कोई यादृच्छिक चर Y निम्न प्रसामान्य बंटन \(P(Y)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left[-\frac{(Y-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right]\) का पालन करता है। e^Y का माध्य मान है

व्याख्या:

• एक यादृच्छिक चर Y के प्रायिकता घनत्व फलन p(Y) के साथ एक फलन h(Y) का प्रत्याशा मान इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(E[h(Y)] = ∫ h(Y) p(Y) dY,\) (सभी Y पर).

• यहाँ, हम \(h(Y) = e^Y\) में रुचि रखते हैं। इसलिए, \(E[e^Y] = ∫ e^Y p(Y) dY\), (सभी Y पर).
• p(Y) के लिए दिए गए सामान्य वितरण को जोड़ने पर, हमारे पास है: \(E[e^Y] = ∫ e^Y (\frac{1}{σ \sqrt{2π}})× exp[-\frac{(Y - μ)²}{(2σ²)}] dY,\) (सभी Y पर).
• उपरोक्त व्यंजक को सरल करें, हम इसे इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

\(E[e^Y] = (\frac{1}{σ \sqrt{(2π)}}) \times ∫ e^{Y - \frac{(Y - μ)²}{(2σ²)}} dY\), (सभी Y पर).

\(E[e^Y] = (\frac{1}{σ \sqrt{2π}}) \times ∫ e^{\frac{-μ}{2σ²} - \frac{Y²}{(2σ²)} + Y+\frac{Y \mu}{\sigma^2} } dY,\) यह एक घातीय द्विघात का सभी Y पर समाकल है।

• हालांकि, एक घातीय द्विघात एक गाउसी समाकल में समाकलित होता है, जिसका मान हम जानते हैं कि √π है।
• आइए घातांक को इस प्रकार फिर से लिखें:

\(-\frac{μ}{2σ²} + Y -\frac{ Y²}{(2σ²)}+\frac{Y \mu}{\sigma^2} = \frac{-(Y - μ - σ²)²}{(2σ²)} + μ + \frac{σ²}{2}.\)

• इसलिए समाकल (गुणकों तक): \(∫ e^{\frac{-(Y - μ - σ²)²}{(2σ²)} + μ + \frac{σ²}{2}} dY\) है, जो स्पष्ट रूप से चर \((Y - μ - σ²)\) में एक सामान्य वितरण है, जिसका माध्य \((μ + σ²)\) और समान \(σ\) है।
• इसलिए, केवल चर परिवर्तन \(Y' = Y - μ - σ²\) से, इस तरह के सामान्य प्रायिकता घनत्व का ऋणात्मक अनंत से धनात्मक अनंत तक निश्चित समाकल 1 देता है।
• इसलिए, हम प्राप्त करते हैं: \(E[e^Y] = e^{μ + \frac{σ²}{2}}\).