Thermodynamic and Statistical Physics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Thermodynamic and Statistical Physics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

ऊर्जा व्यंजक को पुनर्लेखित करना:

E_n = ℎω (n₁ + 2n₂ + 3/2)

हमें n₁ + 2n₂ + 3/2 < 4 चाहिए, जो n₁ + 2n₂ < 2.5 तक सरलीकृत होता है।

मान्य युग्म (n₁, n₂) हैं: (0,0), (1,0), (2,0), और (0,1).

अगला, हम इन अवस्थाओं के लिए बोल्ट्जमान गुणांकों की गणना करते हैं, जिसका उपयोग करके: α = exp(− ℎω / k_BT)

(0,0) के लिए: α^3/2

(1,0) के लिए: α^5/2

(2,0) के लिए: α^7/2

(0,1) के लिए: α^7/2

इन योगदानों को जोड़ने पर अंश प्राप्त होता है:

α^3/2 + α^5/2 + 2α^7/2 = α^3/2(1 + α + 2α²)

विभाजन फलन Z है:

Z = α^3/2 ∑_n1=0^∞ αⁿ¹ ∑_n2=0^∞ α²ⁿ² = α^3/2 (1 / (1 − α)) (1 / (1 − α²))

Z को सरलीकृत करना:

Z = α^3/2 / [(1 − α)(1 − α²)]

प्रायिकता P, अंश का विभाजन फलन से अनुपात है:

P = [α^3/2(1 + α + 2α²)] / [α^3/2 / ((1 − α)(1 − α²))] = (1 + α + 2α²)(1 − α)(1 − α²)

1 − α² को (1 − α)(1 + α) के रूप में गुणनखंडित करना:

P = (1 + α + 2α²)(1 − α)²(1 + α)

गणना:

दो इसिंग स्पिन s = ±1/2 की ऊर्जा इस प्रकार दी गई है:

E = s₁ s₂ + s₁ + s₂

सभी विन्यास और उनकी ऊर्जाओं की सूची:

बोल्ट्जमान गुणकों का उपयोग करना (β = 1 / k_B T):

P₊₊ ∝ e^-β(5/4), P_+- = P_-+ ∝ e^β/4, P_-- ∝ e^3β/4

दिया गया है:

P_-- = 16 ⋅ P₊₊ ⇒ (e^3β/4) / (e^-5β/4) = 16 ⇒ e^2β = 16 ⇒ β = 2 ln 2

इसके अलावा,

(P_+- / P₊₊) = (e^β/4) / (e^-5β/4) = e^3ln2 = 8 ⇒ y = 8x

मान लीजिये:

P₊₊ = x, P_-- = 16x, P_+- = P_-+ = y = 8x

कुल प्रायिकता:

x + 16x + 2 ⋅ 8x = 33x ⇒ x = 1/33, y = 8/33

इसलिए, स्पिन के विपरीत मान लेने की प्रायिकता है:

2y = 2 ⋅ (8/33) = 16/33

गणना:

d-आयामों में एक मुक्त फर्मी गैस के लिए (स्पिन को अनदेखा करते हुए):

T = 0 पर प्रति कण औसत ऊर्जा (अर्थात, प्रति कण आधार ऊर्जा) है:

= (d / (d + 2)) E_F

4D स्थिति के लिए:

d = 4 सेट करें,

इसलिए, = (4 / (4 + 2)) E_F = (4 / 6) E_F = (2 / 3) E_F

गणना:

दो स्तर: E₁ = ω, E₂ = 3ω

उच्च तापमान (T → ∞) पर, कण समान रूप से वितरित हो जाते हैं।

तापीय साम्यावस्था पर:

अवस्था i में होने की प्रायिकता बोल्ट्ज़मान वितरण द्वारा दी जाती है:

P_i = e^−βE_i / Z , Z = e^−βω + e^−β(3ω)

इसलिए प्रति कण औसत ऊर्जा:

ε_eq = [ω e^−βω + 3ω e^−β(3ω)] / [e^−βω + e^−β(3ω)]

e^−βω को बाहर निकालें:

ε_eq = ω · [1 + 3 e^−2βω] / [1 + e^−2βω]

मान लें x = e^−2βω

तब, ε_eq = ω · (1 + 3x) / (1 + x)

अब उच्च-तापमान सीमा (β → 0 ⇒ x → 1) लें:

lim_x→1 ε_eq = ω · (1 + 3) / (1 + 1) = ω · 4 / 2 = 2ω

गणना:

रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए dQ = 0

⇒ dU = -PdV

इस प्रकार विकिरण के लिए, VT³ = नियतांक

प्रारंभिक आंतरिक ऊर्जा U_i = aVT⁴ जहाँ a = 4σ/c है।

U_i = (4σ/c)VT⁴

VT3 = नियतांक का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है

U_f = (4σ/c)(8V)(T/2)4 = (2σ/c)VT4

आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन ΔU = (4σ/c)VT4 - (2σ/c)VT4 = (2σ/c)VT4

Concept:

The Carnot engine is a theoretical thermodynamic cycle proposed by Leonard Carnot. It estimates the maximum possible efficiency that a heat engine during the conversion process of heat into work and, conversely, working between two reservoirs can possess.

Calculation:

Q₁ = 100 J Q₂ = 40J

T₁ = ? T₂ = 300 K

\({Q_1\over Q_2} = {T_1 \over T_2}\)

⇒ \({100 \over 40} = {T_1 \over 300}\)

⇒ T₁ = \({(100 \times 300)\over 40}\)

= 750 K

The correct answer is option (3).

संकल्पना:

→समतापी प्रक्रम में, जब एक गैस पात्र को संपीड़ित किया जाता है, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है;

\(P_1V_1=P_2V_2\)

→रुद्धोष्म प्रक्रम के लिए इसे इस प्रकार लिखा जाता है;

\(P_1V_1 ^\gamma= P_2V_2^\gamma\)

यहाँ P दाब है और V आयतन है।

​​स्पष्टीकरण:

पात्र का आयतन = \(V_1\)

जब इसके आयतन के आधे हिस्से तक संपीड़ित किया जाता है = \(\frac{V_1}{2}\)

→समतापी प्रक्रम द्वारा जब पात्र A को संपीड़ित किया जाता है, तो हमें प्राप्त होता है;

\(P_1V_1=P_2V_2\)

⇒ \(P_1V_1=P_2\frac{V_1}{2}\)

⇒ \(P_2=2P_1\) -----(1)

→रुद्धोष्म प्रक्रम द्वारा जब B संपीडित होता है, तो हमें प्राप्त होता है;

\(P_1V_1 ^\gamma= P_2'V_2'^\gamma\)

\(P_1V_1 ^\gamma= P_2'(\frac {V_1}{2})^\gamma\)

⇒ \(P_2' = 2^\gamma P_1\) ----(2)

समीकरण (1) को (2) से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है;

\(\frac{P_2}{P_2'}=2^{\gamma -1}\)

अत: विकल्प 1) सही उत्तर है।

संकल्पना:

स्टीफ़न-बोल्ट्ज़मैन का नियम- यह कहता है कि किसी सतह से उत्सर्जित होने वाली कुल विकिरित ऊष्मा शक्ति, उसके निरपेक्ष तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है।

अर्थात, शक्ति, P ∝ T4

जहां P और T क्रमशः विकिरित शक्ति और तापमान है।

गणना:

गोलाकार काले पिंड की त्रिज्या,  R₁ = 12 cm

विकिरित शक्ति, P₁ = 450 वाट  

तापमान,  t₁ = 500 K

नई त्रिज्या, R₂ = 6 cm

नया तापमान, t₂ = 2t₁

नई शक्ति = P₂

शक्ति हानि की दर

P ∝  R²T⁴

\(\frac{P_1}{P_2} =\)\(\frac{R^2_1T^4_1}{R^2_2T^4_2}\)

= 4 × \(\frac{1}{16}\)

\(\frac{450}{r_2}=\frac{1}{4}\)

 P₂ = 1800 वाट 

हम जानते है,

λ_max T = स्थिरांक (वीन का नियम)

So, \({λ _{{{\max }_1}}}\;{T_1} = {λ _{{{\max }_2}}}\;{T_2}\)

\( \Rightarrow {\lambda _0}T = \frac{{3{\lambda _0}}}{4}T'\)

\(\Rightarrow T' = \frac{4}{3}T\)

इसलिए, \(\frac{{{P_2}}}{{{P_1}}} = {\left( {\frac{{T'}}{T}} \right)^4} = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^4} = \frac{{256}}{{81}}\)

अवधारणा- हम अपभ्रंश की गणना करेंगे और फिर फर्मी ऊर्जा के संबंधित स्पिन पर अनुपात ज्ञात करने के लिए स्पिन और कणों की संख्या के बीच संबंध को सहसंबंधित करेंगे।

गणना-

यहाँ, हमें E_f (S = \(3\over2\) ) और E_f (S = \(1\over2\) ) का अनुपात ज्ञात करना है।
दिया गया है, E_n = n² E₀

• E_n = nवीं अवस्था की ऊर्जा
• n = कणों की संख्या
• E0 = मूल अवस्था की ऊर्जा

जैसा कि हम जानते हैं,

• अपभ्रंश g_s = 2S+1

और, S फर्मिऑन का स्पिन है

• n ∝ \(1\over(2S+1)\)

अब, E_f = n²E₀

• E_f ∝ \(1\over(2S+1)^2\) E₀

अनुपात ज्ञात करने के लिए सूत्र में संबंधित स्पिन मान रखें।

• (E_f (S=​​\(3\over2\) )) / (E_f (S=\(1\over2 \)) ) = \(1\over(2\times 3/2+1)^2 \) E₀ / \(1\over(2\times 1/2+1)^2\) E₀ = \(4\over16\) = \(1\over4\)​

सही उत्तर 3, 300, 100 और 240 हैं। 

Key Points

• एनोवा तालिका से, हमें निम्नलिखित जानकारी मिलती है:
  • उपचारण के लिए स्वातंत्र्य कोटि (a) = त्रुटि के लिए स्वातंत्र्य की 3 कोटि (b) = d =  12 कुल स्वातंत्र्य की कोटि (c) = 15 उपचारण के लिए वर्गों का योग (SS) = 5 कुल SS = 540
  • लुप्त मानों को ज्ञात करने के लिए, हम वर्गों के शेष योग की गणना कर सकते हैं:
  • त्रुटि के लिए SS = कुल SS - उपचारण के लिए SS = 540 - 5 = 535
• अब, आइए उपचारण के लिए माध्य SS और त्रुटि के लिए माध्य SS की गणना करें:
  • उपचारण के लिए माध्य SS = उपचारण के लिए SS / उपचारण के लिए स्वातंत्र्य की कोटि = 5/3 = 1.67
  • त्रुटि के लिए माध्य SS = त्रुटि के लिए SS / त्रुटि के लिए स्वातंत्र्य की कोटि = 535/12 = 44.58
• इसलिए,  a, b, c, और d के मान हैं:
  • a = 3, b = 300 (उपचारण के लिए माध्य SS को उपचारण के लिए स्वातंत्र्य की कोटि से गुणा किया गया: 1.67 * 3 = 5), सी = 100 (त्रुटि के लिए वर्गों का योग: 535), डी = 240 (त्रुटि के लिए स्वातंत्र्य की कोटि: 12)

इसलिए, a, b, c और d के मान क्रमशः 3, 300, 100 और 240 हैं।

अवधारणा:

हम एक-आयामी जालक में एक यादृच्छिक चलने वाले के लिए प्रायिकता सूत्र का उपयोग करेंगे जो दिया गया है

• \(\frac{N!}{n_1! n_2!}.p^{n_1} q^{n_2}\)

व्याख्या:

यहाँ, \(p=\frac{1}{2}\) और \(q=\frac{1}{2}\)

स्थिति-1- A और B मिलते हैं जब A चार दाएँ कदम और शून्य बाएँ कदम उठाता है और B तीन दाएँ कदम और एक बाएँ कदम उठाता है। इसलिए, प्रायिकता बन जाती है

• \(\) \(P_{12}=\frac{4!}{0! 4!}.(\frac{1}{2})^{4} (\frac{1}{2})^{0}\times \frac{4!}{3! 1!}.(\frac{1}{2})^{3} (\frac{1}{2})^{1}=\frac{1}{16}\times\frac{4}{16} \ \)

स्थिति-2- A और B मिलते हैं जब A दो दाएँ कदम और दो बाएँ कदम उठाता है और B दो दाएँ कदम और दो बाएँ कदम उठाता है। इसलिए, प्रायिकता बन जाती है

• \(\) \(P_{33}=\frac{4!}{2! 2!}.(\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{2}\times \frac{4!}{2! 2!}.(\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{2} \ \)\(=\frac{6}{16}\times\frac{6}{16}\)

• शुद्ध प्रायिकता है\(P_{net}=\)\(\frac{1}{16}\times\frac{4}{16}+\frac{6}{16}\times\frac{6}{16}+\frac{1}{16}\times\frac{4}{16}\)
• \(P_{net}=\)\(( \frac{44}{16\times 16})=\frac{11}{64}\ \ \)

इसलिए, सही उत्तर \(P_{net}=\)\(\frac{11}{64}\) है।

संप्रत्यय:

विभाजन फलन ऊष्मागतिक अवस्था चरों, जैसे तापमान और आयतन के फलन होते हैं।

गणना:

E_n = (n+1)hω

दिया गया क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर द्वि-आयामी है

∴ n = n_x + n_y

निकाय का विभाजन फलन है

z = ∑ (n+1)exp-(n+1)hω

जहाँ अपभ्रंश = (n+1)

z = exp(-hω)+2exp(-2hω)+3exp(-3hω)+...

= \({e^{-\beta h\omega}\over1- e^{-\beta h\omega}} + {e^{-2\beta h\omega}\over (1- e^{-2\beta h\omega})^2}\)

= \({e^{-\beta h\omega} (1-e^{-\beta h\omega})+ e^{-2\beta h\omega}\over(1-e^{-\beta h\omega})^2}\)

= \({e^{\beta h\omega}\over (e^{\beta h\omega}-1)^2}\)

सही उत्तर विकल्प (2) है।

Calculation:

Heat radiated per unit time,

P = σAeT⁴

where, σ is Stefan's constant.

 For a black body, emissivity,

 e ~ 1

Heat energy radiated in time t by the black body,

E = σAtT⁴

where E = hν   

The correct answer is (4).

सिद्धांत:

गैस की एन्ट्रापी में परिवर्तन

Tds = CVdT + PdV

गणना:

गैस की एन्ट्रापी में परिवर्तन

Tds = C_VdT + PdV

dV = 0

Tds = αT dT

Δ S_गैस = α [T_f - T_i]

ऊष्मा भंडार की एन्ट्रापी में परिवर्तन

T_fdS = αT dT

dQ = αT dT

T_fΔ S_{भंडार} = α \({T^2\over 2}\)

= \({\alpha \over 2}\)[\(T^2_f - T^2_i\)]

Δ S_कुल = α(Tf - Ti) + \(\frac{{\rm{\alpha }}}{{{\rm{2}}{{\rm{T}}_{\rm{f}}}}}\left( {{\rm{T}}_{\rm{f}}^{\rm{2}}{\rm{ - T}}_{\rm{i}}^{\rm{2}}} \right)\)

सही उत्तर विकल्प (4) है।