Mathematical Methods of Physics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mathematical Methods of Physics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

Aψ = λψ ⇒ d²(e^−αx2) / dx² − Bx²e^−αx2 = λe^−αx2

⇒ d/dx (−2αx·e^−αx2) − Bx²e^−αx2 = λe^−αx2

−2αe^−αx2 + (−2α)(−2α)x²e^−αx2 − Bx²e^−αx2 = λe^−αx2

(4α² − B)x²e^−αx2 − 2αe^−αx2 = λe^−αx2

(4α² − B) = 0 ⇒ B = 4α²

व्याख्या:

f(z) = z⁴ x exp(1 / (2z)) = z⁴ x (1 + 1 / (2z) + 1 / (4z²) + 1 / (48z³) + 1 / (384z⁴) + 1 / (3840z⁵) + ... )

अवशेष 1/z का गुणांक है = 1 / 3840

समाकल = (2πi) / 3840 = πi / 1920

गणना:

Re(z) > 0 के लिए परिभाषित है, और विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से पूरे सम्मिश्र समतल (गैर-धनात्मक पूर्णांकों को छोड़कर) तक विस्तारित किया गया है।

z = 0 पर व्यवहार:

गामा फलन की विचित्रताएँ गैर-धनात्मक पूर्णांकों पर होती हैं: z = 0, −1, −2, ...

ये साधारण ध्रुव हैं।

विशेष रूप से, z = 0 पर, Γ(z) में एक साधारण ध्रुव है।

सहायक तथ्य:

z = 0 के पास, गामा फलन इस प्रकार व्यवहार करता है:

Γ(z) ~ 1/z − γ + …

जहाँ γ ऑयलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।

यह स्पष्ट रूप से z = 0 पर एक साधारण ध्रुव को दर्शाता है।

गणना:

x और y के बीच संबंध का विश्लेषण

रैखिक संबंध की जाँच करें

एक रैखिक संबंध में y मानों में स्थिर प्रथम अंतर होंगे।

प्रथम अंतर:

2.1 - 0.1 = 2

8.1 - 2.1 = 6

17.9 - 8.1 = 9.8

32.2 - 17.9 = 14.3

49.7 - 32.2 = 17.5

प्रथम अंतर स्थिर नहीं हैं → रैखिक नहीं।

द्विघाती संबंध की जाँच करें

एक द्विघाती संबंध में लगभग स्थिर द्वितीय अंतर होते हैं।

द्वितीय अंतर:

(6 - 2) = 4

(9.8 - 6) = 3.8

(14.3 - 9.8) = 4.5

(17.5 - 14.3) = 3.2

ये द्वितीय अंतर लगभग स्थिर हैं (लगभग 4), छोटी प्रायोगिक त्रुटियों की अनुमति देते हैं।

x और y के बीच संबंध को एक द्विघाती संबंध द्वारा सबसे अच्छा दर्शाया गया है, जिसे इस रूप में लिखा जा सकता है: y = ax² + bx + c

गणना:

समाकल में z = 2 पर द्वितीय-क्रम का ध्रुव है।

अवशेष प्रमेय देता है

∮_c [5 / (z - 2)²] sin(kz) dz = 2πi x [अवशेष]

z = 2 पर अवशेष होगा

R = (1 / 1!) d/dz [5 sin(kz)] = 5k cos(2k)

⇒ (1 / 2πi) ∮_c [5 / (z - 2)²] sin(kz) dz = 5k cos(2k)

व्याख्या:

• \(I=\int_0^{\infty} e^{-x} x \sin (x) d x\)

सीमा 0 से \(\infty\) तक के इस समाकलन को लाप्लास रूपांतरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

• \(L[f(x)]=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-sx}\,\mathrm f (x){d}x\) --------1

• \(L[sinax]=\frac {a} {s^2+a^2}\),
• यहाँ \(L[sinx]=\frac {1} {s^2+1}\)

अब, \(L[x^nf(x)]=(-1)^n\frac{d^n} {ds^n} [Lf(x)]\)

• \(L[xsinx]\)\(=(-1)^1\frac {d} {ds} [\frac{1} {s^2+1}]\) (चूँकि, \(L[sinx]=\frac {1} {s^2+1}\))
• \(L[xsinx]=\)\((-1)\frac {-2s} {(s^2+1)^2}\)\(=\frac {2s} {(s^2+1)^2}\)

अब समीकरण 1 से, हम जानते हैं कि s = 1,

• इसलिए, \(L[f(x)]=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-sx}\,\mathrm f (x){d}x\) \(=\frac {2\times1} {(1^2+1)^2}=\frac {2} {4}=\frac {1} {2}\)

इसलिए, सही उत्तर \(\frac {1} {2} \) है।

व्याख्या:

दिया गया बहुपद \( f(x) = x^3 - x^2 - 1\) है, प्रारंभिक अंतराल [a, b] = [1, 2] है और दो अंत बिंदुओं पर फलन मान f(1) = -1 और f(2) = 3 हैं। द्विभाजन विधि में एक पुनरावृत्ति में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1. मध्यबिंदु c = (a + b) / 2 की गणना करें।
2. फलन f(c) का मान ज्ञात करें।
3. यदि f(c) 0 के बहुत करीब है, तो c हमारा मूल है। अन्यथा, यदि f(a) और f(c) के विपरीत चिह्न हैं, तो अंतराल [a, b] को [a, c] से बदलें; अन्यथा, अंतराल को [c, b] से बदलें।

सही द्विभाजन विधि इस प्रकार होगी:

पुनरावृत्ति 1:

\(c = \frac{(a + b) }{2} = \frac{(1 + 2)}{2}= 1.5\)

\(f(c) = f(1.5) = (1.5)^3 - (1.5)^2 - 1 = 0.125\)

चूँकि f(a) = -1 और f(c) = 0.125 के अलग-अलग चिह्न हैं, इसलिए हम b = c से बदलते हैं। अब नया अंतराल [1, 1.5] हो जाता है।

पुनरावृत्ति 2:

\(c =\frac{ (a + b) }{ 2} = \frac{(1 + 1.5)} { 2} = 1.25\)

\(f(c) = f(1.25) = (1.25)^3 - (1.25)^2 - 1 = -0.421875\)

चूँकि f(a) = -1 और f(c) = -0.421875 के समान चिह्न हैं, इसलिए हम a = c से बदलते हैं। अब नया अंतराल [1.25, 1.5] हो जाता है।

पुनरावृत्ति 3:

\(c = \frac{(a + b) }{ 2 }= \frac{(1.25 + 1.5)}{2 }= 1.375\)

\(f(c) = f(1.375) ~= (1.375)^3 - (1.375)^2 - 1 = -0.162109375\)

चूँकि f(a) = -0.421875 और f(c) = -0.162109375 के समान चिह्न हैं, इसलिए हम a = c से बदलते हैं। अब नया अंतराल [1.375, 1.5] हो जाता है।

तीन पुनरावृत्तियों के बाद, मूल x₀ का सबसे अच्छा अनुमान हमारा सबसे हालिया मध्यबिंदु c = 1.375 या 11/8 है।

व्याख्या:

• 3D में एक घूर्णन आव्यूह R के लिए, घूर्णन आव्यूह का ट्रेस (विकर्ण तत्वों का योग) घूर्णन के कोण \(\theta\) से सूत्र \(\text{Tr}(R) = 1 + 2\cos(\theta)\) द्वारा संबंधित होता है, जिससे \(\cos(\theta) = \frac{(\text{Tr}(R) - 1)}2\) प्राप्त होता है।
• हमारा दिया गया घूर्णन आव्यूह है: \(\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ 0 & \frac{2 \sqrt{2}}{3} & \frac{1}{3} \end{array}\right)\)
• ट्रेस की गणना करने पर हमें मिलता है:

​\( \text{Tr}(R) = -1 + (-1/3) + (1/3) = -1 \implies \cos(\theta) = (-1) \implies \theta =( \pi \text{ or } -\pi) \)

• घूर्णन अक्ष को निम्न द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

​\([ n_x = \frac{\sqrt{(R_{22} - R_{11}) + (R_{33} - R_{11}) + 2}}{2} ] [ n_y = \frac{\sqrt{(R_{33} - R_{22}) + (R_{11} - R_{22}) + 2}}{2} ] [ n_z = \frac{\sqrt{(R_{11} - R_{33}) + (R_{22} - R_{33}) + 2}}{2} ]\) जो घूर्णन आव्यूह के तत्वों के वर्गमूल हैं।

• चिह्नों (±) का सही संयोजन घूर्णन आव्यूह के विकर्ण से बाहर के तत्वों को देखकर प्राप्त किया जाता है। दिए गए आव्यूह से, हमारे पास है:

\([ n_x = 0, \quad n_y = \pm\sqrt{1/3}, \quad n_z = \pm\sqrt{2/3} ]\)

• \(n_y\) और \(n_z\) के चिह्न क्रमशः घूर्णन आव्यूह के \(R_{23} - R_{32}\) और \(R_{12} - R_{21}\) के अनुरूप हैं।
• इससे \(n_y=-\sqrt{1/3} \quad और \quad n_z=\sqrt{2/3}\) प्राप्त होता है।
• लेकिन चूँकि अक्ष दिशा घूर्णन की दिशा तक निर्धारित होती है, हम उन्हें बदल देते हैं (ताकि \(n_y\) धनात्मक और \(n_z\) ऋणात्मक हो) और घूर्णन कोण के चिह्न को बदल देते हैं, जिससे हमें मिलता है:

\([ n = \left(0, \sqrt{1/3}, \sqrt{2/3}\right), \quad \theta = \pi ]\)

अवधारणा:

हम बेयस प्रमेय का उपयोग कर रहे हैं जो किसी भी स्थिति से संबंधित घटना की घटना की प्रायिकता का वर्णन करता है। इसे सशर्त प्रायिकता के मामले के रूप में माना जाता है।

यहाँ, हमें जार \(J_1\) में लाल गेंद की प्रायिकता ज्ञात करनी है।

प्रयुक्त सूत्र- \(P(J_1) P(\frac {R} {J_1})\over P(J_1) P(\frac {R} {J_1}) + P(J_2) P(\frac {R} {J_2})\)

व्याख्या:

दिया गया है,

• जार \(J_1\) में लाल गेंद की प्रायिकता \( = \frac {1} {3} \)
• जार \(J_2\) में लाल गेंद की प्रायिकता \( = \frac {1} {2}\)
• दोनों जारों का प्रायिकता संबंध दिया गया है \(P(J_1) = 2P(J_2)\)

अब, हम जानते हैं कि,

• \(P(J_1) +P(J_2) = 1\)
• \(2P(J_2) + P(J_1) = 1 \)
• \(P(J_2) = \frac {1} {3}\) और \(P(J_1) = \frac {2} {3}\)

बेयस सूत्र का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है,

• \(P(J_1) P(\frac {R} {J_1})\over P(J_1) P(\frac {R} {J_1}) + P(J_2) P(\frac {R} {J_2})\)

• => \(\frac {2} {3} \times \frac {1} {3} \over \frac {2} {3} \times \frac {1} {3} + \frac {1} {3}\times \frac {1} {2}\) \(=\)\(\frac {2} {9}\over \frac {2} {9} + \frac {1} {6}\)\(=\) \(\frac {2} {9}\times \frac {18} {7}\)\(=\)\(\frac {4} {7}\)

Concept:

Polynomials can be classified by the number of terms with nonzero coefficients, so that a one-term polynomial is called a monomial, a two-term polynomial is called a binomial, and a three-term polynomial is called a trinomial.

Calculation:

x(t) = a0 + a1t + a2t2 + ... + an-1tn-1

x(0) = 0

a0 = 0

x(t) = a1t + a2t2 + ... + an-1tn-1

Also, x(1) = 1

1 = a1 + a2 + ... + an-1

t,t2,t3 form basis.

c1t + c2t2 + c3t3 = 0

If c1 = c2 = c3 ...= 0

Thus, it does not constitute a vector space.

The correct answer is option (4).

व्याख्या:

• पुनरावृत्ति संबंध है: \((n) J_n(x) - xJ_n'(x) = xJ_{n-1}(x)\)
• पुनर्व्यवस्थित करने और संबंध को \(x^{-n}\) से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: \(-x^{-n} J_n'(x) = x^{-(n-1)} J_{n-1}(x) - x^{-n} (n) J_n(x)\),
• जो सरल हो जाता है: \(-x^{-n} J_n'(x) = x^{-n} (J_{n-1}(x) - nJ_n(x))\)
• लेकिन बेसेल फलनों में एक और पुनरावृत्ति संबंध शामिल है, जो \(J_{n - 1}(x) + J_{n + 1}(x) = 2nJ_n(x) / x\) है,
• ऊपर से हम \((J_{n - 1}(x) = x[J_{n + 1}(x) - 2nJ_n(x) / x])\) को \(-x^{-n} J_n'(x)\) के लिए हमारे व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
• इससे प्राप्त होता है: \(-x^{-n} J_n'(x) = x^{-n} (x[J_{n + 1}(x) - 2nJ_n(x) / x] - nJ_n(x))\)
• सरल करने के बाद, यह बन जाता है: \(-x^{-n} J_n'(x) = -x^{-n} J_{n + 1}(x)\)
• रुचि के व्युत्पन्न के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है: \([\frac{d}{d x}\left[x^{-n} J_n(x)\right] = -x^{-n} J_{n + 1}(x)]\)

Concept:

Contour integration is the process of calculating the values of a contour integral around a given contour in the complex plane.

Calculation:

f(z) = (\({π \over sin 4z}\))²

Thus the poles are

z₀ = 0, π/4   

4z = nπ, z = 0, π/4

The rest are outside the contour.

Residue at z = 0 is 

[\({ π \over 4z- {4^3z^3\over 3!}+... }\)]²

= [\({ 1 \over 4- {4^3z^2\over 3!}+... }\)]²

= [\({4- {4^3z^2\over 3!}+... }\)]^-2

Residue for z = π/4

z  - π/4 = t

sin (4t + π) = - sin 4t

= \([{t+{π \over 4}\over sin 4 (t + {π \over 4})}]^2\)

(\({t+ {π \over 4}\over sin 4 (t + {π \over 4t})}\))² = \({t^2 + {π^2\over 4} + 2t {π \over 4} \over sin^2 4t}\) 

\({π \over 2}{t \over 16 t^2[1 - ...]^2}\) = \({π \over 32t} [1 - ...]^2 \)

b₁ = \({π \over 32}\)

∫_c \({z^2 \over sin^2 4z}\) dz = 2πi [0 + \({\pi\over 32}\)]

= \({i\pi^2\over 16}\) 

The correct answer is option (3).

हल-विकल्प-1\((1,\frac {1} {2}) और \frac {1} {2}\)

अवधारणा- यहाँ, हमें वृत्त के समीकरण का उपयोग करके वक्र का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करनी है जो \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) द्वारा दिया गया है जहाँ केंद्र \((x_0,y_0)=(-g,-f) \) और त्रिज्या \(R=\sqrt{f^2+g^2-c^2}\) है।

प्रयुक्त सूत्र-

• \(Im(z_1-z_2)=Im(z_1)-Im(z_2)\)
• \(R=\sqrt{f^2+g^2-c^2}\)

गणना-

• वक्र का बिंदुपथ \(Im(\frac {\pi(z-1)-1} {(z-1)})=1\) है।
• \(Im(z_1-z_2)=Im(z_1)-Im(z_2)\)

• अब इस बिंदुपथ को इस प्रकार लिखा जा सकता है, \(Im(\frac {\pi(z-1)} {(z-1)}-\frac{1} {z-1})=1\)

• \(Im(\pi)-Im(\frac {-1} {z-1})\)
• \(Im(\pi)\) का मान शून्य है, इसलिए, हम \(Im(\frac {-1} {z-1})\) के हल को देखेंगे।

अब, जैसा कि हम जानते हैं \(z=x+iy\)

• \(\frac{1} {z-1}=\frac {1} {x+iy-1}=\frac {1} {(x-1)+iy}\)

• \(\frac{1} {z-1}=\frac {1} {x+iy-1}=\frac {1} {(x-1)+iy}\)
• ऊपर दिए गए मान को परिमेयीकरण करने पर, हमें प्राप्त होता है
• \(\frac {1} {(x-1)+iy}\times\frac {(x-1)-iy} {(x-1)-iy}\)\(=\frac {(x-1)-iy} {(x-1)^2-(iy)^2}=\frac {(x-1)-iy} {(x-1)^2+y^2} \)

उपरोक्त समीकरण का काल्पनिक भाग \(\frac {-y} {(x-1)^2+y^2} \) है।

• \(Im(\frac {-1} {z-1})\)\(=\)\(\frac {y} {(x-1)^2+y^2}=1\)
• \(y=(x-1)^2+y^2\)
• \(y=x^2+1-2x+y^2\)
• \(x^2+y^2-2x-y+1=0\)
• यह वृत्त का समीकरण निरूपित करता है और \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) के समान है जिसका केंद्र \((-g,-f)\) और वृत्त की त्रिज्या \(R=\sqrt{f^2+g^2-c^2}\) द्वारा दी गई है।
• यहाँ, \(g=-1, f=\frac {-1} {2}\)
• वृत्त के केंद्र के निर्देशांक \((x_0,y_0)=(-g,-f)=(1,\frac{1} {2})\) हैं।
• वृत्त की त्रिज्या \(R=\sqrt{f^2+g^2-c^2}\)\(=\sqrt{1+(\frac {1} {2})^2-1}=\sqrt{1+\frac{1} {4}-1}=\frac {1} {2}\)

इसलिए, सही उत्तर \((x_0,y_0)=(1,\frac{1} {2})\) और \(R=\frac {1} {2}\) है।

अवधारणा-

निर्देशांक तल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। यह कई चरों वाला एक शाब्दिक समीकरण है जो बिंदुओं के स्थानों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

प्रयुक्त सूत्र-

मान लें, \((x_1,x_2)\) और \((y_1,y_2)\) अक्षों पर निर्देशांक हैं, और d उनके बीच की दूरी है। तब,

• \(d^2=(x_2-x_1)^2 +(y_2 - y_1)^2\)

व्याख्या:

• AB एक छड़ है जिसके निर्देशांक \(A(x_1,y_1,z_1)\) और \(B(x_2,y_2,z_2)\) हैं।
• मान लीजिये छड़ की लंबाई = \(L\)
• गोले की त्रिज्या = \(R\)

\((x_2-0)^2+(y_2-0)^2+(z_2-0)^2=R^2\)

\((x_1-0)^2+(y_1-0)^2+(z_1-0)^2=R^2\)

\((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2=L^2\)

इसलिए, तीन प्रतिबंध समीकरण हैं।

Concept:

Probability means possibility. It is a branch of mathematics that deals with the occurrence of a random event. The value is expressed from zero to one.

Calculation:

Probability that the two balls are of different colors 5 W, 4 B

= \({5C_1 \times 4C_2\over 9 C_2}\)

= \({{5!\over 4!\times 1!}\times{{4!}\over 3!\times 1!}\over {9!\over 7!\times 2!}}\)

= \({5 \over 9}\)

The correct answer is option (4).