Progression MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Progression - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

கொடுக்கப்பட்டவை:

a, a - b, a - 2b, a - 3b,...... என்ற வரிசையின் 10வது உறுப்பு 20 ஆகும். 20வது உறுப்பு 10 ஆகும்.

கணக்கீடு:

10 ^வது உறுப்பு = a - 9b = 20 --(1)

20 ^வது உறுப்பு = a - 19b = 10 ---(2)

சமன்பாடு (2) ஐ (1) இலிருந்து கழிக்கும்போது:

a - 9b - (a - 19b) = 20 - 10

⇒ a - 9b - a + 19b = 10

⇒ 10b = 10

⇒ b = 1

சமன்பாட்டிலிருந்து (1):

அ - 9 (1) = 20

⇒ அ = 20 + 9 = 29

இப்போது, x ^வது உறுப்பு = a - (x - 1)b

⇒ 29 - (x - 1) (1)

⇒ 29 - x + 1 = 30 - x

∴ வரிசையின் Xவது உறுப்பு 30 - x ஆகும் .

கொடுக்கப்பட்டது:

இரண்டு AP களுக்கு ஒரே பொதுவான வேறுபாடு உள்ளது. இவற்றில் ஒன்றின் முதல் சொல் -1 மற்றும் மற்றொன்று - 8.

கருத்து:

எந்தவொரு AP க்கும் அதன் முதல் சொல் ' a ' மற்றும் பொதுவான வேறுபாடு ' d '

a _n = a + (n - 1)d

தீர்வு:

கேள்வியின் படி, இரண்டு AP களின் பொதுவான வேறுபாடு ஒன்றுதான்,

பொதுவான வேறுபாடு 'd' என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

முதல் AP க்கு

முதல் சொல் -1 மற்றும் பொதுவான வேறுபாடு 'd'

நான்காவது பதவிக்காலம் இருக்கும்,

மீ ₄ = -1 + (4 - 1)d = -1 + 3d

இரண்டாவது AP க்கு

முதல் சொல் -8 மற்றும் பொதுவான வேறுபாடு 'd'

நான்காவது பதவிக்காலம் இருக்கும்,

n 4 = -8 + (4 - 1)d = -8 + 3d

4 ^வது கால இடைவெளியில் உள்ள வேறுபாடு பின்வருமாறு:

m ₄ - n ₄ = -1 + 3d - ( -8 + 3d )

மீ 4 - n 4 = 7

எனவே, விருப்பம் 3 சரியானது.

கொடுக்கப்பட்டது:

1 முதல் 12 வரையிலான எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் காண வேண்டும்.

சூத்திரம்:

முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை = \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

கணக்கீடு:

இங்கு, n = 12

வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை = \( \frac{12(12+1)(2×12+1)}{6} \)

⇒ வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை = \( \frac{12×13×25}{6} \)

⇒ வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை = \( \frac{3900}{6} \)

⇒ வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை = 650

1 முதல் 12 வரையிலான எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 650 ஆகும்.

பயன்படுத்தபட்ட சூத்திரம்:

n^th = a + (n – 1)d

இங்கு, a → முதல் எண், n → மொத்த எண்ணிக்கைr, d → பொதுவான வேறுபாடு, n^th → n^th எண்

கணக்கீடு:

6 ஆல் வகுபடும் முதல் மூன்று இலக்க எண், (a) = 102 

6 ஆல் வகுபடும் கடைசி மூன்று இலக்க எண் , (n^th) = 996

பொதுவான வேறுபாடு, (d) = 6

இப்போது, nth = a + (n – 1)d

⇒ 996 = 102 + (n – 1) × 6 

⇒ 996 – 102 = (n – 1) × 6

⇒ 894 = (n – 1) × 6

⇒ 149 = (n – 1)

⇒ n = 150

∴ 6 ஆல் வகுபடும் மொத்த மூன்று இலக்க எண் 150 ஆகும்

கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை:

300 முதல் 1000 வரையிலான எண்கள் 7 ஆல் வகுபடும்.

கோட்பாடு:

கூட்டுத் தொடர்ச்சி 

an = a + (n - 1)d 

கணக்கீடு:

7 (300 - 1000) = 301 ஆல் வகுபடும் முதல் எண்

அதேபோல்: 301, 308, 315, 322...........994

மேலே உள்ள தொடர் AP ஐ உருவாக்குகிறது,

எங்கே a = 301, பொதுவான வேறுபாடு/d = 308 - 301 = 7 மற்றும் கடைசி கால (a_n) = 994

⇒ an = a + (n - 1)d

⇒ 994 = 301 + (n - 1)7

⇒ (994 - 301)/7 = n - 1

⇒ 693/7 + 1 = n

⇒ 99 + 1 = n

⇒ n = 100

∴ 300க்கும் 1000க்கும் இடையில் 100 எண்கள் உள்ளன, அவை 7 ஆல் வகுபடும்.

கொடுக்கப்பட்டவை:

முதல் எண் 'a' = 5, பொது வேறுபாடு 'd' = 4

எண்களின் எண்ணிக்கை 'n' = 20

கருத்து:

கூட்டுத் தொடர் வரிசை:

• கூட்டுத் தொடர் வரிசை என்பது எண்களின் பட்டியலாகும், இதில் ஒவ்வொரு எண்ணும் முதல் எண்ணைத் தவிர முந்தைய எண்ணுடன் ஒரு நிலையான எண்ணைச் சேர்ப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.
• நிலையான எண் என்பது பொது வேறுபாடு 'd' என்று அழைக்கப்படுகிறது.
• இது நேர்மறை, எதிர்மறை அல்லது பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம்.

பயன்படுத்தபட்ட சூத்திரம்:

AP இன் n வது எண்

T_n = a + (n - 1)d

AP இன் n எண்களின் கூட்டுத்தொகை வழங்கப்பட்டுள்ளது

\(S = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)

\(S = \dfrac{n}{2}( a + l)\)

இங்கு, 

a = AP இன் முதல் எண், d = பொது வேறுபாடு, l = கடைசி எண்

கணக்கீடு:

நாம் அறிந்த படி, AP இன் n எண்களின் கூட்டுத்தொகை வழங்கப்பட்டுள்ளது

\(S = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)

\(⇒ S = \dfrac{20}{2}[2× 5 + (20-1)× 4]\)

⇒ S = 10(10 + 76)

⇒ S = 860

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட AP க்கு 20 எண்களின் கூட்டுத்தொகை 860 ஆக இருக்கும்.

AP இன் n வது எண் வழங்கப்பட்டுள்ளது

Tn = a + (n - 1)d

l என்பது AP இன் 20வது எண் (கடைசி எண்) எனில்

l = 5 + (20 - 1) × 4 = 81

எனவே AP இன் கூட்டுத்தொகை

\(S = \dfrac{n}{2}( a + l)\)

\(⇒ S = \dfrac{20}{2}(5 + 81)\)

⇒ S = 860

கொடுக்கப்பட்டவை:

21 முதல் 199 வரையிலான அனைத்து இரட்டைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகை 11 மதிப்புகளுடன் சேர்க்கப்பட்டால், அதன் சராசரி மதிப்பு n ஆகும்

புதிய தொகுப்பின் சராசரி மதிப்பு = 99

பயன்படுத்தபட்ட சூத்திரம்:

(1) A.P இல் n எண்களின் கூட்டுத்தொகை

S = \(\frac{n(a+l)}{2}\)

இங்கு,

a, என்பது முதல் எண்ணின் மதிப்பு

l, என்பது கடைசி எண்ணின் மதிப்பு

n, என்பது எண்களின் எண்ணிக்கை

S என்பது A.P இல் உள்ள n எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்

(2) A.P இல் கடைசி எண்ணின் மதிப்பு

l = a + (n - 1)d

இங்கு,

a, முதல் எண்ணின் மதிப்பு

d என்பது இரண்டு எண்களுக்கு இடையிலான பொதுவான வேறுபாடு

n, என்பது எண்களின் எண்ணிக்கை

l, கடைசி எண்ணின் மதிப்பு

கணக்கீடு:

n என்பது 21 முதல் 199 வரையிலான இரட்டைபடை எண்களின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும்.

முதல் இரட்டைபடை எண்ணின் மதிப்பு (21 முதல் 199 வரை), a = 22

கடைசி இரட்டைபடை எண்ணின் மதிப்பு (21 முதல் 199 வரை), l = 198

இரண்டு இரட்டை எண்களுக்கு இடையிலான பொதுவான வேறுபாட்டின் மதிப்பு, d = 2

இப்போது,

⇒ 198 = 22 + (n - 1) × 2

⇒ 198 = 22 + (n - 1)2

⇒ 176 = (n - 1)2

⇒ (n - 1) = 88

⇒ n = 89

இப்போது,

21 முதல் 199 வரை உள்ள அனைத்து இரட்டைபடை எண்களின் கூட்டுத்தொகை S ஆக இருக்கட்டும்.

⇒ S = \(\frac{89(22 + 198)}{2}\)

⇒ S = 9790

இப்போது,

11 மதிப்புகளின் சராசரி = n

அனைத்து 11 மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை = 11n

கேள்வியின் படி,

⇒ \(\frac{9790+11n}{89+11}\) = 99

⇒ \(\frac{9790+11n}{100}\) = 99

⇒ 9790 + 11n = 9900

⇒ 11n = 110

⇒ n = 10

∴ தேவையான பதில் 10.

Additional Informationமுதல் மற்றும் கடைசி எண் அறியப்படும் போது எண்களின் சராசரியைக் கண்டறிய சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

A = \(\frac{a+l}{2}\)

இங்கு,

a, கூட்டுத்தொடரின் முதல் எண்

l, கூட்டுத்தொடரின் கடைசி எண்

A, என்பது a இலிருந்து l வரையிலான கூட்டுத்தொடரின் சராசரி.

குறிப்பு: மேலே உள்ள சூத்திரம் கூட்டுத்தொடருக்கு  மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது.

அடுத்தடுத்த சொற்கள் பூஜ்ஜியமற்ற மாறிலியாக பொதுவான வேறுபாட்டைக் கொண்டிருந்தால், அந்த வரிசையை எண்கணித வரிசை என்று அழைக்கலாம்.

கொடுக்கப்பட்டது: 

k இன் மதிப்பு; 2, 3 + k மற்றும் 6 ஆனது எண்கணித கூட்டுத் தொடராக இருக்கும்

கருத்து:

கூட்டுத் தொடரின் படி, a2 - a1 = a3 - a2 

இங்கே a1 ,a2 ,a3 என்பது ஏதாவதொரு  கூட்டுத் தொடரின் 1^வது, 2^வது மற்றும் 3^வது உறுப்பாக ஆக இருக்கும்

கணக்கீடு:

a₁ = 2, a₂ = k + 3, a₃ = 6 என்பது கூட்டுத் தொடரின் மூன்று தொடர்ச்சியான சொற்கூறாக இருக்கும்

கூட்டுத் தொடரின் படி, a₂ - a₁ = a₃ - a₂ 

(k + 3) – 2 = 6 – (k + 3)

⇒ k + 3 - 8 + k + 3 = 0

⇒ 2k = 2

இதைத் தீர்த்த பிறகு, நாம் பெறுவது k = 1

கொடுக்கப்பட்டவை

2, 7, 12, ____________

பயன்படுத்தப்படும் கருத்து

Tn = a + (n - 1)d

இதில் a = முதல் உறுப்பு, n = சொற்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் d = வேறுபாடு

கணக்கீடு

கொடுக்கப்பட்ட தொடரில்

a = 2

d = 7 - 2 = 5

T₁₀ = 2 + (10 - 1) 5

T₁₀ = 2 + 45

T₁₀ = 47

10வது உறுப்பு = 47

கொடுக்கப்பட்டது:

ஒரு AP கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... 80 விதிமுறைகள் வரை

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

ஒரு AP இன் n வது காலத்தின் தொகை

Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}

இங்கே,

'n' என்பது சொற்களின் எண்ணிக்கை, 'a' என்பது முதல் சொல், 'd' என்பது பொதுவான வேறுபாடு

கணக்கீடுகள்:

கேள்வியின் படி, எங்களிடம் உள்ளது

Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}      ----(1) 

எங்கே, a = 3, n = 80, d = 7 - 3 = 4

இந்த மதிப்புகளை (1) வைத்து, நாம் பெறுகிறோம்

⇒ S80 = (80/2){2 × 3 + (80 - 1) × 4}

⇒ S80 = 40(6 + 79 × 4)

⇒ S80 = 40 × 322

⇒ S80 = 12,880

∴ AP இன் 80 வது விதிமுறைகளின் தொகை 12,880 ஆகும்.

Alternate Method

n வது எண் = a + (n - 1) d

இங்கே n = 80, a = 3 மற்றும் d = 4

⇒ 80 வது எண் = 3 + (80 - 1) 4

⇒ 80 வது எண் = 3 + 316

⇒ 80 வது எண் = 319

இப்போது, ஒரு AP இன் n வது விதிமுறைகளின் தொகை

⇒ S_n = (n/2) × (1 வது எண்  + கடைசி எண் )

⇒ S80 = (80/2) × (3 + 319)

⇒ S80 = 40 × 322

⇒ S80 = 12,880

∴ AP இன் 80 வது விதிமுறைகளின் தொகை 12,880 ஆகும்.

பயன்படுத்தப்பட்ட கோட்பாடு:

a, b, c… இன்னும் பல.. என்ற தொடர் உள்ளது.

பொது வித்தியாசம் = b – a, c – b என்பது நாம் அறிந்தது.

ஒரு கூட்டுத்தொடரில் பொது வித்தியாசம் ஒன்றாகவே இருக்கும்.

b – a = c – b

கணக்கீடு:

b – a = c – b

⇒ b + b = c + a

⇒ 2b = c + a

⇒ 2b = a + c

∴ a, b, c ஆகியவை கூட்டுத்தொடரில் உள்ளன எனில் 2b = a + c.

Alternate Method

1, 2, 3 ஆகிய எண்கள் கூட்டுத்தொடரில் உள்ளன எனக்கொள்க.

ஒரே ஒரு விருப்பம் மட்டுமே சமன்பாட்டைப் பூர்த்தி செய்கின்றது.

2(2 ) 1 + 3 = எனவே 2b = a + c என்பதே சரியான விருப்பம் ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டவை:

a, a - b, a - 2b, a - 3b,...... என்ற வரிசையின் 10வது உறுப்பு 20 ஆகும். 20வது உறுப்பு 10 ஆகும்.

கணக்கீடு:

10 ^வது உறுப்பு = a - 9b = 20 --(1)

20 ^வது உறுப்பு = a - 19b = 10 ---(2)

சமன்பாடு (2) ஐ (1) இலிருந்து கழிக்கும்போது:

a - 9b - (a - 19b) = 20 - 10

⇒ a - 9b - a + 19b = 10

⇒ 10b = 10

⇒ b = 1

சமன்பாட்டிலிருந்து (1):

அ - 9 (1) = 20

⇒ அ = 20 + 9 = 29

இப்போது, x ^வது உறுப்பு = a - (x - 1)b

⇒ 29 - (x - 1) (1)

⇒ 29 - x + 1 = 30 - x

∴ வரிசையின் Xவது உறுப்பு 30 - x ஆகும் .

கொடுக்கப்பட்டது:

நிகழ்ச்சியில் பங்கேற்ற மாணவர்கள் = 30

கணக்கீடு:

நிகழ்ச்சியில் பங்கேற்காத மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = 45 - 30 = 15

கை குலுக்கல்களின் எண்ணிக்கைக்கான எண்கணித தொடர் = 1, 2, ....., 29

இந்த AP இல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை =

⇒ 29 = 1 + (n - 1)1

⇒ n = 29

AP இல் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை = 29/2 x [2 x 1 + (29 - 1) x 1)] = 435

∴ கை குலுக்கல்களின் எண்ணிக்கை = 435Shortcut Trick 
நேரடி சூத்திரம் பயன்படுத்தப்பட்டது:

⇒ n(n - 1)/2

⇒ 30(30 - 1)/2

⇒ 435

∴ கை குலுக்கல்களின் எண்ணிக்கை = 435