Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}+\alpha \mathrm{y}=\gamma \mathrm{e}^{-\beta \mathrm{t}} \)

\(\text { समाकलन गुणांक }=\mathrm{e}^{\int \alpha \mathrm{dt}}=\mathrm{e}^{\alpha \mathrm{t}} \)

\(\text { हल } \Rightarrow \mathrm{y} \cdot \mathrm{e}^{\alpha \mathrm{t}}=\int \gamma \mathrm{e}^{-\beta \mathrm{T}} \cdot \mathrm{e}^{\alpha \mathrm{t}} \mathrm{dt} \)

\(\Rightarrow \mathrm{ye}^{\alpha \mathrm{t}}=\gamma \frac{\mathrm{e}^{(\alpha-\beta) \mathrm{t}}}{(\alpha-\beta)}+\mathrm{c} \)

\(\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{\gamma}{\mathrm{e}^{\beta \mathrm{t}}(\alpha-\beta)}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{e}^{\alpha \mathrm{t}}}\)

इसलिए, \(\rm \displaystyle \lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=\frac{\gamma}{\infty}+\frac{c}{\infty}=0\)

अतः, सही उत्तर विकल्प 1 है।

Explanation:

\(\frac{d y}{d x}\) + 2y sec²x = 2sec²x + 3 tan x sec²x 

I.F. = \(e^{\int 2 \sec ^{2} x d x}\)

I.F. = e^2tanx

^{\(y \cdot e^{2 \tan x}=\int e^{2 \tan x}(2+3 \tan x) \sec ^{2} x d x\)}

Put tan x = u

sec²xdx = du 

\(y \cdot e^{2 u}=\int e^{2 u}(2+3 u) d u\)

\(y \cdot e^{2 u} \Rightarrow \frac{2 e^{2 u}}{2}+3 \int e^{2 u} \cdot u d u\)

\(y \cdot e^{2 u}=e^{2 u}+3\left[\frac{u e^{2 u}}{2}-\int \frac{e^{2 u}}{2}\right]\)

\(y e^{2 u}=e^{2 u}+3\left[\frac{u e^{2 u}}{2}-\frac{e^{2 u}}{4}\right]+C\)

\(y e^{2 \tan x}=e^{2 \tan x}+3\left[\frac{\tan x e^{2 \tan x}}{2}-\frac{e^{2 \tan x}}{4}\right]+C\)

F(0) = \(\frac{5}{4}\)

\(\frac{5}{4}=1-\frac{3}{4}+C\)

\(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=C\)

1 = C

\(y=1+3\left(\frac{\tan x}{2}-\frac{1}{4}\right)+1 \cdot e^{-2 \tan x}\)

\(y\left(\frac{\pi}{4}\right)=1+3\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{e^{2}}\)

\(y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{7}{4}+\frac{1}{e^{2}}\)

\(12\left(y\left(\frac{x}{4}\right)-\frac{1}{e^{2}}\right)=12\left(\frac{7}{4}+\frac{1}{e^{2}}-\frac{1}{e^{2}}\right)\) = 21

गणना:

\(\rm \frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=y^{3}\left(1+\log _{e} x\right)\)

⇒ \(\rm \frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x}-\frac{1}{x y^{2}}=1+\log _{e} x\)

माना \(-\frac{1}{\mathrm{y}^{2}}=\mathrm{t} \Rightarrow \frac{2}{\mathrm{y}^{3}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}\)

∴ \(\rm \frac{d t}{d x}+\frac{2 t}{x}=2\left(1+\log _{e} x\right)\)

\(\text { I.F. }=\mathrm{e}^{\int \frac{2}{\mathrm{x}} \mathrm{dx}}=\mathrm{x}^{2}\)

⇒ \(\rm \frac{-x^{2}}{y^{2}}=\frac{2}{3}\left(\left(1+\log _{e} x\right) x^{3}-\frac{x^{3}}{3}\right)+C \)

y(1) = 3

\(\rm \frac{y^{2}}{9}=\frac{x^{2}}{5-2 x^{3}\left(2+\log _{e} x^{3}\right)}\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय:

द्वितीय-कोटि सामान्य अवकल समीकरण और प्रारंभिक प्रतिबंध:

• जब f''(x)= f(x) है, दोनों पक्षों को f'(x) से गुणा करने और समाकलन करने पर एक प्रथम समाकल प्राप्त होता है।
• दिए गए प्रारंभिक प्रतिबंधों f(0)=0 और f'(0)=3 का उपयोग समाकलन के अचर को निर्धारित करने के लिए करें।

गणना:

अवकल समीकरण से शुरू करने पर:

\(f''(x)=f(x)\)

दोनों पक्षों को f'(x) से गुणा और समाकलित करने पर:

\(f'(x)\,f''(x)=f'(x)\,f(x) \;\implies\;\int f'(x)f''(x)\,dx=\int f'(x)f(x)\,dx\)

\(\frac{(f'(x))^2}{2}=\frac{(f(x))^2}{2}+C \;\implies\;(f'(x))^2=(f(x))^2+C'\)

प्रारंभिक प्रतिबंध x=0 लागू करने पर:

\((f'(0))^2=(f(0))^2+C'\;\implies\;3^2=0^2+C'\;\implies\;C'=9\)

इस प्रकार:

\((f'(x))^2=(f(x))^2+9 \;\implies\;f'(x)=\sqrt{(f(x))^2+9}\)

पृथक चर y=f(x):

\(\int\frac{dy}{\sqrt{y^2+9}}=\int dx \;\implies\;\ln\bigl|y+\sqrt{y^2+9}\bigr|=x+C\)

C ज्ञात करने के लिए f(0)=0 का उपयोग करने पर:

\(\ln\bigl|\sqrt{9}\bigr|=0+C\;\implies\;\ln3=C\)

इस प्रकार:

\(\ln\bigl|y+\sqrt{y^2+9}\bigr|=x+\ln3 \;\implies\;y+\sqrt{y^2+9}=3e^x\)

x=ln3) पर, y=f(ln3) मान लें। तब:

\(f(\ln3)+\sqrt{(f(\ln3))^2+9}=3e^{\ln3}=9\)

y=f(ln3) सेट करने पर:

\(y+\sqrt{y^2+9}=9 \;\implies\;\sqrt{y^2+9}=9-y \;\implies\;y^2+9=(9-y)^2=81-18y+y^2\)

y के लिए हल करने पर:

\(9=81-18y \;\implies\;18y=72 \;\implies\;y=4\)

इसलिए:

\(f(\ln3)=4 \;\implies\;9\,f(\ln3)=9\times4=36\)

अतः सही उत्तर 36 है।

व्याख्या:

ydx + (x - y³ )dy = 0

\(y\frac{dy}{dx}+ x = y^3\)

\(\frac{dx}{dy} + x \frac{1}{y} = y^2\) (रैखिक अवकल समीकरण)

समाकलन गुणक (L.E) = \(e^{\int\frac{1}{y}dy}\) = y

x(समाकलन गुणक) = \(\int(समाकलन गुणक)y^2dy\)

xy = \(\int y^3dy\)

⇒ 4xy - y⁴ = c

∴ विकल्प (d) सही है

संकल्पना:

कोटि: एक अवकल समीकरण की कोटि इसमें मौजूद उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। 

घात: एक अवकल समीकरण की घात इसमें मौजूद उच्चतम अवकलज की घांत होती है, जिसके बाद समीकरण को तब तक करणी से मुक्त रूप में व्यक्त किया जाता है जब तक अवकलज संबंधित हैं। 

गणना:

दिया गया है:

\({\rm{y}} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{\rm{dx}}}}{{{\rm{dy}}}}} \right)} \)

\({\rm{y}} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)}}}} \)

\(\Rightarrow {\rm{y}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^3} + 1\)

दिए गए अवकल समीकरण के लिए उच्चतम कोटि का अवकलज 1 है। 

अब, उच्चतम कोटि के अवकलज की घांत 3 है। 

हम जानते हैं कि, एक अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की घांत है। 

अतः अवकल समीकरण की घात 3 है। 

Mistake Pointsध्यान दें कि, एक शब्द (dx/dy) है जिसे घात या कोटि की गणना करने से पहले dy/dx रूप में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है।

संकल्पना:

कोटि: एक अवकल समीकरण की कोटि इसमें मौजूद उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। 

डिग्री: एक अवकल समीकरण की डिग्री इसमें मौजूद उच्चतम अवकलज का घांत होता है, जिसके बाद समीकरण को तब तक रेडिकल से मुक्त रूप में व्यक्त किया जाता है जब तक यह अवकलज से संबंधित होता है। 

गणना:

अवकल समीकरण को निम्न रूप में ज्ञात किया गया है: \(\rm \frac{d^3y}{dx^3} + \cos\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right) = 0\)

अवकल समीकरण में मौजूद उच्चतम कोटि वाला अवकलज \(\rm \frac{d^3y}{dx^3}\) है। 

अतः इसकी कोटि तीन है। 

यहाँ दिया गया अवकल समीकरण एक बहुपदीय समीकरण नहीं है, अतः इसकी डिग्री परिभाषित नहीं है। 

संकल्पना:

\(\rm \displaystyle \int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1} x + c\)

गणना:

दिया गया है: dy = (1 + y²) dx

\(\rm \Rightarrow \frac{dy}{1+y^2}=dx\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm \Rightarrow \displaystyle \int \frac{dy}{1+y^2}=\displaystyle \int dx\\\rm \Rightarrow \tan^{-1} y = x + c \)

⇒ y = tan (x + c)

∴ दिए गए अवकल समीकरण का हल y = tan (x + c) है।

दिया गया:

x = 1

x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx

गणना:

x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 0

⇒(1/2)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] = 0

⇒x = y , y = z और z = x

लेकिन x = y = z = 1

इसलिए, \(\rm \frac{10x^4+5y^4+7z^4}{13x^2y^2+6y^2z^2+3z^2x^2}\)

= {10(1)4 + 5(1)4 + 7(1)4}/{13(1)2(1)2+ 6(1)2(1)2 + 3(1)2(1)2}

= 22/22

= 1

इसलिए, अभीष्ट मान 1 है।

गणना:

दिया गया है: \(\ln \left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right) - {\rm{a}} = 0\)

\( \Rightarrow \ln \left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right) = {\rm{a}}\)

\(\Rightarrow \frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} = {{\rm{e}}^{\rm{a}}}\)

\(\Rightarrow {\rm{\;}}\smallint \frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} = \smallint {{\rm{e}}^{\rm{a}}}\)

दोनों पक्षों में समाकलन का प्रयोग करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ y = xe^a + c

संकल्पना:

कोटि: एक अवकल समीकरण की कोटि इसमें दिखाई देने वाले उच्चतम अवकलज की कोटि होती है।

घात: एक अवकल समीकरण की घात इसमें आने वाले उच्चतम अवकलज का घात होता है, जिसके बाद समीकरण को तब तक रेडिकल से मुक्त रूप में व्यक्त किया जाता है जब तक अवकलज का प्रयोग होता है। 

गणना:

दिया गया है:

\(\rm y = x \frac{dy}{dx}+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{-2} \\ \rm y = x\frac{dy}{dx}+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^2} \\ y(\frac{dy}{dx} )^2= x(\frac{dy}{dx})^3 + 1\)

दिए गए अवकल समीकरण के लिए उच्चतम कोटि वाला अवकलज 1 है। 

अब, उच्च कोटि वाले अवकलज का घात 3 है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, एक अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज का घात होता है। 

अतः अवकल समीकरण की घात 3 है। 

संकल्पना:

\(\rm \int \frac{1}{x}dx = \log x + c\)

\(\rm \int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)

गणना:

दिया गया है:\(\rm\left( xy \frac {dy}{dx} -1 \right)= 0\)

\(\Rightarrow \rm xy \frac {dy}{dx} =1 \)

\(\Rightarrow \rm y \;dy=\frac {dx}{x} \)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm \Rightarrow \frac{y^2}{2} = \log x + c\)

दिया गया:

x + \(\frac{1}{2x}\) = 3

प्रयुक्त अवधारणा:

सरल गणनाओं का प्रयोग किया जाता है

गणना:

⇒ x + \(\frac{1}{2x}\) = 3

दोनों पक्षों में 2 का गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ 2x + \(\frac{1}{x}\) = 6  .................(1)

अब, दोनों पक्षों को घन करने पर,

⇒ \((2x + \frac{1}{x})^3 = 6^3\)

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(4x^2)(\frac{1}{x})+3(2x)(\frac{1}{x^2})=216\)

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3} + 12x+\frac{6}{x}=216\)

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 216 - 6(2x+\frac{1}{x})\)

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 216- 6(6)\)  ..............(1) से 

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 216- 36\)

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 180\)

⇒ इसलिए, उपरोक्त समीकरण का मान 180 है।

संकल्पना:

कोटि: एक अवकल समीकरण की कोटि इसमें प्रदर्शित होने वाली उच्चतम अवकलज की कोटि है।

घात: जहां तक अवकलज का संबंध है वहाँ तक समीकरण को मूलक से मुक्त रूप में व्यक्त किए जाने के बाद अवकल समीकरण का घात इसमें होनेवाले उच्चतम अवकलज का घात है।

गणना:

\(\dfrac{d^2y}{dx^2}+3\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2 =x^2 \log \left(\dfrac{d^2y}{dx^2}\right)\)

दिए गए अवकल समीकरण के लिए उच्चतम कोटि अवकलज 2 है।

दिया गया अवकल समीकरण बहुपद समीकरण नहीं है क्योंकि इसमें इसके अवकलज में लघुगणक पद शामिल है इसलिए इसकी डिग्री परिभाषित नहीं है।

अवधारणा:

\(\rm \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx = \frac{1}{a}\tan ^{-1}\frac{x}{a}+ C\) 

गणना:

दिया गया है : \(\rm dy = \left ( 4 + y^{2} \right )dx\) 

⇒ \(\rm \frac{dy}{4+y^{2}}= dx\) 

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें मिलता है

\(\rm \int \frac{dy}{2^{2}+y^{2}}= \int dx\)

⇒ \(\rm \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{y}{2}= x+c\) 

⇒ \(\rm \tan^{-1}\frac{y}{2}= 2x+ 2c\)

⇒ \(\rm \tan^{-1}\frac{y}{2}= 2x+ C\) [∵ 2c = C]

⇒ \(\rm \frac{y}{2}= \tan(2x+ C)\)

 \(\rm y = 2\tan \left ( 2x+C \right )\) 

सही विकल्प 2 है।