अनुक्रमण 0 से शुरू होता है) से मेल खाता है।
∴ सबसे बड़ा द्विपद गुणांक 5वें पद में होता है।
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।Binomial Theorem Question 2:
\((\sqrt{3}+5^\frac{1}{4})^{12}\) के प्रसार में परिमेय पदों की संख्या कितनी है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
(a + b)n के द्विपद प्रसार में एक पद Tk+1 = C(n, k) × an-k × bk द्वारा दिया जाता है।
किसी पद के परिमेय होने के लिए, √3 और 51/4 दोनों के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
प्रयुक्त सूत्र:
(√3)n-k में, इसके परिमेय होने के लिए n-k सम होना चाहिए।
(51/4)k में, इसके परिमेय होने के लिए k, 4 का गुणज होना चाहिए।
गणना:
माना n = 12:
⇒ (√3)n-k के परिमेय होने के लिए, n-k सम होना चाहिए।
⇒ चूँकि n = 12 है, इसलिए k भी सम होना चाहिए।
⇒ (51/4)k के परिमेय होने के लिए, k, 4 का गुणज होना चाहिए।
⇒ k के मान जो दोनों शर्तों (k सम है और 4 का गुणज है) को संतुष्ट करते हैं:
⇒ k = 0, 4, 8, और 12
⇒ ये प्रसार में 4 परिमेय पदों के संगत हैं।
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।
Binomial Theorem Question 3:
\(\displaystyle \sum_{\mathrm{k}=0}^{6}{ }^{51-\mathrm{k}} \mathrm{C}_{3}\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 3 Detailed Solution
गणना:
\(\displaystyle \sum_{\mathrm{k}=0}^{6}{ }^{51-\mathrm{k}} \mathrm{C}_{3}\)
= 51C3 + 50C3 + 49C3 +.....+ 45C3
= 45C3 + 46C3 +.....+ 51C3
= 45C4 + 45C3 + 46C3 +.....+ 51C3 - 45C4
= (nCr + nCr-1 = n+1Cr)
= 52C4 - 45C4
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।
Binomial Theorem Question 4:
व्यंजक \(\rm \left(2 x+\frac{1}{x^{7}}+3 x^{2}\right)^{5}\) के प्रसार में अचर पद ______ है।
Answer (Detailed Solution Below) 1080
Binomial Theorem Question 4 Detailed Solution
संप्रत्यय:
- बहुपद प्रसार: (a + b + c)n के रूप के व्यंजक के लिए, प्रसार में प्रत्येक पद इस रूप का होता है: (n! / (r1! r2! r3!)) × ar1 × br2 × cr3 जहाँ r1 + r2 + r3 = n
- अचर पद: x0 (अर्थात कोई x नहीं) वाला पद अचर पद कहलाता है।
- हम x के कुल घातांक को शून्य बनाने वाले घातों के संयोजन को ज्ञात करने के लिए बहुपद प्रमेय लागू करते हैं।
गणना:
हमें दिया गया है:
माना उभयनिष्ठ पद है: (5! / (r1! r2! r3!)) × (2x)r1 × (1/x7)r2 × (3x2)r3
जहाँ, r1 + r2 + r3 = 5
x की कुल घात = r1 × 1 − 7r2 + 2r3
हम अचर पद चाहते हैं
⇒ x की कुल घात = 0
इसलिए, r1 − 7r2 + 2r3 = 0 ...(i)
और r1 + r2 + r3 = 5 ...(ii)
दोनों समीकरणों को हल करते हैं:
(ii) से: r3 = 5 − r1 − r2
(i) में प्रतिस्थापित करते हैं:
r1 − 7r2 + 2(5 − r1 − r2) = 0
⇒ r1 − 7r2 + 10 − 2r1 − 2r2 = 0
⇒ −r1 − 9r2 + 10 = 0
⇒ r1 = 10 − 9r2
r2 के पूर्णांक मानों का प्रयास करते हैं, ताकि r1 और r3 भी पूर्णांक ≥ 0 हों
यदि r2 = 1 ⇒ r1 = 1, r3 = 5 − 1 − 1 = 3
अब गुणांक की गणना करते हैं:
पद = 5! / (1! × 1! × 3!) × (2x)1 × (1/x7)1 × (3x2)3
= 120 / (1 × 1 × 6) × 2x × 1/x7 × 27x6
= 20 × 2 × 27 = 1080
∴ प्रसार में अचर पद 1080 है।
Binomial Theorem Question 5:
यदि (1 + x)10 के द्विपद प्रसार में x10-r का गुणांक ar है, तो \(\rm \sum_{r=1}^{10} r^{3}\left(\frac{a_{r}}{a_{r-1}}\right)^{2}\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 5 Detailed Solution
संप्रत्यय:
- द्विपद गुणांक: \((1+x)^{10}\) के प्रसार में, \(x^{10-r}\) का गुणांक \(a_r = \binom{10}{r}\) द्वारा दिया गया है।
- हमें व्यंजक का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है: \(\sum_{r=1}^{10} r^3 \left( \frac{a_r}{a_{r-1}} \right)^2\)
- द्विपद गुणांकों के गुण का उपयोग करते हुए: \(\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{\binom{10}{r}}{\binom{10}{r-1}} = \frac{10 - r + 1}{r} = \frac{11 - r}{r}\)
- इसलिए, \(\left( \frac{a_r}{a_{r-1}} \right)^2 = \left( \frac{11 - r}{r} \right)^2\)
- अंतिम व्यंजक बन जाता है: \(\sum_{r=1}^{10} r^3 \cdot \left( \frac{11 - r}{r} \right)^2 = \sum_{r=1}^{10} (11 - r)^2\cdot r\)
गणना:
हम सरलीकृत करते हैं:
\(\sum_{r=1}^{10} r \cdot (11 - r)^2\)
⇒ r=1 के लिए: \(1 \cdot 10^2 = 100 \)
⇒ r=2 के लिए: \(2 \cdot 9^2 = 162 \)
⇒ r=3 के लिए: \(3 \cdot 8^2 = 192 \)
⇒ r=4 के लिए: \( 4 \cdot 7^2 = 196 \)
⇒ r=5 के लिए: \(5 \cdot 6^2 = 180 \)
⇒ r=6 के लिए: \(6 \cdot 5^2 = 150 \)
⇒ r=7 के लिए: \(7 \cdot 4^2 = 112 \)
⇒ r=8 के लिए: \(8 \cdot 3^2 = 72 \)
⇒ r=9 के लिए: \(9 \cdot 2^2 = 36 \)
⇒ r=10 के लिए: \(10 \cdot 1^2 = 10 \)
⇒ योग = 100 + 162 + 192 + 196 + 180 + 150 + 112 + 72 + 36 + 10 = 1210
∴ दिए गए योग का मान 1210 है।
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\(\rm \left(2x + \frac 1 x \right)^{8}\) के विस्तार में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 6 Detailed Solution
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सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है
\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} × {x^{n - r}} × {y^r}\)
मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है।
- यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है।
- यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)और\(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\)दो मध्य पद हैं।
गणना:
यहाँ, हमें \(\rm \left(2x + \frac 1 x \right)^{8}\) के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है।
यहाँ n = 8 (n सम संख्या है।)
∴ मध्य पद = \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{8}{2} + 1} \right) =5th\;term\)
T5 = T (4 + 1) = 8C4 × (2x) (8 - 4) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^4\)
T5 = 8C4 × 24
C(n, 1) + C(n, 2) + _ _ _ _ _ + C(n, n) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 7 Detailed Solution
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(1 + x)n = nC0 × 1(n-0) × x 0+ nC1 × 1(n-1) × x 1 + nC2 × 1(n-2) × x2 + …. + nCn × 1(n-n) × xn
G.P. का nवां पद an = arn−1 है
n पदों का योग = s = \(a (r^n-1)\over(r- 1)\); जहाँ r >1
n पदों का योग = s = \(a (1- r^n)\over(1- r)\); जहाँ r <1
गणना:
C(n, 1) + C(n, 2) + _ _ _ _ _ + C(n, n)
⇒ nC1 + nC2 + ... + nCn
⇒ nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn - nC0
⇒ (1 + 1)n - nCo
⇒ 2n - 1 = \(\rm 2^n - 1\over 2-1\) = 1 × \(\rm 2^n - 1\over 2-1\)
G.P योग = a × \(\rm r^n - 1\over r-1\), के साथ इसकी तुलना करना हमें a = 1 और r = 2 मिलता है
∴ 2n - 1 = 1 + 2 + 22 + ... +2n-1 जो हमें कुल में n पद देगा।
(1 + x)2n के विस्तार में पहले और अंतिम पदों के गुणांक का योग क्या है, जहां n एक प्राकृतिक संख्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 8 Detailed Solution
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\(\rm ^n C_r = {n!\over(r!(n - r)!)}\)
(1 + x)n = nC0 × 1(n-0) × x 0+ nC1 × 1(n-1) × x 1 + nC2 × 1(n-2) × x2 + …. + nCn × 1(n-n) × xn
गणना:
दिया गया विस्तार (1 + x)2n है
= 2nC0 ×1(2n-0) × x0 + 2nC1 ×1(2n-1) × x1 + ... + 2nC2n ×1(2n-2n) × x2n
पहला पद = 2nC0 ×1 × 1 = 1
अंतिम पद = 2nC2n ×1 × x2n = 1 × x2n = x2n
⇒ योग = 1 + x2n
1 का गुणांक = 1, x2n का गुणांक = 1
∴ तो, गुणांकों का योग = 1 + 1 = 2
(x + 3)6 के विस्तार में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 9 Detailed Solution
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(a + b)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है: Tr + 1 = nCr ⋅ an – r ⋅ br
नोट: (a + b)n के विस्तार में अंत से rवां पद प्रारंभ से [(n + 1) – r + 1] = (n – r + 2)वां पद है।
(a + b)n के विस्तार में मध्य पद \(\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)th\) पद है यदि n सम है।
(a + b)n के विस्तार में यदि n विषम है तो दो मध्य पद हैं जो निम्नलिखित हैं:\(\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)th\;and\;\left( {\frac{{n + 1}}{2} + 1} \right)th\;term\)
गणना:
दिया हुआ: (x + 3)6
यहाँ, n = 6
∵ n = 6 और यह सम संख्या है।
जैसा कि हम जानते हैं कि (a + b)n के विस्तार में मध्य पद \(\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)th\) पद है यदि n सम है।
\(\rm \left(2x + \frac {1} {x} \right)^{5}\) के विस्तार में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 10 Detailed Solution
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सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है
\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} × {x^{n - r}} × {y^r}\)
मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है।
- यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है।
- यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)और\(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\)दो मध्य पद हैं।
गणना:
यहाँ, हमें \(\rm \left(2x + \frac 1 x \right)^{5}\) के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है।
यहाँ n = 5 (n विषम संख्या है।)
∴ मध्य पद = \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)and \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) = तीसरा और चौथा
T3 = T (2 + 1) = 5C2 × (2x) (5 - 2) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^2\) और T4 = T (3 + 1) = 5C3 × (2x) (5 - 3) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^3\)
T3 = 5C2 × (23x) और T4 = 5C3 × 22 × \(\rm \frac 1 x\)
T3 = 80x और T4 = \(\rm \frac {40}{x}\)
अतः विस्तार का मध्य पद 80x और \(\rm \frac {40}{x}\) है।
यदि (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद (-1/8)x² है, तो m का परिमेय मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
(1 + x)n का प्रसरण:
\(\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\)
गणना:
दिया गया है: (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद (-1/8)x² है।
\(\rm (1+x)^m= 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}x^3 +....\)
इसलिए, (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद\(\rm \frac{m(m-1)}{2!}x^2\) है।
\(\rm \frac{m(m-1)}{2!}x^2\) = (-1/8)x2
⇒ \(\rm \frac{m(m-1)}{2}= \frac {-1}{8}\)
⇒ 4m2 - 4m + 1 = 0
⇒ (2m - 1)2 = 0
⇒ 2m - 1 = 0
∴ m = \(\frac 12\)
\({\left( {\sqrt {\rm{x}} + \frac{1}{{3{{\rm{x}}^2}}}} \right)^{10}}\) के विस्तार में (x से स्वतंत्र) स्थिर पद का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है
- \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} \times {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)
गणना:
दिया गया विस्तार \({\left( {\sqrt {\rm{x}} + \frac{1}{{3{{\rm{x}}^2}}}} \right)^{10}}\) है
सामान्य पद = \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{\frac{{10{\rm{\;}} - {\rm{\;r}}}}{2}}} \times {\left( {\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2}}}} \right)^{\rm{r}}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {3^{ - {\rm{r}}}} \times {{\rm{x}}^{\frac{{10{\rm{\;}} - 5{\rm{\;r}}}}{2}}}\)
x से स्वतंत्र पद के लिए x की घात शून्य होनी चाहिए
यानी \(\frac{{10{\rm{\;}} - 5{\rm{\;r}}}}{2} = 0\)
⇒ r = 2
∴ आवश्यक पद \({{\rm{T}}_{\left( {2{\rm{\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_2} \times {3^{ - 2}} = 5\)है(2 + 3x)4 के द्विपद विस्तार में मध्य पद का गुणांक क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
सामान्य पद: (x + y)n के द्विपद विस्तार में सामान्य पद इसके द्वारा दिया जाता है
\({T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)
मध्य पद: (x + y)n के विस्तार में मध्य पद n के मान पर निर्भर करता है।
- यदि n सम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए केवल एक मध्य पद है यानी \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है।
\({T_{\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_{\frac{n}{2}}} \times {x^{\frac{n}{2}}} \times {y^{\frac{n}{2}}}\)
- यदि n विषम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं यानी \({\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\)और \({\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) दो मध्य पद हैं।
गणना:
यहाँ हमें (2 + 3x)4 के द्विपद विस्तार में मध्य पद के गुणांक को खोजना होगा
यहाँ n = 4 (n सम संख्या है)
∴ मध्य पद = \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{4}{2} + 1} \right) = 3rd\;term\)
T3 = T (2 + 1) = 4C2 × (2) (4 - 2) × (3x) 2
T3 = 6 × 4 × 9x2 = 216 x2
∴ मध्य पद का गुणांक = 216\(\rm (4-5x^2)^{-1/2}\) के विस्तार में x2 का गुणांक क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया गया है
\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)
(1 + x)n का विस्तार:
\(\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\)
गणना:
खोजने के लिए: \(\rm (4-5x^2)^{-1/2}\) के विस्तार में x2 का गुणांक \(\rm (4-5x^2)^{-1/2} = 4^{-1/2}\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right )^{-1/2}\\ \text{As we know}\;\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\\\therefore 4^{-1/2}\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right )^{-1/2} = 2^{-1}\left[1 + \left(-\frac{5}{4}x^2 \right ) \times (\frac{-1}{2}) + ... \right ]\)
अब, विस्तार में x2 का गुणांक = \(2^{-1} \times \frac{-5}{4} \times \frac{-1}{2} = \frac{5}{16}\)
(1 + x)50 के प्रसार में x के विषम घातों के गुणांकों का योगफल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्त सूत्र:
(1 + x)n = [nC0 + nC1 x + nC2 x2 + … +nCn xn]
- C0 + C1 + C2 + … + Cn = 2n
- C0 + C2 + C4 + … = 2n-1
- C1 + C3 + C5 + … = 2n-1
गणना:
(1 + x)50 = [50C0 + 50C1 x + 50C2 x2 + … +50Cn x50] ----(1)
यहाँ, n = 50
उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, गुणांक के विषम पदों का योग है
S = (50C1 + 50C3 + 50C5 + ……. + 50C49)
⇒ S = 250-1 = 249
∴ गुणांक के विषम पदों का योग = 249