Quadratic Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Quadratic Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 8, 2025

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Latest Quadratic Equations MCQ Objective Questions

Quadratic Equations Question 1:

यदि सभी \(a \in R-\{1\}\) का समुच्चय, जिसके लिए समीकरण \((1-a) x^{2}+2(a-3) x+9=0\) के मूल धनात्मक हैं, \((-\infty,-\alpha] \cup[\beta, \gamma)\) है, तो \(2 \alpha+\beta+\gamma\) बराबर है ________

Answer (Detailed Solution Below) 7

Quadratic Equations Question 1 Detailed Solution

Explanation 
\((1-a) x^{2}+2(a-3) x+9=0\)
\(\Delta \geq 0\)
\(\mathrm{a} \in(-\infty,-3] \cup[0, \infty) \quad\) and \(\alpha \beta>0\) and \(\alpha+\beta>0\)
\(\mathrm{a} \in(-\infty, 3] \cup(0, \infty) \quad\) and \(\mathrm{a}<1\)
\(\Rightarrow \mathrm{a} \in(-\infty,-3] \cup[0,1]\) 
\(2 \alpha+\beta+\gamma=7\)

Quadratic Equations Question 2:

Comprehension:

α और β द्विघात समीकरण x2 x√α + β = 0 के मूल हैं। इस कथन को ध्यान में रखते हुए निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए। 

जिसके मूल α+1 और β+1 हैं, वह द्विघात समीकरण है:

  1. x2 - x + 2 = 0
  2. x2 - x - 2 = 0
  3. x2 + x + 2 = 0
  4. x2 + x - 2 = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : x2 - x - 2 = 0

Quadratic Equations Question 2 Detailed Solution

- amglogisticsinc.net

गणना:

दिया गया है,

पिछले परिणाम से, मूल समीकरण के मूल हैं

\( \alpha = 1 \) और \( \beta = -2 \)

हम उस द्विघात समीकरण ज्ञात कर रहे हैं जिसके मूल हैं

\( \alpha + 1 = 1 + 1 = 2\) और \( \beta + 1 = -2 + 1 = -1 \)

एक द्विघात समीकरण जिसके मूल \(r_1\) और \(r_2\) हैं, का एकघाती रूप है:

\( x^2 - (r_1 + r_2)\,x + (r_1\,r_2) = 0. \)

यहाँ,

\( r_1 + r_2 = 2 + (-1) = 1, \)

\( r_1\,r_2 = 2 \times (-1) = -2. \)

प्रतिस्थापित करने पर:

\( x^2 - 1\cdot x + (-2) = 0 \)

\( \boxed{x^2 - x - 2 = 0} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

Quadratic Equations Question 3:

Comprehension:

α और β द्विघात समीकरण x2 x√α + β = 0 के मूल हैं। इस कथन को ध्यान में रखते हुए निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए। 

α और β के मान है:

  1. α = 1 और β = -1
  2. α = 2 और β = -2
  3. α = 2 और β = 1
  4. α = 1 और β = -2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : α = 1 और β = -2

Quadratic Equations Question 3 Detailed Solution

- amglogisticsinc.net

गणना:

दिया गया है,

α और β द्विघात समीकरण के मूल हैं

\(x^2 + \sqrt{\alpha}\,x + \beta = 0 \)

विआटा के संबंधों से,

मूलों का योग: \( \alpha + \beta = -\sqrt{\alpha} \),

मूलों का गुणनफल: \(\alpha\beta = \beta \)

\(\alpha\beta = \beta \) से, या तो \(\beta = 0 \) या \(\alpha = 1 \) 

चूँकि दिए गए विकल्पों में β≠0 है, इसलिए हम \(\alpha = 1 \) लेते हैं।

योग संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:

\(1 + \beta = -\sqrt{1} = -1\)\(\beta = -2 \)

इसलिए, \(\alpha = 1 \) और \(\beta = -2 \)

अतः सही उत्तर विकल्प 4 है।

Quadratic Equations Question 4:

यदि का एक मूल k है, तो \(\frac{1}{k}\)किसके बराबर है?

  1. π/2
  2. 0
  3. π/4
  4. π/2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : π/2

Quadratic Equations Question 4 Detailed Solution

गणना:

हमें दिया गया है कि k, का एक मूल है।

द्विघात समीकरण को हल करना:

\(x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} \)

\(x = 2 \pm \sqrt{3} \)

इस प्रकार, k के दो संभावित मान हैं

\(k = 2 + \sqrt{3} \quad \text{or} \quad k = 2 - \sqrt{3} \)

हमें \(\tan^{-1}(k) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) \) ज्ञात करने की आवश्यकता है।

व्युत्क्रम स्पर्शज्या के योग के लिए सर्वसमिका का उपयोग करना

\(\tan^{-1}(a) + \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}\left(\frac{a + b}{1 - ab}\right) \)

\(\tan^{-1}(k) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{k + \frac{1}{k}}{1 - k \cdot \frac{1}{k}}\right) \)

\(= \tan^{-1}\left(\frac{k + \frac{1}{k}}{1 - 1}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{k + \frac{1}{k}}{0}\right) \)

यह व्यंजक अपरिभाषित मान देता है, लेकिन हम व्युत्क्रम स्पर्शज्या के गुणों से जानते हैं कि

\(\tan^{-1}(k) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) = \frac{\pi}{2}\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

Quadratic Equations Question 5:

यदि , तो \((x-\frac{1}{x})^2+(x-\frac{1}{x})^4+(x-\frac{1}{x})^8\) का मान है:

  1. 81
  2. 85
  3. 87
  4. 90

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 87

Quadratic Equations Question 5 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

समीकरण \( x^2 - x + 1 = 0 \) है,

हमें निम्नलिखित व्यंजक का मान ज्ञात करना है:

\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 + \left( x - \frac{1}{x} \right)^4 + \left( x - \frac{1}{x} \right)^8 \)

समीकरण \( x^2 - x + 1 = 0 \) को निम्न प्रकार हल किया जाता है:

\( x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = e^{i \pi / 3} \quad \text{or} \quad x = e^{-i \pi / 3} \)

अब, \( x \) के मान को व्यंजक \( x - \frac{1}{x} \): में प्रतिस्थापित करें।

\( x - \frac{1}{x} = i\sqrt{3} \)

\( x - \frac{1}{x} \) की घातों का मूल्यांकन करें

अब, व्यंजक में प्रत्येक पद का मूल्यांकन करते हैं:

\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 = (i \sqrt{3})^2 = -3 \)

\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^4 = (-3)^2 = 9 \)

\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^8 = 9^2 = 81 \)

अब, मानों को जोड़ें:

\( -3 + 9 + 81 = 87 \)

∴ व्यंजक का मान 87 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

Top Quadratic Equations MCQ Objective Questions

यदि α और β द्विघात समीकरण (5 + √2) x- (4 + √5) x + (8 + 2√5) = 0 के मूल हैं, तो 2αβ / (α + β) का मान क्या है?

  1. 7
  2. 4
  3. 2
  4. 8

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 4

Quadratic Equations Question 6 Detailed Solution

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प्रयुक्त अवधारणा:

द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिए, 

α + β = -b/a और αβ = c/a

गणना:

दिया गया समीकरण (5 + √2) x2 - (4 + √5) x + (8 + 2√5) = 0 है

ax2 + bx + c = 0 द्वारा इस समीकरण की तुलना करने पर , हम प्राप्त करते हैं

a = (5 + √2), b =  - (4 + √5) और c = (8 + 2√5)

अब, αβ = (8 + 2√5)/(5 + √2) और α + β = (4 + √5)/(5 + √2)

अब, हमें 2αβ/(α + β) का मान ज्ञात करना है 

⇒ 2[(8 + 2√5)/(5 + √2)] / [(4 + √5)/(5 + √2)]

⇒ 2 [(8 + 2√5) (4 - √5)] / [(4 + √5)/(4 - √5)]

⇒ 2(32 + 8√5 - 8√5 - 10)/11

⇒ 44/11 = 4

∴ 2αβ/ (α + β) का आवश्यक मान 4 है।

यदि समीकरण ax+ bx + c = 0 के मूल समान हैं और विपरीत चिह्न के हैं, तो निम्न में से कौन-सा कथन सही है?

  1. a = 0.
  2. b = 0.
  3. c = 0.
  4. None of these.

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : b = 0.

Quadratic Equations Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि α और β द्विघात समीकरण Ax2 + Bx + C = 0 के दो मूल हैं, तो α + β = \(\rm -\dfrac{B}{A}\) और αβ = \(\rm \dfrac{C}{A}\) है।

गणना:

माना कि α और β द्विघातीय समीकरण ax2 + bx + c = 0 के दो मूल हैं, तो α + β = \(\rm -\dfrac{b}{a}\) और αβ = \(\rm \dfrac{c}{a}\) है।

दिया गया है कि α = -β है।

∴ -β + β = \(\rm -\dfrac{b}{a}\)

⇒ \(\rm -\dfrac{b}{a}\) = 0

⇒ b = 0.

यदि α और β समीकरण x2 - q(1 + x) - r = 0 के मूल हैं, तो (1 + α)(1 + β) किसके बराबर है?

  1. 1 - r
  2. q - r
  3. 1 + r
  4. q + r

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 1 - r

Quadratic Equations Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

माना कि द्विघाती समीकरण का मानक रूप, ax2 + bx + c =0 लेते हैं। 

माना कि α और β उपरोक्त द्विघाती समीकरण के दो मूल हैं। 

एक द्विघाती समीकरण के मूलों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({\rm{α }} + {\rm{β }} = - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} = - \frac{{{\rm{coefficient\;of\;x}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\) 

मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({\rm{α β }} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{constant\;term}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\)

गणना:

दिया गया है: α और β समीकरण x2 - q(1 + x) - r = 0 के मूल हैं। 

⇒ x2 - q - qx - r = 0

⇒ x2 - qx - (q + r) = 0

मूलों का योग =  α + β = q

मूलों का गुणनफल = αβ = - (q + r) = -q - r

निम्न का मान ज्ञात करने के लिए: (1 + α)(1 + β) 

(1 + α)(1 + β) = 1 + α + β + αβ 

= 1 + q - q - r 

= 1 - r

समीकरण \(\rm\frac {1}{x-3} = \frac {1}{x + 2} - \frac 1 2\) की डिग्री क्या है?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 2

Quadratic Equations Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

डिग्री एक दिए गए बहुपद में चर का उच्चतम घांत होता है। 

 

गणना:

यहाँ,

\(\rm\frac {1}{x-3} = \frac {1}{x + 2} - \frac 1 2\\ \Rightarrow \rm\frac {1}{x-3}= \frac{2-x-2}{2 x+4} \\ \Rightarrow\frac{-x}{2 x+4}=\frac{1}{x-3} \\ \Rightarrow\frac{1}{x-3}+\frac{x}{2 x+4}=0 \\ \Rightarrow\frac{2 x+4+x^{2}-3 x}{(x-3)(2 x+4)}=0 \\ \Rightarrow x^{2}-x+4=0 \)

 

∴ डिग्री = 2

अतः विकल्प (3) सही है। 

यदि α, β समीकरण x2 + px + q = 0 के मूल हैं तो α2 + βका मान ज्ञात कीजिए।

  1. p2 + 2q
  2. p2 - 2q
  3. p(p2 - 3q)
  4. p2 - 4q

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : p2 - 2q

Quadratic Equations Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक द्विघात समीकरण के मानक रूप ax2 + bx + c =0 पर विचार करते हैं।

माना कि α और β उपरोक्त द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।

एक द्विघात समीकरण के मूलों का योग निम्न है: \({\rm{α }} + {\rm{β }} = - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} = - \frac{{{\rm{coefficient\;of\;x}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\) 

मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा दिया गया है: \({\rm{α β }} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{constant\;term}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\)

 

गणना:

दिया हुआ: α, β समीकरण x2 + px + q = 0 के मूल हैं

मूलों का योग = α + β = -p

मूलों का गुणनफल = αβ = q

हम जानते हैं कि (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

तो (α + β)2 = α2 + β2 + 2αβ

⇒ (-p)2 = α2 + β2 + 2q

∴ α2 + β2 = p2 - 2q

यदि x + 4, 3x2 + kx + 8 का गुणनखंड है तब k का मान ज्ञात करें।

  1. 4
  2. -4
  3. -14
  4. 14

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 14

Quadratic Equations Question 11 Detailed Solution

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अवधारणा:

यदि p(x) एक फलन है और (x - a), p(x) का गुणनखंड है तो, p(a) = 0

गणना:

x + 4, 3x2 + kx + 8 का गुणनखंड है, इसलिए x = -4 इस समीकरन का हल होगा

⇒ 3(-4)2 + k(-4) + 8 = 0

⇒ 4k = 48 + 8

⇒ k = 14

यदि ax2 + bx + c = 0 के मूलों के बीच का अंतर 1 है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?

  1. b2 = a(a + 4c)
  2. a2 = b(b + 4c)
  3. a2 = c(a + 4c)
  4. b2 = a(b + 4c)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : b2 = a(a + 4c)

Quadratic Equations Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

माना कि द्विघाती समीकरण का मानक रूप, ax2 + bx + c =0 लेते हैं।

माना कि α और β उपरोक्त द्विघाती समीकरण के दो मूल हैं। 

एक द्विघाती समीकरण के मूलों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\({\rm{α }} + {\rm{β }} = - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} = - \frac{{{\rm{coefficient\;of\;x}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\) 

मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\({\rm{α β }} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{constant\;term}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\)

 

गणना:

दिया गया है: ax2 + bx + c = 0 के मूलों के बीच का अंतर 1 है। 

माना कि α और β उपरोक्त द्विघाती समीकरण के दो मूल हैं। 

मूलों का योग = α + β = \( - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} \)

मूलों का गुणनफल = α β = \(\frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}\)

अब,

α - β = 1

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ (α - β)2 = 12

⇒ (α + β)2 - 4α β = 1

⇒ \(\rm (\frac{-b}{a})^{2} - \frac{4c}{a} = 1\)

⇒ b2 - 4ac = a2

⇒ b2 = a2 + 4ac

∴ b2 = a(a + 4c)

यदि x2 + kx + k = 0 के मूल पुनरावृत्त होते हैं, तो k का मान संतुष्ट होता है:

  1. k < 0 या k > 4
  2. केवल k = 4
  3. k = 4 या k = 0
  4. 0 < k < 4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : k = 4 या k = 0

Quadratic Equations Question 13 Detailed Solution

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दिए गए समीकरण से, a = 1, b = k, c = k

पुनरावृत्त मूल के लिए, b2 – 4ac = 0

⇒ k2 – 4k = 0

⇒ k(k – 4) = 0

∴ k = 4 या k = 0

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 है।

यदि α, β समीकरण 3x2 + 57x - 5 = 0 के मूल हैं तो \(\frac{\alpha ^3+\beta ^3}{\alpha ^{-3}+\ \beta ^{-3}}\) किसके बराबर है?

  1. - 27/125
  2. 81/125
  3. 27/125
  4. -125/27

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : -125/27

Quadratic Equations Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

माना कि एक द्विघाती समीकरण: ax2 + bx + c = 0.

माना कि, α और β मूल हैं। 

  • मूलों का योग = α + β = -b/a
  • मूलों का गुणनफल = α × β = c/a

 

गणना:

दिया गया द्विघाती समीकरण: 3x2 + 57x - 5 = 0

माना कि α और β मूल हैं, तो 

α + β = -57/3,  αβ = -5/3

अब,\(\frac{α ^3+β ^3}{α ^{-3}+β ^{-3}}\)\(\frac{α ^3+β ^3}{\frac {1}{α ^{3}}+\frac{1}{β ^{3}}}\)

\(\frac{α ^3+β ^3}{\frac {(α ^3+β ^3)}{α^3 β^3 }}\)

= (α β)3

= (-5/3)3

= -125/27

अतः विकल्प (4) सही है।  

यदि α और β समीकरण x2 + 5|x| - 6 = 0 के मूल हैं, तो |tan-1α - tan-1 β| का मान क्या है?

  1. \(\dfrac{\pi}{2}\)
  2. 0
  3. π 
  4. \(\dfrac{\pi}{4}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\dfrac{\pi}{2}\)

Quadratic Equations Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

 

मापांक मान ऋणात्मक नहीं होता है। 

tan-1 (- x) = - tan-1 (x)

 

गणना:

दिया गया है, समीकरण x2 + 5|x| - 6 = 0 है। 

⇒|x2| + 5|x| - 6 = 0 

⇒|x2| + 6|x| - |x| - 6 = 0

⇒|x| (|x|+ 6) - 1 (|x| + 6) = 0

⇒ (|x| + 6) (|x| - 1)= 0

⇒(|x| + 6) = 0  और (|x| - 1) = 0

⇒ |x| = - 6  और |x| = 1

लेकिन |x| = - 6 है, जो संभव नहीं है क्योंकि मापांक का मान ऋणात्मक नहीं होता है। 

⇒ |x| = 1

⇒ x = 1 और x = -1

दिया गया है, α और β समीकरण x2 + 5|x| - 6 = 0 के मूल हैं। 

इसलिए, α = 1 और β = -1 

अब, माना कि, |tan-1 α - tan-1 β| = |tan-1 (1) - tan-1 (- 1)|

 |tan-1 (1) + tan-1 (1)|

 |2 tan-1 (1)|

⇒ 2.\(\rm \dfrac{\pi}{4}\)

 \(\rm \dfrac{\pi}{2}\)

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