সম্ভাবনা MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Probability - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

পারস্পরিক স্বতন্ত্র ঘটনা A এবং B এর জন্য, শর্তাধীন সম্ভাব্যতা \(P(A | A \cup B)\) বোঝায় A এর ঘটার সম্ভাবনা যখন A অথবা B ঘটেছে।

গণনা:

প্রদত্ত:

A এবং B হল পারস্পরিক স্বতন্ত্র ঘটনা \(( P(A \cap B) = 0)\)
\( P(A \cup B) \neq 0 \)

সমাধান:

1. শর্তাধীন সম্ভাব্যতা সূত্র:
\( P(A | A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} \)

2. পারস্পরিক স্বতন্ত্র ঘটনার জন্য:
\( P(A \cap (A \cup B)) = P(A) \)
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)

3. অতএব:
\( P(A | A \cup B) = \frac{P(A)}{P(A) + P(B)} \)

চূড়ান্ত উত্তর:

সঠিক অভিব্যক্তি হল 1) \(\frac{P(A)}{P(A) + P(B)}\)।

ধারণা:

• একটি মুদ্রা 7 বার টস করা হলে সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা 2⁷ = 128।
• কমপক্ষে 4টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করতে, আমাদের 4, 5, 6 এবং 7টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা গণনা করতে হবে এবং সেগুলিকে যোগ করতে হবে।
• দ্বিপদী বন্টন সূত্র ব্যবহার করুন: P(k) = C(n, k) × pk × (1 - p)n - k, যেখানে:
  • n = 7 (চেষ্টার সংখ্যা)
  • k = হেডের সংখ্যা
  • p = 1/2 (একক টসে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা)

গণনা:

আমাদের কমপক্ষে 4টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা গণনা করতে হবে, যা 4, 5, 6 এবং 7টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনার যোগফল:

P(কমপক্ষে 4টি হেড) = P(4টি হেড) + P(5টি হেড) + P(6টি হেড) + P(7টি হেড)

সম্ভাব্য ফলাফলের মোট সংখ্যা হল 128।

এখন, দ্বিপদী বন্টন ব্যবহার করে পৃথক সম্ভাবনা গণনা করা হচ্ছে:

4টি হেডের জন্য: P(4) = C(7, 4) × (1/2)4 × (1/2)3 = 35 × (1/128) = 35/128

5টি হেডের জন্য: P(5) = C(7, 5) × (1/2)5 × (1/2)2 = 21 × (1/128) = 21/128

6টি হেডের জন্য: P(6) = C(7, 6) × (1/2)6 × (1/2)1 = 7 × (1/128) = 7/128

7টি হেডের জন্য: P(7) = C(7, 7) × (1/2)7 × (1/2)0 = 1 × (1/128) = 1/128

সমস্ত সম্ভাবনা যোগ করে: P(কমপক্ষে 4টি হেড) = (35 + 21 + 7 + 1) / 128 = 64 / 128 = 1/2

∴ কমপক্ষে 4টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা হল 1/2

ব্যাখ্যা:

\(P(A|A' \cup B') = \dfrac{P(A \cap (A' \cup B'))}{P(A' \cup B')}\)

\(P(A \cap (A' \cup B'))=P(A)-P(A \cap B)= \dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}=\dfrac{5}{20}\)

\(P(A' \cup B')=1-P(A \cap B)=\dfrac{17}{20}\)

অতএব, \(P(A|A' \cup B') =\dfrac {\dfrac{5}{20}}{\dfrac{17}{20}}=\dfrac{5}{17}\)

গণনা

মোট পদ্ধতির সংখ্যা

\(\Rightarrow5_{C_1}\times 10_{C_3}+5_{C_2}\times 10_{C_2}+5_{C_3}\times 10_{C_1}+5_{C_4}\)

\(\Rightarrow\frac{5!}{4!}\times \frac{10!}{7!3!}+\frac{5!}{2!3!}\times \frac{10!}{8!2!}+\frac{5!}{3!2!}\times \frac{10!}{9!}+\frac{5!}{4!}\)

\(\Rightarrow5\times \frac{10 \times 9\times 8}{3\times 2}+\frac{5\times 4}{2\times 1}\times \frac{10\times 9}{2}+\frac{5\times 4}{2\times 1}\times 10+5\)

\(\Rightarrow5\times 5\times 3\times 8+5\times 2\times 5\times 9+10\times 10+5\)

\(\Rightarrow600+450+100+5\)

\(\Rightarrow1155\)

পুরুষের চেয়ে মহিলার সংখ্যা বেশি হওয়ার কমিটি গঠনের পদ্ধতির সংখ্যা।

\(\Rightarrow5_{C_3}\times 10_{C_1}+5_{C_4}=\frac{5!}{3!2!}\times \frac{10!}{9!}+\frac{5!}{4!}\)

\(\Rightarrow10\times 10+5\)

\(\Rightarrow105\)

সম্ভাবনা \(=\frac{105}{1155}=\frac{1}{11}\).

অতএব, বিকল্প 3 সঠিক।

ধারণা:

• \(\rm P(A|B) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(B)}\)
• \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)}\)
• A ⊂ B = সঠিক সাবসেট: A এর প্রতিটি উপাদান B তে রয়েছে, কিন্তু B এর আরও উপাদান রয়েছে।
• ϕ = খালি সেট = {}

গণনা:

প্রদত্ত: P(B/A) = 1

⇒ \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)} = 1\)

⇒ P(A ∩ B) = P(A)

⇒ (A ∩ B) = A

সুতরাং, A এর প্রতিটি উপাদান B তে রয়েছে, তবে B এর আরও উপাদান রয়েছে।

∴ A ⊂ B

ধারণা:

একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = \(\rm \dfrac{\text{(Number of ways it can happen)}}{\text{ (Total number of outcomes)}}\)

যদি একটি পাশা নিক্ষেপ করা হয়, নমুনা স্থানের সংখ্যা = 6, যদি দুটি পাশা নিক্ষেপ করা হয় n(S) = 6² = 36

গণনা:

এখানে, চারটি পাশা নিক্ষেপ করা হয়,

n(S) = 6⁴

এখন, তাদের উপর প্রদর্শিত সংখ্যার যোগফল 25 = { }

⇒ n = 0

(∵সর্বোচ্চ যোগফল = 6 + 6 + 6 + 6 = 24)

∴ সম্ভাব্যতা = 0/(6⁴) = 0

অতএব, বিকল্প (1) সঠিক।

গণনা:

Z এর সম্ভাব্যতা বন্টন হল

0.4 + k + 2k = 1

3k = 1 - 0.4

k = 0.2

P (আপনি কমপক্ষে দুই ঘন্টা অধ্যয়ন করেন)

P(Z ≥ 2) = P(2) + P(3) + P(4) + .....

= 2k

= 2 × 0.2

P(Z ≥ 2) = 0.4

ধারণা :

ধরা যাক, A এবং B একটি এলোমেলো পরীক্ষার সাথে যুক্ত যেকোনো দুটি ঘটনা। তারপর, একটি ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা যে শর্তে B ইতিমধ্যেই ঘটেছে যে P(B) ≠ 0, তাকে শর্তযুক্ত সম্ভাব্যতা বলা হয় এবং P(A | B) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

অর্থাৎ \(P\;\left( {A|\;B} \right) = \frac{{P\;\left( {A\; ∩ B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

একইভাবে, \(P\left( {B\;|\;A} \right) = \frac{{P\left( {A\; ∩ B} \right)}}{{P\left( A \right)}},\;where\;P\left( A \right) \ne 0\)

গণনা :

ধরি, ছেলের জন্য b এবং মেয়ের জন্য g

নমুনা স্থান S = {(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)}

ধরি, A = উভয় সন্তানই ছেলে

ধরি, B = অন্তত একটি সন্তান ছেলে

অর্থাৎ, A = {(b, b)}, B = {(b, b), (b, g), (g, b)} এবং A ∩ B = {(b, b)}

⇒ P (B) = 3/4 এবং P (A ∩ B) = 1/4

আমরা জানি যে, \(P\;\left( {A|\;B} \right) = \frac{{P\;\left( {A\; ∩ B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

⇒ P (A | B) = 1/3

ধারণা:

বিবৃতি 1:

যদি A এবং B পারস্পরিক স্বতন্ত্র ঘটনা হয়, তাহলে P (A ∩ B) = 0।

আমরা জানি যে P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) = 0.6 + 0.6 = 1.2 > 1

এটি বিরোধিতা করে ∵ কোনো ঘটনার সম্ভাবনা A: 0 ≤ P (A) ≤ 1।

তাই বিবৃতি 1 ভুল।

বিবৃতি 2:

প্রদত্ত: P(A|B) = 1

আমরা জানি, \(P\;\left( {A\;|\;B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B{\rm{\;}}} \right)}}{{P\;\left( B \right)}} = 1\)

⇒ B ⊆ A

\( \Rightarrow P\;\left( {\bar B\;|\;\bar A} \right) = \frac{{P\;\left( {\bar A \cap \;\bar B} \right)}}{{P\;\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{P\left( {\overline {A \cup B} } \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{P\left( {\bar A} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = 1\)

সুতরাং, বিবৃতি 2 সঠিক।

ধারণা:

শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা:- পূর্ববর্তী ঘটনা বা ফলাফলের সংঘটনের উপর ভিত্তি করে একটি ঘটনা বা ফলাফল ঘটার সম্ভাবনা হিসাবে শর্তযুক্ত সম্ভাবনাকে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

শর্তাধীন সম্ভাব্যতা সূত্র:

P(A | B) = \(\frac{P(A \ ∩ \ B)}{P(B)}\)

যেখানে P(A | B) হল A প্রদত্ত B সম্ভাব্যতা

P(A ∩ B) = A এবং B এর সম্ভাব্যতা

P(B) = B এর সম্ভাব্যতা

গণনা:

আমাদের আছে,

P(A ∩ B) = \(\frac{7}{10}\)

P(B) = \(\frac{17}{20}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{P(A \ ∩ \ B)}{P(B)}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{\frac{7}{10}}{\frac{17}{20}}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{7}{10}\ \times \ \frac{20}{17}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{14}{17}\)

∴ যদি P(A ∩ B) = \(\frac{7}{10}\) এবং P(B) = \(\frac{17}{20}\) হয়, তাহলে P(A/B) =\(\frac{14}{17}\) এর সমান

ধারণা:

প্রত্যাশিত গড়:

E(x) = np

গণনা:

প্রদত্ত, x ~ B ( n = 10, p)

E(x) = 8

আমরা জানি যে, E(x) = np

⇒ np = 8

⇒(10)p = 8

⇒ p = \(\rm\dfrac {8}{10}\)

⇒ p = 0.8

প্রদত্ত যে x ~ B ( n = 10, p) যদি E(x) = 8 হয়, তবে P এর মান 0.8

অনুসৃত ধারণা:

আমরা জানি দ্বিপদী বিভাজন হল:

\({\left( {q + p} \right)^n} = \sum {n_{{C_r}}}{q^n}{p^{n - r}}\)

যেখানে p + q = 1

p হল সাফল্য পাওয়ার সম্ভাবনা এবং q হল ব্যর্থতার সম্ভাবনা

• দ্বিপদী বিভাজনের গড় হল np
• ভেদাঙ্ক হল npq
• প্রকরণের বর্গমূল দ্বারা মানক বিচ্যুতি প্রদত্ত, যেমন:

\(S.D.=\;\sqrt {Variance} = \sqrt {npq} \)

ধারণা:

\({\rm{Probability\;of\;exactly\;r\;success\;in\;n\;trials}} = {\rm{p}}\left( {{\rm{x}} = {\rm{r}}} \right) = {{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}}{\rm{\;}}{{\rm{p}}^{\rm{r}}}{{\rm{q}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}}\)

যেখানে n = পরীক্ষার সংখ্যা; p = সাফল্যের সম্ভাবনা; q = (1 - p) = ব্যর্থতার সম্ভাবনা

গণনা:

প্রদত্ত: ঔষধ দ্বারা 75% রোগী সুস্থ হয়

রোগীর সংখ্যা = 5

∴ n = 5

ধরা যাক, p হল একটি রোগীর ঔষধ দ্বারা আরোগ্য হওয়ার সম্ভাব্যতা 

⇒ p = 75% = 3/4

ওষুধে রোগীর সুস্থ না হওয়ার সম্ভাবনা = q

⇒ q = 1 – p = 1 – 3/4 = 1/4

অন্তত একজন রোগীর সুস্থ হওয়ার সম্ভাবনা = P(X ≥ 1)

⇒ P(X ≥ 1) = 1 - কোনও রোগীর সুস্থ না হওয়ার সম্ভাবনা

= 1 − P(X = 0)

\(= 1{ - ^5}{{\rm{C}}_0}{\frac{3}{4}^0} \times {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{5 - 0}}{\rm{\;}}\)

\(= 1 - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^5} = \frac{{1023}}{{1024}}{\rm{\;}}\)

ধারণা:

1. P(A/B) = \(\frac{P(A∩ B)}{P(B)}\)
2. P(B' ∩ A) = P(A) - P(A ∩ B)
3. P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

​গণনা:

প্রদত্ত P(B) = \(\frac{3}{5}\), P(A/B) = \(\frac{1}{2}\) এবং P(A ∪ B) = \(\frac{4}{5}\)

আমরা জানি P(A/B) = \(\frac{P(A∩ B)}{P(B)}\)

⇒ P(A ∩ B) = P(A/B) x P(B)

⇒ P(A ∩ B) = \(\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\).

⇒ P(A ∩ B) = \(\frac{3}{10}\)

আমরা জানি P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∪ B) - P(B)

⇒ P(A) = \(\frac{3}{10}+\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\)

⇒ P(A) = \(\frac{1}{2}\)

P(A ∪ B)' = 1 - P(A ∪ B)

⇒ P(A ∪ B)' = 1 - \(\frac{4}{5}\)

P(A ∪ B)' = \(\frac{1}{5}\)

P(A' ∪ B) = P(A ∩ B')' = 1 - P(A ∩ B')

[ডি মর্গানের সূত্র অনুযায়ী]

⇒ P(A' ∪ B) = 1 - [P(A) - P(A ∩ B)]

⇒ P(A' ∪ B) = 1 - [\(\frac{1}{2}-\frac{3}{10}\)]

⇒ P(A' ∪ B) = 1 - \(\frac{1}{5}\)

P(A' ∪ B) = \(\frac{4}{5}\)

P(A ∪ B)'+ P(A' ∪ B) = \(\frac{1}{5}+\frac{4}{5}\)

∴ P(A ∪ B)'+ P(A' ∪ B) = 1

সঠিক উত্তর বিকল্প 4।