Quadratic Equations MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Quadratic Equations - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

கொடுக்கப்பட்டது:

x 2 - 7x + 12 = 0 இன் வேர்களின் பெருக்கல்

பயன்படுத்தப்படும் கருத்து:

கோடாரி ² + bx + c = 0

மூலத்தின் தயாரிப்பு = c/a

தீர்வு:

x 2 - 7x + 12 = 0

கருத்தின் படி,

x 2 + (- 7)x + 12 = 0

மூலத்தின் தயாரிப்பு = 12/1 = 12

∴ x 2 - 7x + 12 = 0 இன் வேர்களின் பெருக்கல் 12 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது:

மூலங்களின் கூட்டுத்தொகை (S) = \(-\dfrac{3}{5}\)

மூலங்களின் பெருக்கல் (P) = \(\dfrac{2}{5}\)

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

α மற்றும் β மூலங்களைக் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொது வடிவம்:

\(x^2 - (S)x + P = 0\)

கணக்கீடுகள்:

S மற்றும் P மதிப்புகளைப் பிரதியிடு:

⇒ \(x^2 - \left(-\dfrac{3}{5}\right)x + \dfrac{2}{5} = 0\)

⇒ \(x^2 + \dfrac{3}{5}x + \dfrac{2}{5} = 0\)

பின்னங்களை நீக்க, முழு சமன்பாட்டையும் 5 ஆல் பெருக்கவும்:

⇒ \(5x^2 + 3x + 2 = 0\)

∴ தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு 5x² + 3x + 2 = 0.

கொடுக்கப்பட்டது:

6x2 + x - 15 = 0

கருத்து:

ax2 + bx + c = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α மற்றும் β ஆக இருந்தால்,

​கணக்கீடு:

6x2 + x - 15 = 0

⇒ 6x2 + 10x - 9x - 15 = 0

⇒ 2x(3x + 5) - 3(3x + 5) = 0

⇒ (2x - 3)(3x + 5) = 0

⇒ x = 3/2, -5/3

இப்போது நாம் (α - β) இன் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்

⇒ 3/2 - (-5/3)

⇒ 3/2 + 5/3

⇒ (9 + 10)/6

⇒19/6
∴ விருப்பம் 2 சரியான பதில்.

கோட்பாடு:

ax² + bx + c = 0 என்ற சமன்பாட்டைக் கருதுக.

இச்சமன்பாட்டில், b² −4ac என்ற உறுப்பை நாம் பண்புகாட்டி என்றழைக்கிறோம். இந்தப் பண்புக்காட்டி முக்கியமான ஒன்றாகும் ஏனெனில், இது ஒரு இருபடி சமன்பாடு எத்தனை மூலங்களைக் கொண்டுள்ளது என்று நமக்கு கூறுகிறது. குறிப்பாக, 

• b² − 4ac < 0 மெய் மூலங்கள் கிடையாது.
• b² − 4ac = 0 ஒரு மெய் மூலம் உண்டு.

• b² − 4ac > 0 இரு மெய் மூலங்கள் உண்டு.

கணக்கீடு:

2x2 + px - 16 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலம் -4 எனில்,

⇒ 2(-4)² + p(-4) - 16 = 0

⇒ 32 - 4p - 16 = 0

⇒ -4p + 16 = 0

⇒ -4p = -16

⇒ p = 4

pஇன் மதிப்பை p(x2 + x) + k = 0இல் பிரதியிட, நாம் பெறுவது 

4(x2 + x) + k = 0

⇒ 4x2 + 4x + k = 0

இப்போது, கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு சமமான மூலங்களைக் கொண்டுள்ளது.

⇒ பண்புக்காட்டி = 0

⇒ 4² - 4 × 4 × k = 0

⇒ 16 = 16k

⇒ k = 1

கோட்பாடு:

α மற்றும் β சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்றால்,  ax2 + bx + c =0

மூலங்களின் கூட்டுத்தொகை (α + β) = 

மூலங்களின் தயாரிப்பு (αβ) = 

(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy ..

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டவை: f (x) = x2 - 5x + 6

f(x) ஐ ax2 + bx + c =0 உடன் ஒப்பிடுகையில், நம்மிடம் , a = 1 , b= -5 மற்றும் c= 6 உள்ளது.

இப்போது, ​​மூலங்களின் கூட்டுத்தொகை = α + β = =  = 5

மற்றும் மூலங்களின் தயாரிப்பு αβ = = = 6 .

இப்போது, ​​α2β + β2α = αβ ( α+ β ) )

= 6 × 5

= 30

சரியான விருப்பம் 2.  

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

இருபடி சமன்பாட்டிற்கு, ax² + bx + c = 0,

α + β = -b/a மற்றும் αβ = c/a

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு (5 + √2) x2 - (4 + √5) x + (8 + 2√5) = 0

இந்த சமன்பாட்டை ax2 + bx + c = 0 உடன் ஒப்பிடும்போது, நமக்குக் கிடைப்பது 

a = (5 + √2), b = - (4 + √5) மற்றும் c = (8 + 2√5)

இப்போது, αβ = (8 + 2√5)/(5 + √2) மற்றும் α + β = (4 + √5)/(5 + √2)

இப்போது, நாம் 2αβ/(α + β) இன் மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்

⇒ 2[(8 + 2√5)/(5 + √2)] / [(4 + √5)/(5 + √2)]

⇒ 2 [(8 + 2√5) (4 - √5)] / [(4 + √5)/(4 - √5)]

⇒ 2(32 + 8√5 - 8√5 - 10)/11

⇒ 44/11 = 4

∴ 2αβ/ (α + β) இன் தேவையான மதிப்பு 4 ஆகும்.

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்துரு:

p(x) என்பது சார்பாகவும், (x - a) என்பது p(x) என்பதன் காரணி ஆகவும் இருக்குமெனில், p(a) = 0

கணக்கீடு:

x + 4 என்பது 3x2 + kx + 8 என்பதன் காரணி எனில், x = -4 என்பது இந்தச் சமன்பாட்டின் தீர்வாக இருக்கும்

⇒ 3(-4)2 + k(-4) + 8 = 0

⇒ 4k = 48 + 8

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிலிருந்து, a = 1, b = k, c = k

மீண்டும் மீண்டும் மூலங்களுக்கு, b² – 4ac = 0

⇒ k² – 4k = 0

⇒ k(k – 4) = 0

∴ k = 4 அல்லது k = 0.

எனவே, சரியான பதில் விருப்பம் 3 ஆகும்.

கோட்பாடு:

ax² + bx + c = 0 என்ற சமன்பாட்டைக் கருதுக.

இச்சமன்பாட்டில், b² −4ac என்ற உறுப்பை நாம் பண்புகாட்டி என்றழைக்கிறோம். இந்தப் பண்புக்காட்டி முக்கியமான ஒன்றாகும் ஏனெனில், இது ஒரு இருபடி சமன்பாடு எத்தனை மூலங்களைக் கொண்டுள்ளது என்று நமக்கு கூறுகிறது. குறிப்பாக, 

• b² − 4ac < 0 மெய் மூலங்கள் கிடையாது.
• b² − 4ac = 0 ஒரு மெய் மூலம் உண்டு.

• b² − 4ac > 0 இரு மெய் மூலங்கள் உண்டு.

கணக்கீடு:

2x2 + px - 16 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலம் -4 எனில்,

⇒ 2(-4)² + p(-4) - 16 = 0

⇒ 32 - 4p - 16 = 0

⇒ -4p + 16 = 0

⇒ -4p = -16

⇒ p = 4

pஇன் மதிப்பை p(x2 + x) + k = 0இல் பிரதியிட, நாம் பெறுவது 

4(x2 + x) + k = 0

⇒ 4x2 + 4x + k = 0

இப்போது, கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு சமமான மூலங்களைக் கொண்டுள்ளது.

⇒ பண்புக்காட்டி = 0

⇒ 4² - 4 × 4 × k = 0

⇒ 16 = 16k

⇒ k = 1

கொடுக்கப்பட்ட,

(x - 1)² + (y - 2)² = (x – 1) (y - 2)

கருத்து:/சூத்திரம்:

(x – y)² = k²

(x – y) = k அல்லது (–k)

x = (k + y) அல்லது (y - k)

கணக்கீடு:

(x -1)² + (y - 2)² = (x – 1) (y - 2)

⇒ (x – 1) ² = (x – 1) (y – 2) என எடுத்துக்கொள்வதால் 

⇒ (x – 1) = (y – 2)

⇒ x – y = -2 + 1

⇒ x – y = (-1) ----(1)

⇒ (y – 2) ² = (x – 1) (y – 2) என எடுத்துக்கொள்வதால் 

⇒ (y – 2) = (x – 1)

⇒ x – y = -2 + 1

⇒ x – y = (-1) ----(2)

y = 2 மற்றும் x = 1, பின்னர்

⇒ 1 - 2 = (-1)

(-1) = (-1) (நிறைவடைகிறது)

இப்போது,

2x + 3y

⇒ 2 × 1 + 3 × 2

⇒ 2 + 6

⇒ 8

கோட்பாடு:

α மற்றும் β சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்றால்,  ax2 + bx + c =0

மூலங்களின் கூட்டுத்தொகை (α + β) = 

மூலங்களின் தயாரிப்பு (αβ) = 

(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy ..

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டவை: f (x) = x2 - 5x + 6

f(x) ஐ ax2 + bx + c =0 உடன் ஒப்பிடுகையில், நம்மிடம் , a = 1 , b= -5 மற்றும் c= 6 உள்ளது.

இப்போது, ​​மூலங்களின் கூட்டுத்தொகை = α + β = =  = 5

மற்றும் மூலங்களின் தயாரிப்பு αβ = = = 6 .

இப்போது, ​​α2β + β2α = αβ ( α+ β ) )

= 6 × 5

= 30

சரியான விருப்பம் 2.  

கருத்து:

α மற்றும் β ஆனது, ax2 + bx + c =0 என்ற சமன்பாட்டின் வர்க்கமூலம் என்றால்

வர்க்க மூலத்தின் கூட்டுத்தொகை (α + β) = \(\rm \frac{-b}{a}\)  

வர்க்க மூலத்தின் பெருக்கல்பலன்(αβ) = \(\rm \frac{c}{a}\)   

(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy .

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டது: f (x) = x2 + 3x -10

f(x) ஐ ax2 + bx + c =0 உடன் ஒப்பிடும்போது, நமக்கு a = 1 , b= 3 மற்றும் c= -10 ஆனது கிடைக்கும். 

இப்போது, வர்க்க மூலத்தின் கூட்டுத்தொகை =  α + β = \(\rm \frac{-b}{a}\) = \(\rm \frac{-3}{1}\) = -3

மற்றும் வர்க்க மூலத்தின் பெருக்கல்பலன் αβ = \(\rm \frac{c}{a}\) = \(\rm \frac{-10}{1}\) = -10 . 

இப்போது, α3β + β3α = αβ ( α2 + β2 ) 

= αβ [ (α + β )2 - 2αβ ] 

= (-10) [ (-3)2 - ( 2 × (-10))]

= (-10) [ 9 + 20] 

= -290 .

சரியான விருப்பம் 4. 

\(\frac{6^{2/3}\times \sqrt[3] 6^7}{\sqrt[3]6^6} \)

\(⇒ \frac{6^{2/3}\times \sqrt[3] {6\times6\times6\times6\times6\times6\times6}}{\sqrt[3]{6\times6\times6\times6\times6\times6} }\)

\(⇒ 6^\frac{2}{3}\times \sqrt[3]{6}\)

\(⇒ 6^\frac{2}{3}\times 6^\frac{1}{3}\)

\(⇒ 6^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}\)

⇒ 6

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

இருபடி சமன்பாட்டிற்கு, ax² + bx + c = 0,

α + β = -b/a மற்றும் αβ = c/a

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு (5 + √2) x2 - (4 + √5) x + (8 + 2√5) = 0

இந்த சமன்பாட்டை ax2 + bx + c = 0 உடன் ஒப்பிடும்போது, நமக்குக் கிடைப்பது 

a = (5 + √2), b = - (4 + √5) மற்றும் c = (8 + 2√5)

இப்போது, αβ = (8 + 2√5)/(5 + √2) மற்றும் α + β = (4 + √5)/(5 + √2)

இப்போது, நாம் 2αβ/(α + β) இன் மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்

⇒ 2[(8 + 2√5)/(5 + √2)] / [(4 + √5)/(5 + √2)]

⇒ 2 [(8 + 2√5) (4 - √5)] / [(4 + √5)/(4 - √5)]

⇒ 2(32 + 8√5 - 8√5 - 10)/11

⇒ 44/11 = 4

∴ 2αβ/ (α + β) இன் தேவையான மதிப்பு 4 ஆகும்.

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்துரு:

p(x) என்பது சார்பாகவும், (x - a) என்பது p(x) என்பதன் காரணி ஆகவும் இருக்குமெனில், p(a) = 0

கணக்கீடு:

x + 4 என்பது 3x2 + kx + 8 என்பதன் காரணி எனில், x = -4 என்பது இந்தச் சமன்பாட்டின் தீர்வாக இருக்கும்

⇒ 3(-4)2 + k(-4) + 8 = 0

⇒ 4k = 48 + 8