Complex Numbers MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Complex Numbers - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

ধরা যাক z = x + iy একটি জটিল সংখ্যা।

তাহলে, arg(z) = \(\tan^{-1}\frac{y}{x}\)

• arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)
• \(\rm arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\) = arg(z1) - arg(z2)

গণনা:

ধরা যাক z = x + iy

∴ \(\rm arg\left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)\) = π/4

⇒ arg(z - z₁) - arg(z - z₂) = π/4

⇒ \(\tan^{-1}\left(\frac{y-5}{x-9}\right)-\tan^{-1}\left(\frac{y-5}{x-3}\right)\) = π/4

⇒ \(\displaystyle\frac{\frac{y-5}{x-9}-\frac{y-5}{x-3}}{1+\frac{(y-5)^2}{(x-9)(x-3)}}\) = 1

⇒ 6(y - 5) = \((x-9)(x-3)+(y-5)^2\)

⇒ 6(y - 5) = (x - 9)(x - 3) + (y - 5)²

⇒ (x - 9)(x - 3) + (y - 5)2 = 6(y - 5)

⇒ x² -12x + 27 + y² - 10y + 25 = 6y - 30

⇒ x2 + y2 - 12x - 16y + 82 = 0

∴ |z - 6 - 8i|² = (x - 6)² + (y - 8)²

= x² - 12x + 36 + y² -16y + 64

= x2 + y2 - 12x - 16y + 100

= (x2 + y2 - 12x - 16y + 82) + 18

= 18

⇒ |z - 6 - 8i| = 3√2

∴ |z - 6 - 8i| এর মান 3√2।

সঠিক উত্তর বিকল্প 4

ধারণা:

|z - z_o| = r, একটি বৃত্তকে প্রতিনিধিত্ব করে যার কেন্দ্র = z_o এবং ব্যাসার্ধ = r

গণনা:

ধরা যাক w = (3z̅ + 4)z

⇒ w = 3zz̅ + 4z

⇒ w = 3|z|² + 4z

⇒ w = 75 + 4z

⇒ w - 75 = 4z

⇒ |w - 75| = 4|z| = 4|z̅| = 20 [∵ |z| = |z̅|]

⇒ |w - 75| = 20, যা একটি বৃত্তকে প্রতিনিধিত্ব করে যার কেন্দ্র (75, 0) এবং ব্যাসার্ধ 20 একক।

∴ (3z̅ + 4)z একটি বৃত্তে অবস্থান করে।

সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2।

ধারণা:

যদি z = a + ib হয়, তাহলে |z| = \(\sqrt{a^2\,+\,b^2}\)

যদি z = a + ib হয়, তাহলে \(\frac{1}{z}\) = \(\frac{a \,-\,ib}{{a^2\,+\,b^2}}\)

|z₁z₂| = |z₁| x |z₂|

গণনা:

প্রদত্ত z1 = 1 - 2i , z2 = 1 + i এবং z3 = 3 + 4i

∴ \(\frac{1}{z_{1}}\) = \(\frac{1\,+\,2i}{{1^2\,+\,2^2}}\) = \(\frac{1\,+\,2i}{{5}}\)

অনুরূপভাবে \(\frac{2}{z_{2}}\) = 2 x \(\frac{1}{z_{2}}\) = 2 x \(\frac{1\,-\,i}{{1^2\,+\,1^2}}\) = 2 x \(\frac{1\,-\,i}{{2}}\) = (1 - i)

\(\frac{2}{z_{2}}\) = (1 - i)

⇒ \(\frac{1}{z_{2}} \) = \(\frac{1-i}{2}\)

\(\frac{z_3}{z_2}\) = z₃ x \(\frac{1}{z_{2}} \) = (3 + 4i) x \(\frac{1-i}{2}\)

⇒ \(\frac{z_3}{z_2}\) = \(\frac{7+i}{2}\)

আমাদের খুঁজে বের করতে হবে \(\left| {\left( {\frac{1}{{z_1}} + \frac{2}{{z_2}}}\right)\frac{{z_3}}{{z_2}}} \right| \)

\(\left| {\left( {\frac{1}{{z_1}} + \frac{2}{{z_2}}}\right)\frac{{z_3}}{{z_2}}} \right| \) = \(\left| {\left( {\frac{1}{{z_1}} + \frac{2}{{z_2}}}\right)} \right| \) x \(\left | \frac{z_3}{z_2} \right|\)

= \(\left| {\left( {\frac{1\,+\,2i}{{5}} + (1-i)}\right)} \right|\) x \(\Big|\frac{7+i}{2}\Big|\)

= \(\Big|\frac{1+2i+5-5i}{5}\Big|\) x \(\Big|\frac{7+i}{2}\Big|\)

= \(\Big|\frac{6-3i}{5}\Big|\) x \(\Big|\frac{7+i}{2}\Big|\)

= \(\frac{\sqrt{6^2+(-3)^2}}{5} \times \frac{\sqrt{7^2+1^2}}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{36+9}}{5} \times \frac{\sqrt{49+1}}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{45}}{5} \times \frac{\sqrt{50}}{2} =\frac{\sqrt{45}}{5} \times \frac{5\sqrt2}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{45} \times \sqrt2}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{45} }{\sqrt2}\)

= \(\sqrt \frac{45}{2} \)

মান নির্ণয় করে পাই \(\sqrt \frac{45}{2} \).

ধারণা:

|z - z_o| = r, একটি বৃত্তকে প্রতিনিধিত্ব করে যার কেন্দ্র = z_o এবং ব্যাসার্ধ = r

গণনা:

ধরা যাক w = (3z̅ + 4)z

⇒ w = 3zz̅ + 4z

⇒ w = 3|z|² + 4z

⇒ w = 75 + 4z

⇒ w - 75 = 4z

⇒ |w - 75| = 4|z| = 4|z̅| = 20 [∵ |z| = |z̅|]

⇒ |w - 75| = 20, যা একটি বৃত্তকে প্রতিনিধিত্ব করে যার কেন্দ্র (75, 0) এবং ব্যাসার্ধ 20 একক।

∴ (3z̅ + 4)z একটি বৃত্তে অবস্থান করে।

সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2।

ধারণা:

সমাধান:

প্রদত্ত, arg\( \left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\frac{\pi}{3}\)

⇒ arg(z - 1) - arg(z + 1) = \(\frac{\pi}{3}\) [∵ arg\(\left ( \frac{z_1}{z_2} \right )\)=arg(z₁)-arg(z₂₎]

z = x + iy বসিয়ে

⇒ arg(x + iy - 1) - arg(x + iy + 1) = \(\frac{\pi}{3}\)

⇒ \(\tan^{-1}\left ( \frac{y}{x-1} \right )\)- \(\tan^{-1}\left ( \frac{y}{x+1} \right )\) = \(\frac{\pi}{3}\)

⇒ \(\tan^{-1}\left ( \frac{\frac{y}{x-11}-\frac{y}{x+1}}{1+\frac{y^2}{x^2-1}} \right )\) = \(\frac{\pi}{3}\)

⇒ \(\tan^{-1}\left ( \frac{\frac{xy+y-xy+y}{x^2-1}}{\frac{x^2+y^2-1}{x^2-1}} \right )\) = \(\frac{\pi}{3}\)

⇒ \(\tan^{-1}\left ( \frac{2y}{x^2+y^2-1} \right )\)= \(\frac{\pi}{3}\)

⇒ \(\frac{2y}{x^2+y^2-1} \) = tan(\(\frac{\pi}{3}\)) = √3

⇒ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)y = x² + y² - 1

⇒ x² + y² - \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)y - 1 = 0

⇒ x2 + y2 - 2⋅\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)y - 1 + \(\frac{1}{3}\) - \(\frac{1}{3}\) = 0

⇒ x2 + (y - \(\frac{1}{\sqrt{3}}\))² - \(\frac{4}{3}\) = 0

⇒ x2 + (y - \(\frac{1}{\sqrt{3}}\))2 = (\(\frac{2}{\sqrt{3}}\))², যা একটি বৃত্তকে নির্দেশ করে

∴ সঞ্চারপথটি একটি বৃত্তকে নির্দেশ করে।

সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2।

ধারণা:

ধরা যাক z = x + iy একটি জটিল সংখ্যা।

তাহলে, arg(z) = \(\tan^{-1}\frac{y}{x}\)

• arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)
• \(\rm arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\) = arg(z1) - arg(z2)

গণনা:

ধরা যাক z = x + iy

∴ \(\rm arg\left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)\) = π/4

⇒ arg(z - z₁) - arg(z - z₂) = π/4

⇒ \(\tan^{-1}\left(\frac{y-5}{x-9}\right)-\tan^{-1}\left(\frac{y-5}{x-3}\right)\) = π/4

⇒ \(\displaystyle\frac{\frac{y-5}{x-9}-\frac{y-5}{x-3}}{1+\frac{(y-5)^2}{(x-9)(x-3)}}\) = 1

⇒ 6(y - 5) = \((x-9)(x-3)+(y-5)^2\)

⇒ 6(y - 5) = (x - 9)(x - 3) + (y - 5)²

⇒ (x - 9)(x - 3) + (y - 5)2 = 6(y - 5)

⇒ x² -12x + 27 + y² - 10y + 25 = 6y - 30

⇒ x2 + y2 - 12x - 16y + 82 = 0

∴ |z - 6 - 8i|² = (x - 6)² + (y - 8)²

= x² - 12x + 36 + y² -16y + 64

= x2 + y2 - 12x - 16y + 100

= (x2 + y2 - 12x - 16y + 82) + 18

= 18

⇒ |z - 6 - 8i| = 3√2

∴ |z - 6 - 8i| এর মান 3√2।

সঠিক উত্তর বিকল্প 4

গণনা:

2\(\left(\frac{1}{1!9!}+\frac{1}{3!7!}\right)\) + \(\frac{1}{5!5!}\) = \(\frac{2^a}{b!}\)

⇒ \(\frac{2}{1!9!}\) + \(\frac{2}{3!7!}\) + \(\frac{1}{5!5!}\) = \(\frac{2^a}{b!}\)

⇒ \(\frac{1}{10!}(^{10}C_1+^{10}C_3+^{10}C_5+^{10}C_7+^{10}C_9)\) = \(\frac{2^a}{b!}\)

⇒ \(\frac{1}{10!}2^9\) = \(\frac{2^a}{b!}\)

⇒ a = 9 এবং b = 10

এখন, x = 2 + 5i

⇒ (x − 2)² = − 25

⇒ x² − 4x + 29 = 0

∴ x³ − 5x² + 33x − 19

= (x − 1)(x² − 4x + 29) + 10

= 10

= b

∴ (x3 - 5x2 + 33x - 19) এর মান b হবে।

সঠিক উত্তর বিকল্প 4.

ধারণা:

a² - b² = (a - b)(a + b)

i² = -1,i⁴ = 1

গণনা:

\((\rm \frac{1+i}{1-i})^{20}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

\(\rm \frac{1+i}{1-i}\\=\frac{1+i}{1-i}\times \frac{1+i}{1+i}\)

\(\rm =\frac{(1+i)^2}{1^2-i^2}\)             (∵ a² - b² = (a - b)(a + b))

\(\rm =\frac{1^2+i^2+2i}{1-(-1)}\\=\frac{1-1+2i}{2}\\=\frac{2i}{2}\\=i\)

\((\rm \frac{1+i}{1-i})^{20}\) = i²⁰ = (i⁴)⁵ = 1⁵ = 1

ব্যাখ্যা -

প্রদত্ত সমীকরণ \((z - 100)^3 + 1000 = 0\),

⇒ \((z - 100)^3 = -1000\)

এরপর, আমরা লক্ষ্য করি যে -1000 কে -10³ লেখা যায়।

সুতরাং, আমাদের আছে:

\((z - 100)^3 = -(10)^3\)

উভয় পক্ষের ঘনমূল নিলে, আমরা পাই:

\(z - 100 = ω \cdot (-10)\)

যেখানে ω এককের ঘনমূল (ω³ = 1) এবং ω ≠ 1। এককের ঘনমূলগুলি হল 1, ω, এবং ω², যেখানে ω এবং ω² জটিল সংখ্যা এবং ω² = ω⁻¹

তাই, z - 100 এর সম্ভাব্য মানগুলি হল:

z - 100 = -10, -10ω, -10ω²

z এর জন্য সমাধান করে, আমরা পাই:

z = 100 - 10

z = 100 - 10ω

z = 100 - 10ω²

অতএব, সমাধানগুলি হল:

z = 90, 100 - 10ω, 100 - 10ω²

⇒ z = 90, 10(10 - ω), 10(10 - ω2)

অতএব, বিকল্প (2) সঠিক।

ধারণা:

cosθ + i sinθ = e^iθ

গণনা:

প্রদত্ত, zk = \(\cos \left(\frac{k \pi}{10}\right)+i \sin \left(\frac{k \pi}{10}\right)\) = \(e^{i\frac{k\pi}{10}}\)

∴ z1 z2 z3 z4 = \(e^{i\frac{\pi}{10}}\cdot e^{i\frac{2\pi}{10}}\cdot e^{i\frac{3\pi}{10}}\cdot e^{i\frac{4\pi}{10}}\)

= \(e^{i\frac{10\pi}{10}}\)

= \(e^{i\pi}\)

= \(\cos \pi+i \sin \pi\)

= - 1

∴ নির্ণেয় উত্তর - 1

সঠিক উত্তর বিকল্প 1 

ধারণা:

x3 = 1 সমীকরণের বীজগুলি এককের ঘনমূল দ্বারা প্রদত্ত।

1 এককের ঘনমূল , ω এবং ω2, যা \(ω=\frac{-1+ i\sqrt{3}}{2}\) দ্বারা প্রদত্ত।

এককের ঘনমূলের ধর্ম:

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω2 = \(\frac{1}{\omega}\)

গণনা:

প্রদত্ত, z2 + z + 1 = 0

⇒ z = ω, ω² , যেখানে ω এককের ঘনমূল।

ধরা যাক z = ω

∴ \(\left(z+\frac{1}{z}\right)^2+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)^2+\cdots+\left(z^6+\frac{1}{z^6}\right)^2\)

= \(\left(\omega+\frac{1}{\omega}\right)^2+\left(\omega^2+\frac{1}{\omega^2}\right)^2+\left(\omega^3+\frac{1}{\omega^3}\right)^2+\left(\omega^4+\frac{1}{\omega^4}\right)^2+\left(\omega^5+\frac{1}{\omega^5}\right)^2+\left(\omega^6+\frac{1}{\omega^6}\right)^2\)

= \((\omega+\omega^2)^2+(\omega^2+\omega)^2+(1+1)^2+(\omega+\omega^2)^2+(\omega^2+\omega)^2+(1+1)^2\)

= 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4

= 12

∴ প্রয়োজনীয় মান 12।

সঠিক উত্তর বিকল্প 1 

ধারণা:

x3 = 1 সমীকরণের মূলগুলি এককের ঘনমূল দ্বারা প্রদত্ত।

এককের ঘনমূল 1, ω এবং ω2, যা \(ω=\frac{-1+ i\sqrt{3}}{2}\) দ্বারা প্রদত্ত।

এককের ঘনমূলের ধর্ম:

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0

গণনা:

প্রদত্ত, \(\sum_{r=1}^{n}\frac{2a_r-1}{a_r^2-a_r-1}\)

= \(\sum_{r=1}^{n}\frac{(a_r+\omega)+(a_r+\omega^2)}{a_r^2+a_r(\omega+\omega^2)-\omega^3}\) [∵ ω + ω2 = - 1]

= \(\sum_{r=1}^{n}\frac{(a_r+\omega)+(a_r+\omega^2)}{(a_r+\omega)(a_r+\omega^2)}\)

= \(\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{(a_r+\omega)}+\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{(a_r+\omega^2)}\)

= \(\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{(a_r+\omega)}+\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{(a_r+̅{\omega})}\)

= \(\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{(a_r+\omega)}+\overline{\left({\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{(a_r+\omega)}}\right)}\)

= \(i+\bar{i}\)

= i - i

= 0

∴ প্রয়োজনীয় উত্তর 0।

সঠিক উত্তর বিকল্প 1