Binomial Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 4, 2025

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Latest Binomial Theorem MCQ Objective Questions

Binomial Theorem Question 1:

यदि के प्रसार में द्विपद गुणांकों का योगफल 256 है, तो निम्नलिखित पदों में से किसमें महत्तम द्विपद गुणांक आएगा?

  1. तीसरे
  2. चौथे
  3. पाँचवें
  4. नौवें

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : पाँचवें

Binomial Theorem Question 1 Detailed Solution

संप्रत्यय:

द्विपद गुणांकों का योग और महत्तम द्विपद गुणांक:

  • \( (x + y)^n \) के प्रसार में द्विपद गुणांकों का योग x = 1 और y = 1 प्रतिस्थापित करके परिकलित किया जाता है। परिणाम \(2^n\) है।
  • महत्तम द्विपद गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम गुणांकों \(C(n, r)\) का विश्लेषण करते हैं जहाँ r प्रसार में पद सूचकांक है। महत्तम गुणांक मध्य पद (पदों) के पास होता है।
  • मुख्य सूत्र:
    • द्विपद गुणांकों का योग: \( \text{Sum} = 2^n \)
    • द्विपद गुणांक: \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)
    • महत्तम द्विपद गुणांक: सम n के लिए, यह r = n/2 पर होता है। विषम n के लिए, यह r = (n-1)/2 और r = (n+1)/2 पर होता है।

 

गणना:

दिया गया है,

द्विपद गुणांकों का योग = \(2^n = 256\)

हम n की गणना करते हैं:

\( 2^n = 256 \)

\(2^8 = 256\)

महत्तम द्विपद गुणांक:

\( n = 8 \) (सम) के लिए, सबसे बड़ा द्विपद गुणांक \( r = n/2 = 8/2 = 4 \) पर होता है।

⇒ पद सूचकांक r = 4 है, जो 5वें पद (चूँकि अनुक्रमण 0 से शुरू होता है) से मेल खाता है।

∴ सबसे बड़ा द्विपद गुणांक 5वें पद में होता है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

Binomial Theorem Question 2:

\((\sqrt{3}+5^\frac{1}{4})^{12}\) के प्रसार में परिमेय पदों की संख्या कितनी है?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 6

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 4

Binomial Theorem Question 2 Detailed Solution

संप्रत्यय:

(a + b)n के द्विपद प्रसार में एक पद Tk+1 = C(n, k) × an-k × bk द्वारा दिया जाता है।

किसी पद के परिमेय होने के लिए, √3 और 51/4 दोनों के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।

प्रयुक्त सूत्र:

(√3)n-k में, इसके परिमेय होने के लिए n-k सम होना चाहिए।

(51/4)k में, इसके परिमेय होने के लिए k, 4 का गुणज होना चाहिए।

गणना:

माना n = 12:

⇒ (√3)n-k के परिमेय होने के लिए, n-k सम होना चाहिए।

⇒ चूँकि n = 12 है, इसलिए k भी सम होना चाहिए।

⇒ (51/4)k के परिमेय होने के लिए, k, 4 का गुणज होना चाहिए।

⇒ k के मान जो दोनों शर्तों (k सम है और 4 का गुणज है) को संतुष्ट करते हैं:

⇒ k = 0, 4, 8, और 12

⇒ ये प्रसार में 4 परिमेय पदों के संगत हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

Binomial Theorem Question 3:

\(\displaystyle \sum_{\mathrm{k}=0}^{6}{ }^{51-\mathrm{k}} \mathrm{C}_{3}\) किसके बराबर है?

  1. 51C4 - 45C4
  2. 51C3 - 45C3
  3. 52C4 - 45C4
  4. 52C3 - 45C3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 52C4 - 45C4

Binomial Theorem Question 3 Detailed Solution

गणना:

\(\displaystyle \sum_{\mathrm{k}=0}^{6}{ }^{51-\mathrm{k}} \mathrm{C}_{3}\)

= 51C3 + 50C3 + 49C3 +.....+ 45C3

= 45C3 + 46C3 +.....+ 51C3

= 45C4 + 45C3 + 46C3 +.....+ 51C3 - 45C4

= (nCr + nCr-1 = n+1Cr)

= 52C4 - 45C4

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

Binomial Theorem Question 4:

व्यंजक \(\rm \left(2 x+\frac{1}{x^{7}}+3 x^{2}\right)^{5}\) के प्रसार में अचर पद ______ है।

Answer (Detailed Solution Below) 1080

Binomial Theorem Question 4 Detailed Solution

संप्रत्यय:

  • बहुपद प्रसार: (a + b + c)n के रूप के व्यंजक के लिए, प्रसार में प्रत्येक पद इस रूप का होता है:  (n! / (r1! r2! r3!)) × ar1 × br2 × cr3 जहाँ r1 + r2 + r3 = n
  • अचर पद: x0 (अर्थात कोई x नहीं) वाला पद अचर पद कहलाता है।
  • हम x के कुल घातांक को शून्य बनाने वाले घातों के संयोजन को ज्ञात करने के लिए बहुपद प्रमेय लागू करते हैं।

 

गणना:

हमें दिया गया है:  

माना उभयनिष्ठ पद है: (5! / (r1! r2! r3!)) × (2x)r1 × (1/x7)r2 × (3x2)r3

जहाँ, r1 + r2 + r3 = 5

x की कुल घात = r1 × 1 − 7r2 + 2r3

हम अचर पद चाहते हैं

⇒ x की कुल घात = 0

इसलिए, r1 − 7r2 + 2r3 = 0 ...(i)

और r1 + r2 + r3 = 5 ...(ii)

दोनों समीकरणों को हल करते हैं:

(ii) से: r3 = 5 − r1 − r2

(i) में प्रतिस्थापित करते हैं:

r1 − 7r2 + 2(5 − r1 − r2) = 0

⇒ r1 − 7r2 + 10 − 2r1 − 2r2 = 0

⇒ −r1 − 9r2 + 10 = 0

⇒ r1 = 10 − 9r2

r2 के पूर्णांक मानों का प्रयास करते हैं, ताकि r1 और r3 भी पूर्णांक ≥ 0 हों

यदि r2 = 1 ⇒ r1 = 1, r3 = 5 − 1 − 1 = 3 

अब गुणांक की गणना करते हैं:

पद = 5! / (1! × 1! × 3!) × (2x)1 × (1/x7)1 × (3x2)3

= 120 / (1 × 1 × 6) × 2x × 1/x7 × 27x6

= 20 × 2 × 27 = 1080

∴ प्रसार में अचर पद 1080 है।

Binomial Theorem Question 5:

यदि (1 + x)10 के द्विपद प्रसार में x10-r का गुणांक ar है, तो \(\rm \sum_{r=1}^{10} r^{3}\left(\frac{a_{r}}{a_{r-1}}\right)^{2}\) किसके बराबर है?

  1. 4895
  2. 1210
  3. 5445
  4. 3025

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1210

Binomial Theorem Question 5 Detailed Solution

संप्रत्यय:

  • द्विपद गुणांक: \((1+x)^{10}\) के प्रसार में, \(x^{10-r}\) का गुणांक \(a_r = \binom{10}{r}\) द्वारा दिया गया है।
  • हमें व्यंजक का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है: \(\sum_{r=1}^{10} r^3 \left( \frac{a_r}{a_{r-1}} \right)^2\)
  • द्विपद गुणांकों के गुण का उपयोग करते हुए: \(\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{\binom{10}{r}}{\binom{10}{r-1}} = \frac{10 - r + 1}{r} = \frac{11 - r}{r}\)
  • इसलिए, \(\left( \frac{a_r}{a_{r-1}} \right)^2 = \left( \frac{11 - r}{r} \right)^2\)
  • अंतिम व्यंजक बन जाता है: \(\sum_{r=1}^{10} r^3 \cdot \left( \frac{11 - r}{r} \right)^2 = \sum_{r=1}^{10} (11 - r)^2\cdot r\)

गणना:

हम सरलीकृत करते हैं:

\(\sum_{r=1}^{10} r \cdot (11 - r)^2\)

⇒ r=1 के लिए: \(1 \cdot 10^2 = 100 \)

⇒ r=2 के लिए: \(2 \cdot 9^2 = 162 \)

⇒ r=3 के लिए: \(3 \cdot 8^2 = 192 \)

⇒ r=4 के लिए: \( 4 \cdot 7^2 = 196 \)

⇒ r=5 के लिए: \(5 \cdot 6^2 = 180 \)

⇒ r=6 के लिए: \(6 \cdot 5^2 = 150 \)

⇒ r=7 के लिए: \(7 \cdot 4^2 = 112 \)

⇒ r=8 के लिए: \(8 \cdot 3^2 = 72 \)

⇒ r=9 के लिए: \(9 \cdot 2^2 = 36 \)

⇒ r=10 के लिए: \(10 \cdot 1^2 = 10 \)

⇒ योग = 100 + 162 + 192 + 196 + 180 + 150 + 112 + 72 + 36 + 10 = 1210

∴ दिए गए योग का मान 1210 है।

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\(\rm \left(2x + \frac 1 x \right)^{8}\) के विस्तार में मध्य पद ज्ञात कीजिए। 

  1. 8C4 × 24
  2. 8C4 × 25
  3. 8C4 
  4. उपरोक्त में से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 8C4 × 24

Binomial Theorem Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} × {x^{n - r}} × {y^r}\)

 

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

  • यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है। 
  • यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)और\(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\)दो मध्य पद हैं। 

 

गणना:

यहाँ, हमें \(\rm \left(2x + \frac 1 x \right)^{8}\) के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 8 (n सम संख्या है।)

∴ मध्य पद = \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{8}{2} + 1} \right) =5th\;term\)

T5 = T (4 + 1) = 8C4 × (2x) (8 - 4) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^4\)

T5 =  8C4 × 24

C(n, 1) + C(n, 2) + _ _ _ _  _ + C(n, n) किसके बराबर है?

  1. 2 + 22 + 23 + _ _ _ _ _  + 2n
  2. 1 + 2 + 22 + 2+ _ _ _ _ _ + 2n
  3. 1 + 2 + 22 + 23 + _ _ _ _ _ _ + 2n - 1
  4. 2 + 22 + 23 + _ _ _ _ _ + 2n - 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1 + 2 + 22 + 23 + _ _ _ _ _ _ + 2n - 1

Binomial Theorem Question 7 Detailed Solution

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अवधारणा:

(1 + x)n = nC0 × 1(n-0) × x 0nC1 × 1(n-1) × x 1 + nC2  × 1(n-2) × x2 + …. + nCn  × 1(n-n) × xn

G.P. का nवां पद an = arn−1 है

n पदों का योग = s = \(a (r^n-1)\over(r- 1)\); जहाँ r >1

पदों का योग = s = \(a (1- r^n)\over(1- r)\); जहाँ r <1

गणना:

C(n, 1) + C(n, 2) + _ _ _ _  _ + C(n, n) 

⇒ nC1 + nC2 + ... + nCn 

⇒ nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn - nC0

⇒ (1 + 1)n - nC

⇒ 2n - 1 = \(\rm 2^n - 1\over 2-1\) = 1 × \(\rm 2^n - 1\over 2-1\)

G.P योग = a × \(\rm r^n - 1\over r-1\), के साथ इसकी तुलना करना हमें a = 1 और r = 2 मिलता है

 2n - 1 = 1 + 2 + 22 + ... +2n-1 जो हमें कुल में n पद देगा।

(1 + x)2n के विस्तार में पहले और अंतिम पदों के गुणांक का योग क्या है, जहां n एक प्राकृतिक संख्या है?

  1. 1
  2. 2
  3. n
  4. 2n

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2

Binomial Theorem Question 8 Detailed Solution

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अवधारणा:

\(\rm ^n C_r = {n!\over(r!(n - r)!)}\)

(1 + x)n = nC0 × 1(n-0) × x 0nC1 × 1(n-1) × x 1 + nC2  × 1(n-2) × x2 + …. + nCn  × 1(n-n) × xn

 

गणना:

दिया गया विस्तार (1 + x)2n है

2nC×1(2n-0) × x0 +  2nC1 ×1(2n-1) × x1 + ... +  2nC2n ×1(2n-2n) × x2n

पहला पद = 2nC×1 × 1 = 1

अंतिम पद =  2nC2n ×1 × x2n = 1 × x2n = x2n

योग = 1 + x2n

1 का गुणांक = 1, x2n का गुणांक = 1

∴  तो, गुणांकों का योग = 1 + 1 = 2

(x + 3)6 के विस्तार में मध्य पद ज्ञात कीजिए।

  1. 625x3
  2. 625x5
  3. 540x5
  4. 540x3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 540x3

Binomial Theorem Question 9 Detailed Solution

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अवधारणा:

(a + b)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है: Tr + 1 = nCr ⋅ an – r ⋅ br

नोट: (a + b)n के विस्तार में अंत से rवां पद प्रारंभ से [(n + 1) – r + 1] = (n – r + 2)वां पद है।

(a + b)n के विस्तार में मध्य पद \(\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)th\) पद है यदि n सम है।

(a + b)n के विस्तार में यदि n विषम है तो दो मध्य पद हैं जो निम्नलिखित हैं:\(\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)th\;and\;\left( {\frac{{n + 1}}{2} + 1} \right)th\;term\)

गणना:

दिया हुआ: (x + 3)6 

यहाँ, n = 6

∵ n = 6 और यह सम संख्या है।

जैसा कि हम जानते हैं कि (a + b)n के विस्तार में मध्य पद \(\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)th\) पद है यदि n सम है।

तो \(\left( {\frac{6}{2}\; + \;1} \right)th = 4 th\) पद (x + 3)6 के विस्तार में मध्य पद है
 
जैसा कि हम जानते हैं कि सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है: Tr + 1 = nCr ⋅ an – r ⋅ br
 
यहाँ n = 6, r = 3, a = x और b = 3
 
T4 = T(3 + 1) = 6C3 ⋅ x3 ⋅ (3)3 = 540 x3
 
इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।

\(\rm \left(2x + \frac {1} {x} \right)^{5}\) के विस्तार में मध्य पद ज्ञात कीजिए। 

  1. 80
  2. \(\rm \frac {80}{x}\)
  3. 80x और \(\rm \frac {40}{x}\)
  4. 80x और \(\rm \frac {80}{x}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 80x और \(\rm \frac {40}{x}\)

Binomial Theorem Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} × {x^{n - r}} × {y^r}\)

 

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

  • यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है। 
  • यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)और\(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\)दो मध्य पद हैं। 

 

गणना:

यहाँ, हमें \(\rm \left(2x + \frac 1 x \right)^{5}\) के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 5 (n विषम संख्या है।)

∴ मध्य पद =  \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)and \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) = तीसरा और चौथा

T3 = T (2 + 1) = 5C2 × (2x) (5 - 2) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^2\)  और T4 = T (3 + 1) = 5C3 × (2x) (5 - 3) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^3\) 

T3 =  5C2 × (23x) और T4 = 5C3 × 22 × \(\rm \frac 1 x\)

T3 = 80x और  T4 = \(\rm \frac {40}{x}\)

अतः विस्तार का मध्य पद 80x और \(\rm \frac {40}{x}\) है। 

यदि (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद (-1/8)x² है, तो m का परिमेय मान क्या है?

  1. 2
  2. \(\frac 12\)
  3. 3
  4. इनमें से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\frac 12\)

Binomial Theorem Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

(1 + x)का प्रसरण:

\(\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\)

गणना:

दिया गया है: (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद (-1/8)x² है। 

\(\rm (1+x)^m= 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}x^3 +....\)

इसलिए, (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद\(\rm \frac{m(m-1)}{2!}x^2\) है। 

\(\rm \frac{m(m-1)}{2!}x^2\) = (-1/8)x2

⇒ \(\rm \frac{m(m-1)}{2}= \frac {-1}{8}\)

⇒ 4m2 - 4m + 1 = 0

⇒ (2m - 1)2 = 0

⇒ 2m - 1 = 0

∴ m = \(\frac 12\)

\({\left( {\sqrt {\rm{x}} + \frac{1}{{3{{\rm{x}}^2}}}} \right)^{10}}\) के विस्तार में (x से स्वतंत्र) स्थिर पद का मान क्या है?

  1. 5
  2. 8
  3. 45
  4. 90

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 5

Binomial Theorem Question 12 Detailed Solution

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धारणा:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है

  • \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} \times {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)

 

गणना:

दिया गया विस्तार \({\left( {\sqrt {\rm{x}} + \frac{1}{{3{{\rm{x}}^2}}}} \right)^{10}}\) है

सामान्य पद = \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{\frac{{10{\rm{\;}} - {\rm{\;r}}}}{2}}} \times {\left( {\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2}}}} \right)^{\rm{r}}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {3^{ - {\rm{r}}}} \times {{\rm{x}}^{\frac{{10{\rm{\;}} - 5{\rm{\;r}}}}{2}}}\) 

x से स्वतंत्र पद के लिए x की घात शून्य होनी चाहिए

यानी \(\frac{{10{\rm{\;}} - 5{\rm{\;r}}}}{2} = 0\)

⇒ r = 2

∴ आवश्यक पद \({{\rm{T}}_{\left( {2{\rm{\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_2} \times {3^{ - 2}} = 5\)है

(2 + 3x)4 के द्विपद विस्तार में मध्य पद का गुणांक क्या है?

  1. 6
  2. 12
  3. 108
  4. 216

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 216

Binomial Theorem Question 13 Detailed Solution

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धारणा:

सामान्य पद(x + y)n के द्विपद विस्तार में सामान्य पद इसके द्वारा दिया जाता है

\({T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)


मध्य पद: (x + y)n के विस्तार में मध्य पद n के मान पर निर्भर करता है।

  • यदि n सम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए केवल एक मध्य पद है यानी \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है।

\({T_{\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_{\frac{n}{2}}} \times {x^{\frac{n}{2}}} \times {y^{\frac{n}{2}}}\)

  • यदि n विषम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं यानी \({\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\)और \({\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) दो मध्य पद हैं।

 

गणना:

यहाँ हमें (2 + 3x)4 के द्विपद विस्तार में मध्य पद के गुणांक को खोजना होगा

यहाँ n = 4 (n सम संख्या है)

∴ मध्य पद = \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{4}{2} + 1} \right) = 3rd\;term\)

T3 = T (2 + 1) = 4C2 × (2) (4 - 2) × (3x) 2

T3 = 6 × 4 × 9x2 = 216 x2

∴ मध्य पद का गुणांक = 216

\(\rm (4-5x^2)^{-1/2}\) के विस्तार में x2 का गुणांक क्या है?

  1. \(\frac {5}{16}\)
  2. \(\frac {-5}{16}\)
  3. \(\frac {5}{12}\)
  4. \(\frac {-5}{12}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac {5}{16}\)

Binomial Theorem Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)

(1 + x)n का विस्तार:

\(\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\)

 

गणना:

खोजने के लिए: \(\rm (4-5x^2)^{-1/2}\) के विस्तार में x2 का गुणांक \(\rm (4-5x^2)^{-1/2} = 4^{-1/2}\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right )^{-1/2}\\ \text{As we know}\;\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\\\therefore 4^{-1/2}\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right )^{-1/2} = 2^{-1}\left[1 + \left(-\frac{5}{4}x^2 \right ) \times (\frac{-1}{2}) + ... \right ]\)

 

अब, विस्तार में x2 का गुणांक = \(2^{-1} \times \frac{-5}{4} \times \frac{-1}{2} = \frac{5}{16}\)

(1 + x)50 के प्रसार में x के विषम घातों के गुणांकों का योगफल क्या है?

  1. 226
  2. 249
  3. 250
  4. 251

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 249

Binomial Theorem Question 15 Detailed Solution

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प्रयुक्त सूत्र:

(1 + x) = [nCnC1 x + nC2 x+ … +nCn xn]

  • C0 + C1 + C2 + … + Cn = 2n
  • C0 + C2 + C4 + … =  2n-1
  • C1 + C3 + C5 + … = 2n-1

 

गणना:

(1 + x)50  = [50C50C1 x + 50C2 x+ … +50Cn x50]    ----(1)

यहाँ, n = 50

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, गुणांक के विषम पदों का योग है

S = (50C1 + 50C3­ + 50C5 + ……. + 50C49)

⇒ S = 250-1 = 249

गुणांक के विषम पदों का योग = 249

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