Quadratic Equations MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Quadratic Equations - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

গণনা

\({e}^{\sin{x}}-{e}^{-{\sin{x}}}-4=0\)

ধরা যাক \(e^{\sin x}=t\)

তাহলে, আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণ পাই

⇒ \(t+ \dfrac{1}{t}=4\)

\(\Rightarrow t^2-4t-1=0\)

\(\Rightarrow t=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{4^2-4(1)(-1)}}{2}=\dfrac{4\pm2\sqrt{5}}{2}\)

\(\Rightarrow t=2+\sqrt{5}\) অথবা \(2-\sqrt{5}\)

\(e^{\sin x}=2+\sqrt{5}\) এবং \(2-\sqrt{5}\) সম্ভব নয়।

অতএব, কোন সমাধান নেই।

অতএব, বিকল্প 2 সঠিক।

গণনা

\( a^{2}=3t^{2}-2t \)

অ-পূর্ণসংখ্যা সমাধানের জন্য,

⇒ \( 0< a^{2}< 1 \)

⇒ \( a \in \left ( -1,0 \right )\cup \left ( 0,1 \right ) \)

[দ্রষ্টব্য: ধরে নেওয়া হচ্ছে যে প্রদত্ত সমীকরণের একটি বাস্তব সমাধান বিদ্যমান।]

অতএব, বিকল্প 1 সঠিক

\( D = (1 + \sin \theta \cos \theta)^2 - 4 \sin \theta \cos \theta \) = \((1 - \sin \theta \cos \theta)^2 \)

বীজগুলি হল \( \beta = cosec \theta \) এবং \( \alpha = \cos \theta \)

\( \Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \left( a^n + \dfrac{(-1)^n}{\beta^n} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} (\cos \theta)^n + \sum_{n=0}^{\infty} (-\sin \theta)^n \)

\( = \dfrac{1}{1 - \cos \theta} + \dfrac{1}{1 + \sin \theta} \)

দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য, ax2 + bx + c = 0, α + β = -b/a এবং αβ = c/a

⇒ এখানে, αβ = (8 + 2√5)/(5 + √2) এবং α + β = (4 + √5)/(5 + √2)

⇒ সুতরাং, 2αβ/ (α + β)

⇒ 2[(8 + 2√5) / (5 + √2)] / [(4 + √5) / (5 + √2)]

⇒ 2 [(8 + 2√5) (4 - √5)] / [(4 + √5) / (4 - √5)]

⇒ 2(32 + 8√5 - 8√5 - 10)/11

⇒ 44/11 = 4

অনুসৃত ধারণা:

যদি p(x) একটি ফলন হয় এবং (x - a), p(x) এর একটি উৎপাদক হয় তাহলে, p(a) = 0 হবে

গণনা:

x + 4 হল 3x2 + kx + 8 এর একটি উৎপাদক, তাই x = -4 এই সমীকরণের একটি সমাধান হবে

⇒ 3(-4)2 + k(-4) + 8 = 0

⇒ 4k = 48 + 8

⇒ k = 14

প্রদত্ত সমীকরণ থেকে, a = 1, b = k, c = k

পুনরাবৃত্ত মূলের জন্য, b² – 4ac = 0

⇒ k² – 4k = 0

⇒ k(k – 4) = 0

∴ k = 4 অথবা k = 0

সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 3

ধারণা:

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 বিবেচনা করুন।

এই সমীকরণে, আমরা b² − 4ac শব্দটিকে বৈষম্য বলি। বৈষম্য গুরুত্বপূর্ণ কারণ এটি আমাদের বলে যে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের কতগুলি মূল রয়েছে। বিশেষ করে, যদি

• b² − 4 ac < 0 কোনও প্রকৃত মূল নেই।
• b² − 4 ac = 0 একটি প্রকৃত মূল আছে।

• b² − 4 ac > 0 দুটি প্রকৃত মূল আছে।

গণনা:

যদি সমীকরণ 2x2 + px - 16 = 0 এর মূল -4 হয়,

⇒ 2(-4)² + p(-4) - 16 = 0

⇒ 32 - 4p - 16 = 0

⇒ -4p + 16 = 0

⇒ -4p = -16

⇒ p = 4

p(x2 + x) + k = 0-এ এই মান প্রতিস্থাপন করে পাই,

4(x2 + x) + k = 0

⇒ 4x2 + 4x + k = 0

এখন, প্রদত্ত সমীকরণের সমান মূল রয়েছে।

⇒ বৈষম্য = 0

⇒ 4² - 4 × 4 × k = 0

⇒ 16 = 16k

⇒ k = 1

প্রদত্ত:

(x - 1)² + (y - 2)² = (x – 1) (y - 2)

ধারণা/সূত্র::

(x – y)² = k²

(x – y) = k or (–k)

x = (k + y) or (y – k)

গণনা:

(x -1)² + (y - 2)² = (x – 1) (y - 2)

ধরে,

⇒ (x – 1)² = (x – 1) (y – 2)

⇒ (x – 1) = (y – 2)

⇒ x – y = -2 + 1

⇒ x – y = (-1)     ----(1)

ধরে,

⇒ (y – 2)² = (x – 1) (y – 2)

⇒ (y – 2) = (x – 1)

⇒ x – y = -2 + 1

⇒ x – y = (-1)     ----(2)

ধরি, y = 2 এবং x = 1, অতএব

⇒ 1 – 2 = (-1)

(-1) = (-1) (প্রমাণিত)

সুতরাং,

2x + 3y

⇒ 2 × 1 + 3 × 2

⇒ 2 + 6

⇒ 8

ধারণা:

যদি α এবং β, সমীকরণ ax2 + bx + c =0 এর মূল হয়,

মূলের যোগফল (α + β) = \(\rm \frac{-b}{a}\)

মূলের গুণফল (αβ) = \(\rm \frac{c}{a}\)

(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy

গণনা:

প্রদত্ত: f (x) = x2 - 5x + 6

ax2 + bx + c = 0 এর সাথে f(x) তুলনা করে পাই, a = 1, b = -5 এবং c = 6

এখন, মূলের যোগফল = α + β = \(\rm \frac{-b}{a}\) = \(\rm \frac{-(-5)}{1}\) = 5

এবং মূলের গুণফল αβ = \(\rm \frac{c}{a}\) = \(\rm \frac{6}{1}\) = 6

এখন, α2β + β²α = αβ (α + β)

= 6 × 5

= 30

সঠিক বিকল্প হল 2

গণনা:

প্রদত্ত যে,

\(\frac{{{{\rm{x}}^2} + 1}}{{\rm{x}}} = 4\frac{1}{4}\)

⇒ x + 1/x = 17/4     ----(1)

উভয় পক্ষের ঘনফল করলে

(x + 1/x)³ = (17/4)³

আমরা জানি যে,

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

(1) সমীকরণ থেকে,

⇒ x³ + 1/x³ + 3x + 3/x = (17/4)³

⇒ (x³ + 1/x³) + 3(x + 1/x) = 4913/64

⇒ (x³ + 1/x³) = 4913/64 - 3 × (17/4)

⇒ (x3 + 1/x3) = 4097/64

ব্যাখ্যা:

2 এবং 6 সমীকরণ ax2 + bx + 1 = 0 এর বীজ।

বীজদ্বয়ের যোগফল \(-\frac{b}{a}\) = 2 + 6 ⇒ \(-\frac{b}{a}\) = 8...(i)

এবং বীজদ্বয়ের গুণফল

গুণফল \(\frac{1}{a} \) = 2 x 6 \(⇒ a = \frac{1}{12}\)

তাহলে (i) এ বসিয়ে পাই

-12b = 8 ⇒ b = -8/12 ⇒ \(b=-\frac{2}{3}\)

\(2a+ b = \frac{2}{12} - \frac{2}{3} =- \frac{1}{2}\)

\(6a+b = \frac{6}{12} - \frac{2}{3} =- \frac{1}{6}\)

নতুন বীজদ্বয়ের যোগফল = \(\frac{1}{2a+b}\) + \(\frac{1}{6a+b}\)= - 2 - 6 = - 8

বীজদ্বয়ের গুণফল = \(\frac{1}{2a+b}\).\(\frac{1}{6a+b}\) = (-2)(-6) = 12

সুতরাং, দ্বিঘাত সমীকরণটি হল

x2 - (বীজদ্বয়ের যোগফল)x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0

x2 + 8x + 12 = 0

 বিকল্প (4) সঠিক।

ধারণা:

a + ar + ar² + … = \(\frac{a}{1-r}\), - 1 < r < 1

গণনা:

প্রদত্ত, \(e^{\left(\cos ^2 x+\cos ^4 x+\cos ^6 x+… \infty\right) \ln 2}\) সমীকরণ t2 - 9t + 8 = 0 সিদ্ধ করে

∴\(e^{\left(\cos ^2 x+\cos ^4 x+\cdots \infty\right) \ln 2}=2^{\cos ^2 x+\cos ^4 x+\cdots \infty}\)

= \(2^{\frac{\cos ^2 x}{1-\cos ^2 x}}\)

= \(2^{\cot ^2 x}\)

এখন, t2 - 9t + 8 = 0

⇒ t = 1, 8

⇒ \(2^{\cot ^2 x}=1,8 \Rightarrow \cot ^2 x=0,3\)

0 < x < π/2 এর জন্য

⇒ cot⁡x = √3

∴ (2 sin⁡x)/(sin⁡x + √3 cos⁡x)

= 2/(1 + √3 cot ⁡x)

= 1/2

∴ (2 sin⁡x)/(sin⁡x + √3 cos⁡x) এর মান 1/2।

সঠিক উত্তর বিকল্প 3.

ধারণা:

যদি α এবং β একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হয়, তাহলে সমীকরণটি হবে:

x² - (বীজগুলির যোগফল)x + (বীজগুলির গুণফল) = 0

⇒ x² - (α + β)x + αβ = 0

গণনা:

প্রদত্ত, p⁴ + q⁴ = 272

(p² + q²)² - 2p²q² = 272

((p + q)² - 2pq)² - 2p²q² = 272

⇒ (4 - 2pq)² - 2p²q² = 272

⇒ 16 - 16pq + 2p²q² = 272

⇒ p²q² - 8pq - 128 = 0

⇒ pq = (8 ± √(64 + 512))/2 = (8 ± √576)/2 = (8 ± 24)/2 = 16, -8

⇒ pq = 16 [∵ উভয়ই ধনাত্মক সংখ্যা]

এখন, p এবং q সমীকরণের বীজ হবে:

x² - (p + q)x + pq = 0

⇒ x² - 2x + 16 = 0

∴ p এবং q সমীকরণের বীজ হলে সমীকরণটি হল x² - 2x + 16 = 0.

সঠিক উত্তরটি বিকল্প 4।