Binomial Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

द्विपद गुणांकों का योग और महत्तम द्विपद गुणांक:

• \( (x + y)^n \) के प्रसार में द्विपद गुणांकों का योग x = 1 और y = 1 प्रतिस्थापित करके परिकलित किया जाता है। परिणाम \(2^n\) है।
• महत्तम द्विपद गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम गुणांकों \(C(n, r)\) का विश्लेषण करते हैं जहाँ r प्रसार में पद सूचकांक है। महत्तम गुणांक मध्य पद (पदों) के पास होता है।
• मुख्य सूत्र:
  • द्विपद गुणांकों का योग: \( \text{Sum} = 2^n \)
  • द्विपद गुणांक: \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)
  • महत्तम द्विपद गुणांक: सम n के लिए, यह r = n/2 पर होता है। विषम n के लिए, यह r = (n-1)/2 और r = (n+1)/2 पर होता है।

गणना:

दिया गया है,

द्विपद गुणांकों का योग = \(2^n = 256\)

हम n की गणना करते हैं:

\( 2^n = 256 \)

⇒ \(2^8 = 256\)

महत्तम द्विपद गुणांक:

\( n = 8 \) (सम) के लिए, सबसे बड़ा द्विपद गुणांक \( r = n/2 = 8/2 = 4 \) पर होता है।

⇒ पद सूचकांक r = 4 है, जो 5वें पद (चूँकि अनुक्रमण 0 से शुरू होता है) से मेल खाता है।

∴ सबसे बड़ा द्विपद गुणांक 5वें पद में होता है।

संप्रत्यय:

(a + b)ⁿ के द्विपद प्रसार में एक पद T_k+1 = C(n, k) × a^n-k × b^k द्वारा दिया जाता है।

किसी पद के परिमेय होने के लिए, √3 और 5^1/4 दोनों के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।

प्रयुक्त सूत्र:

(√3)^n-k में, इसके परिमेय होने के लिए n-k सम होना चाहिए।

(5^1/4)^k में, इसके परिमेय होने के लिए k, 4 का गुणज होना चाहिए।

गणना:

माना n = 12:

⇒ (√3)^n-k के परिमेय होने के लिए, n-k सम होना चाहिए।

⇒ चूँकि n = 12 है, इसलिए k भी सम होना चाहिए।

⇒ (5^1/4)^k के परिमेय होने के लिए, k, 4 का गुणज होना चाहिए।

⇒ k के मान जो दोनों शर्तों (k सम है और 4 का गुणज है) को संतुष्ट करते हैं:

⇒ k = 0, 4, 8, और 12

⇒ ये प्रसार में 4 परिमेय पदों के संगत हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

\(\displaystyle \sum_{\mathrm{k}=0}^{6}{ }^{51-\mathrm{k}} \mathrm{C}_{3}\)

= ⁵¹C₃ + ⁵⁰C₃ + ⁴⁹C₃ +.....+ ⁴⁵C₃

= ⁴⁵C₃ + ⁴⁶C₃ +.....+ ⁵¹C₃

= ⁴⁵C₄ + ⁴⁵C₃ + ⁴⁶C₃ +.....+ ⁵¹C₃ - ⁴⁵C₄

= (ⁿC_r + ⁿC_r-1 = ⁿ⁺¹C_r)

= ⁵²C₄ - ⁴⁵C₄

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

संप्रत्यय:

• बहुपद प्रसार: (a + b + c)ⁿ के रूप के व्यंजक के लिए, प्रसार में प्रत्येक पद इस रूप का होता है:  (n! / (r₁! r₂! r₃!)) × a^r₁ × b^r₂ × c^r₃ जहाँ r₁ + r₂ + r₃ = n
• अचर पद: x⁰ (अर्थात कोई x नहीं) वाला पद अचर पद कहलाता है।
• हम x के कुल घातांक को शून्य बनाने वाले घातों के संयोजन को ज्ञात करने के लिए बहुपद प्रमेय लागू करते हैं।

गणना:

हमें दिया गया है:  

माना उभयनिष्ठ पद है: (5! / (r₁! r₂! r₃!)) × (2x)^r₁ × (1/x⁷)^r₂ × (3x²)^r₃

जहाँ, r₁ + r₂ + r₃ = 5

x की कुल घात = r₁ × 1 − 7r₂ + 2r₃

हम अचर पद चाहते हैं

⇒ x की कुल घात = 0

इसलिए, r₁ − 7r₂ + 2r₃ = 0 ...(i)

और r₁ + r₂ + r₃ = 5 ...(ii)

दोनों समीकरणों को हल करते हैं:

(ii) से: r₃ = 5 − r₁ − r₂

(i) में प्रतिस्थापित करते हैं:

r₁ − 7r₂ + 2(5 − r₁ − r₂) = 0

⇒ r₁ − 7r₂ + 10 − 2r₁ − 2r₂ = 0

⇒ −r₁ − 9r₂ + 10 = 0

⇒ r₁ = 10 − 9r₂

r₂ के पूर्णांक मानों का प्रयास करते हैं, ताकि r₁ और r₃ भी पूर्णांक ≥ 0 हों

यदि r₂ = 1 ⇒ r₁ = 1, r₃ = 5 − 1 − 1 = 3 

अब गुणांक की गणना करते हैं:

पद = 5! / (1! × 1! × 3!) × (2x)¹ × (1/x⁷)¹ × (3x²)³

= 120 / (1 × 1 × 6) × 2x × 1/x⁷ × 27x⁶

= 20 × 2 × 27 = 1080

∴ प्रसार में अचर पद 1080 है।

संप्रत्यय:

• द्विपद गुणांक: \((1+x)^{10}\) के प्रसार में, \(x^{10-r}\) का गुणांक \(a_r = \binom{10}{r}\) द्वारा दिया गया है।
• हमें व्यंजक का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है: \(\sum_{r=1}^{10} r^3 \left( \frac{a_r}{a_{r-1}} \right)^2\)
• द्विपद गुणांकों के गुण का उपयोग करते हुए: \(\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{\binom{10}{r}}{\binom{10}{r-1}} = \frac{10 - r + 1}{r} = \frac{11 - r}{r}\)
• इसलिए, \(\left( \frac{a_r}{a_{r-1}} \right)^2 = \left( \frac{11 - r}{r} \right)^2\)
• अंतिम व्यंजक बन जाता है: \(\sum_{r=1}^{10} r^3 \cdot \left( \frac{11 - r}{r} \right)^2 = \sum_{r=1}^{10} (11 - r)^2\cdot r\)

गणना:

हम सरलीकृत करते हैं:

\(\sum_{r=1}^{10} r \cdot (11 - r)^2\)

⇒ r=1 के लिए: \(1 \cdot 10^2 = 100 \)

⇒ r=2 के लिए: \(2 \cdot 9^2 = 162 \)

⇒ r=3 के लिए: \(3 \cdot 8^2 = 192 \)

⇒ r=4 के लिए: \( 4 \cdot 7^2 = 196 \)

⇒ r=5 के लिए: \(5 \cdot 6^2 = 180 \)

⇒ r=6 के लिए: \(6 \cdot 5^2 = 150 \)

⇒ r=7 के लिए: \(7 \cdot 4^2 = 112 \)

⇒ r=8 के लिए: \(8 \cdot 3^2 = 72 \)

⇒ r=9 के लिए: \(9 \cdot 2^2 = 36 \)

⇒ r=10 के लिए: \(10 \cdot 1^2 = 10 \)

⇒ योग = 100 + 162 + 192 + 196 + 180 + 150 + 112 + 72 + 36 + 10 = 1210

∴ दिए गए योग का मान 1210 है।

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} × {x^{n - r}} × {y^r}\)

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)और\(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\)दो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें \(\rm \left(2x + \frac 1 x \right)^{8}\) के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 8 (n सम संख्या है।)

∴ मध्य पद = \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{8}{2} + 1} \right) =5th\;term\)

T5 = T (4 + 1) = 8C4 × (2x) (8 - 4) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^4\)

T5 =  8C4 × 24

अवधारणा:

(1 + x)n = nC0 × 1(n-0) × x 0+ nC1 × 1(n-1) × x 1 + nC2  × 1(n-2) × x2 + …. + nCn  × 1(n-n) × xn

G.P. का n^वां पद an = arⁿ⁻¹ है

n पदों का योग = s = \(a (r^n-1)\over(r- 1)\); जहाँ r >1

n पदों का योग = s = \(a (1- r^n)\over(1- r)\); जहाँ r <1

गणना:

C(n, 1) + C(n, 2) + _ _ _ _  _ + C(n, n) 

⇒ nC1 + nC2 + ... + nCn 

⇒ nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn - nC0

⇒ (1 + 1)n - nCo 

⇒ 2n - 1 = \(\rm 2^n - 1\over 2-1\) = 1 × \(\rm 2^n - 1\over 2-1\)

G.P योग = a × \(\rm r^n - 1\over r-1\), के साथ इसकी तुलना करना हमें a = 1 और r = 2 मिलता है

∴ 2n - 1 = 1 + 2 + 2² + ... +2^n-1 जो हमें कुल में n पद देगा।

अवधारणा:

\(\rm ^n C_r = {n!\over(r!(n - r)!)}\)

(1 + x)ⁿ = ⁿC₀ × 1^(n-0) × x ⁰+ ⁿC₁ × 1^(n-1) × x ¹ + ⁿC₂  × 1(n-2) × x² + …. + ⁿC_n  × 1(n-n) × xⁿ

गणना:

दिया गया विस्तार (1 + x)²ⁿ है

= ²ⁿC₀ ×1^(2n-0) × x⁰ +  2nC₁ ×1(2n-1) × x¹ + ... +  2nC_2n ×1(2n-2n) × x²ⁿ

पहला पद = 2nC0 ×1 × 1 = 1

अंतिम पद =  2nC_2n ×1 × x²ⁿ = 1 × x²ⁿ = x²ⁿ

⇒ योग = 1 + x²ⁿ

1 का गुणांक = 1, x2n का गुणांक = 1

∴  तो, गुणांकों का योग = 1 + 1 = 2

अवधारणा:

(a + b)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है: Tr + 1 = nCr ⋅ an – r ⋅ br

नोट: (a + b)n के विस्तार में अंत से rवां पद प्रारंभ से [(n + 1) – r + 1] = (n – r + 2)वां पद है।

(a + b)n के विस्तार में मध्य पद \(\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)th\) पद है यदि n सम है।

(a + b)n के विस्तार में यदि n विषम है तो दो मध्य पद हैं जो निम्नलिखित हैं:\(\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)th\;and\;\left( {\frac{{n + 1}}{2} + 1} \right)th\;term\)

गणना:

दिया हुआ: (x + 3)6 

यहाँ, n = 6

∵ n = 6 और यह सम संख्या है।

जैसा कि हम जानते हैं कि (a + b)n के विस्तार में मध्य पद \(\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)th\) पद है यदि n सम है।

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} × {x^{n - r}} × {y^r}\)

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)और\(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\)दो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें \(\rm \left(2x + \frac 1 x \right)^{5}\) के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 5 (n विषम संख्या है।)

∴ मध्य पद =  \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)and \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) = तीसरा और चौथा

T3 = T (2 + 1) = 5C2 × (2x) (5 - 2) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^2\)  और T4 = T (3 + 1) = 5C3 × (2x) (5 - 3) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^3\) 

T3 =  5C2 × (2³x) और T4 = 5C3 × 2² × \(\rm \frac 1 x\)

T3 = 80x और  T4 = \(\rm \frac {40}{x}\)

अतः विस्तार का मध्य पद 80x और \(\rm \frac {40}{x}\) है। 

संकल्पना:

(1 + x)n का प्रसरण:

\(\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\)

गणना:

दिया गया है: (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद (-1/8)x² है। 

\(\rm (1+x)^m= 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}x^3 +....\)

इसलिए, (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद\(\rm \frac{m(m-1)}{2!}x^2\) है। 

\(\rm \frac{m(m-1)}{2!}x^2\) = (-1/8)x²

⇒ \(\rm \frac{m(m-1)}{2}= \frac {-1}{8}\)

⇒ 4m² - 4m + 1 = 0

⇒ (2m - 1)² = 0

⇒ 2m - 1 = 0

∴ m = \(\frac 12\)

धारणा:

सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है

• \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} \times {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)

गणना:

दिया गया विस्तार \({\left( {\sqrt {\rm{x}} + \frac{1}{{3{{\rm{x}}^2}}}} \right)^{10}}\) है

सामान्य पद = \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{\frac{{10{\rm{\;}} - {\rm{\;r}}}}{2}}} \times {\left( {\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2}}}} \right)^{\rm{r}}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {3^{ - {\rm{r}}}} \times {{\rm{x}}^{\frac{{10{\rm{\;}} - 5{\rm{\;r}}}}{2}}}\) 

x से स्वतंत्र पद के लिए x की घात शून्य होनी चाहिए

यानी \(\frac{{10{\rm{\;}} - 5{\rm{\;r}}}}{2} = 0\)

⇒ r = 2

धारणा:

सामान्य पद: (x + y)n के द्विपद विस्तार में सामान्य पद इसके द्वारा दिया जाता है

\({T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)

मध्य पद: (x + y)n के विस्तार में मध्य पद n के मान पर निर्भर करता है।

• यदि n सम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए केवल एक मध्य पद है यानी \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है।

\({T_{\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_{\frac{n}{2}}} \times {x^{\frac{n}{2}}} \times {y^{\frac{n}{2}}}\)

• यदि n विषम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं यानी \({\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\)और \({\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) दो मध्य पद हैं।

गणना:

यहाँ हमें (2 + 3x)⁴ के द्विपद विस्तार में मध्य पद के गुणांक को खोजना होगा

यहाँ n = 4 (n सम संख्या है)

∴ मध्य पद = \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{4}{2} + 1} \right) = 3rd\;term\)

T₃ = T _{(2 + 1)} = ⁴C₂ × (2) ^{(4 - 2)} × (3x) ²

T₃ = 6 × 4 × 9x² = 216 x²

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)

(1 + x)ⁿ का विस्तार:

\(\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\)

गणना:

खोजने के लिए: \(\rm (4-5x^2)^{-1/2}\) के विस्तार में x² का गुणांक \(\rm (4-5x^2)^{-1/2} = 4^{-1/2}\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right )^{-1/2}\\ \text{As we know}\;\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\\\therefore 4^{-1/2}\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right )^{-1/2} = 2^{-1}\left[1 + \left(-\frac{5}{4}x^2 \right ) \times (\frac{-1}{2}) + ... \right ]\)

अब, विस्तार में x² का गुणांक = \(2^{-1} \times \frac{-5}{4} \times \frac{-1}{2} = \frac{5}{16}\)

प्रयुक्त सूत्र:

(1 + x)n  = [nC0 + nC1 x + nC2 x2 + … +nCn xn]

• C0 + C1 + C2 + … + Cn = 2n
• C0 + C2 + C4 + … =  2n-1
• C1 + C3 + C5 + … = 2n-1

गणना:

(1 + x)50  = [50C0 + 50C1 x + 50C2 x2 + … +50Cn x50]    ----(1)

यहाँ, n = 50

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, गुणांक के विषम पदों का योग है

S = (50C1 + 50C3­ + 50C5 + ……. + 50C49)

⇒ S = 250-1 = 249

∴ गुणांक के विषम पदों का योग = 249