जटिल z-समतल में वक्र \(\operatorname{Im}\left(\frac{\pi(z-1)-1}{z-1}\right)=1\) का बिंदुपथ एक वृत्त है जिसका केंद्र (x₀, y₀) और त्रिज्या R है। (x0, y0) और R के मान क्रमशः हैं:

हल-विकल्प-1\((1,\frac {1} {2}) और \frac {1} {2}\)

अवधारणा- यहाँ, हमें वृत्त के समीकरण का उपयोग करके वक्र का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करनी है जो \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) द्वारा दिया गया है जहाँ केंद्र \((x_0,y_0)=(-g,-f) \) और त्रिज्या \(R=\sqrt{f^2+g^2-c^2}\) है।

प्रयुक्त सूत्र-

• \(Im(z_1-z_2)=Im(z_1)-Im(z_2)\)
• \(R=\sqrt{f^2+g^2-c^2}\)

गणना-

• वक्र का बिंदुपथ \(Im(\frac {\pi(z-1)-1} {(z-1)})=1\) है।
• \(Im(z_1-z_2)=Im(z_1)-Im(z_2)\)

• अब इस बिंदुपथ को इस प्रकार लिखा जा सकता है, \(Im(\frac {\pi(z-1)} {(z-1)}-\frac{1} {z-1})=1\)

• \(Im(\pi)-Im(\frac {-1} {z-1})\)
• \(Im(\pi)\) का मान शून्य है, इसलिए, हम \(Im(\frac {-1} {z-1})\) के हल को देखेंगे।

अब, जैसा कि हम जानते हैं \(z=x+iy\)

• \(\frac{1} {z-1}=\frac {1} {x+iy-1}=\frac {1} {(x-1)+iy}\)

• \(\frac{1} {z-1}=\frac {1} {x+iy-1}=\frac {1} {(x-1)+iy}\)
• ऊपर दिए गए मान को परिमेयीकरण करने पर, हमें प्राप्त होता है
• \(\frac {1} {(x-1)+iy}\times\frac {(x-1)-iy} {(x-1)-iy}\)\(=\frac {(x-1)-iy} {(x-1)^2-(iy)^2}=\frac {(x-1)-iy} {(x-1)^2+y^2} \)

उपरोक्त समीकरण का काल्पनिक भाग \(\frac {-y} {(x-1)^2+y^2} \) है।

• \(Im(\frac {-1} {z-1})\)\(=\)\(\frac {y} {(x-1)^2+y^2}=1\)
• \(y=(x-1)^2+y^2\)
• \(y=x^2+1-2x+y^2\)
• \(x^2+y^2-2x-y+1=0\)
• यह वृत्त का समीकरण निरूपित करता है और \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) के समान है जिसका केंद्र \((-g,-f)\) और वृत्त की त्रिज्या \(R=\sqrt{f^2+g^2-c^2}\) द्वारा दी गई है।
• यहाँ, \(g=-1, f=\frac {-1} {2}\)
• वृत्त के केंद्र के निर्देशांक \((x_0,y_0)=(-g,-f)=(1,\frac{1} {2})\) हैं।
• वृत्त की त्रिज्या \(R=\sqrt{f^2+g^2-c^2}\)\(=\sqrt{1+(\frac {1} {2})^2-1}=\sqrt{1+\frac{1} {4}-1}=\frac {1} {2}\)

इसलिए, सही उत्तर \((x_0,y_0)=(1,\frac{1} {2})\) और \(R=\frac {1} {2}\) है।