Condensed Matter Physics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Condensed Matter Physics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 28, 2025
Latest Condensed Matter Physics MCQ Objective Questions
Condensed Matter Physics Question 1:
N परस्पर अनक्रियाशील इलेक्ट्रॉन एक क्रिस्टल में गतिमान हैं जहाँ एक इलेक्ट्रॉन द्वारा देखा गया आयनिक विभव शर्त \(V(\vec{r}) = V(\vec{r} + \vec{R}), \quad \text{where } \vec{R}\) को संतुष्ट करता है, जहाँ \(\vec{R}\) जालक स्थानांतरण सदिशों में से एक है। इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा आइगेनस्टेट्स को \( (\psi_{\vec{k}}(\vec{r})\) के रूप में अंकित किया गया है जहाँ 𝑘⃗ प्रथम ब्रिलुइन क्षेत्र में एक सदिश है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Condensed Matter Physics Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
यदि विभव जालक स्थानान्तरण 𝑅 के साथ आवधिक है, अर्थात्, V(𝑉) = V(𝑉 + 𝑅), तो तरंग फलन का रूप है:
ψk(𝑉) = eik·𝑉 uk(𝑉)
जहाँ uk(𝑉) एक फलन है जिसमें जालक के समान आवर्तन है:
uk(𝑉) = uk(𝑉 + 𝑅)
-
|ψk(𝑉)| स्थिरांक है
गलत - क्योंकि uk(𝑉) स्थिति के साथ बदलता है, इसलिए ψk(𝑉) का मापांक स्थिरांक नहीं है। -
ψk(𝑉) संवेग संचालक का एक आइगेनस्टेट भी है
गलत - आवधिक मॉड्यूलेशन uk(𝑉) के कारण ψk संवेग संचालक का आइगेनस्टेट नहीं है। केवल एक समतल तरंग eik·𝑉 होगी। -
ψk(𝑉) = ψk(𝑉 + 𝑅)
गलत - यह सामान्यतः सत्य नहीं है। हालाँकि, ब्लोच के प्रमेय का तात्पर्य है:ψk(𝑉 + 𝑅) = eik·𝑅 ψk(𝑉)
-
|ψk(𝑉)| = |ψk(𝑉 + 𝑅)|
सही - ऊपर दिए गए गुण का उपयोग करके:|ψk(𝑉 + 𝑅)| = |eik·𝑅 ψk(𝑉)| = |ψk(𝑉)|
Condensed Matter Physics Question 2:
दो अलग-अलग ठोस नमूनों के लिए तापमान T पर लगाए गए चुंबकीय क्षेत्र H के फलन के रूप में चुंबकन M को नीचे दिखाया गया है। ये नमूने अपने संबंधित क्रांतिक तापमान (Tc) से नीचे अतिचालक के रूप में जाने जाते हैं।
कथनों का सही समूह है
Answer (Detailed Solution Below)
चित्र 2: Tc से नीचे और ऊपरी क्रांतिक क्षेत्र तक टाइप II अतिचालक;
Condensed Matter Physics Question 2 Detailed Solution
हल:
टाइप-I अतिचालक वे होते हैं जो पूर्ण मैस्नर प्रभाव दिखाते हैं, अर्थात् Hc (केवल एक क्रांतिक क्षेत्र) से ऊपर कोई चुंबकत्व नहीं।
टाइप-II अतिचालक वे होते हैं जो पूर्ण मैस्नर प्रभाव नहीं दिखाते हैं, लेकिन वे निचले क्रांतिक चुंबकीय क्षेत्र और ऊपरी क्रांतिक चुंबकीय क्षेत्र के बीच एक मिश्रित अवस्था/भंवर अवस्था प्रदर्शित करते हैं।
विकल्प-3 से पूर्णतः संतुष्ट हूं।
Condensed Matter Physics Question 3:
एकविमीय एकपरमाण्विक जालक शृंखला के लिए प्रकीर्णन संबंध समीकरण द्वारा दिया गया है, \(\rm \omega=\frac{2}{a}v, \left|\sin \left(\frac{ka}{2}\right)\right|\) जहाँ, 'a' परमाण्विक अंतराकाश \(\rm K=\frac{2\pi}{\lambda}\) है और v, वेग की विमा रखता है। लंबी तरंगदैर्घ्य सीमा में कला वेग VP और समूह वेग Vg के बीच संबंध दिया गया है:
Answer (Detailed Solution Below)
Condensed Matter Physics Question 3 Detailed Solution
दिया गया है:
एकविमीय एकपरमाण्विक जालक शृंखला के लिए प्रकीर्णन संबंध समीकरण द्वारा दिया गया है:
\( \omega = \frac{2}{a} v \left| \sin\left( \frac{k a}{2} \right) \right| \)
जहाँ: - a परमाण्विक अंतराकाश है, \(- k = \frac{2 \pi}{\lambda}\) तरंग सदिश है और - v वेग की विमा रखता है।
लंबी तरंगदैर्घ्य सीमा में कला वेग \(v_p\) और समूह वेग \(v_g\) के बीच संबंध दिया गया है।
अवधारणा:
- कला वेग \(v_p\) को \(v_p = \frac{\omega}{k}\) के रूप में परिभाषित किया गया है।
- समूह वेग \(v_g\) , k के सापेक्ष \( \omega\) का अवकलज है, अर्थात् \(v_g = \frac{d\omega}{dk}\)।
- लंबी तरंगदैर्घ्य सीमा में, जहाँ \(k \to 0 \) , दिए गए प्रकीर्णन संबंध के लिए कला वेग और समूह वेग समान हो जाते हैं।
गणना:
दिए गए प्रकीर्णन संबंध से:
\( \omega = \frac{2}{a} v \left| \sin\left( \frac{k a}{2} \right) \right| \)
छोटे k (लंबी तरंगदैर्घ्य सीमा) के लिए, \(\sin\left( \frac{k a}{2} \right) \approx \frac{k a}{2}\) , इसलिए प्रकीर्णन संबंध सरल हो जाता है:
\( \omega = v k \)
इसलिए, कला वेग है:
\( v_p = \frac{\omega}{k} = v \)
समूह वेग k के सापेक्ष \omega का अवकलज है:
\( v_g = \frac{d\omega}{dk} = v \)
∴ लंबी तरंगदैर्घ्य सीमा में, \(v_p = v_g\)।
∴ सही उत्तर विकल्प 1 अर्थात \(v_p = v_g\) है।
Condensed Matter Physics Question 4:
एक "1-mA डायोड" पर विचार करें, जिसमें लगभग 0.7 V का वोल्टता पात होता है जब इसके माध्यम से 1 mA की धारा प्रवाहित होती है। इस डायोड को 200 Ω के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में 1.0 V की बिजली आपूर्ति से जोड़ा गया है।
डायोड के माध्यम से प्रवाहित होने वाली धारा का अनुमान इसके व्यवहार के बारे में एक सरलीकृत धारणा का उपयोग करके लगाइए।
Answer (Detailed Solution Below)
Condensed Matter Physics Question 4 Detailed Solution
धारणाएँ:
- डायोड वोल्टता लगभग 0.7 V पर नियत रहता है, क्योंकि यह 1 mA प्रचालन बिंदु के करीब है।
प्रतिरोधक पर वोल्टता:
कुल आपूर्ति वोल्टता: 1.0 V
डायोड वोल्टता: 0.7 V
प्रतिरोधक पर वोल्टता (VR): \( V_R = 1.0 \, \text{V} - 0.7 \, \text{V} = 0.3 \, \text{V} \)
प्रतिरोधक (और डायोड) के माध्यम से धारा:
ओम के नियम का उपयोग करके: \( I = \frac{V_R}{R} = \frac{0.3 \, \text{V}}{200 \, \Omega} = 0.0015 \, \text{A} \)
धारा: I = 1.5 mA
अनुमानित डायोड धारा लगभग 1.5 mA है।
सही विकल्प 4) है।
Condensed Matter Physics Question 5:
एक p+-n डायोड पर विचार करें जहाँ p-क्षेत्र में डोपिंग सांद्रता n-क्षेत्र की तुलना में काफी अधिक है। इस विन्यास में, अग्रवर्ती धारा मुख्य रूप से जंक्शन के सिरों पर विवर अंतःक्षेपण से उत्पन्न होती है।
\( I = I_s \left(e^{V / V_T} - 1\right) \)
दिए गए मापदंडों के लिए, गणना करें:
- \(N_D = 5 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}\)
- \(D_p = 10 \, \text{cm}^2/\text{s}\)
- \(\tau_p = 0.1 \, \mu\text{s}\)
- \(A = 10^4 \, \mu\text{m}^2\)
- \(n_i = 1.5 \times 10^{10} \, \text{cm}^{-3}\)
- उत्क्रम संतृप्ति धारा (\( I_s\) )
- वोल्टता (V) जब \(I = 0.2 \, \text{mA}\)
I = 0.2 mA पर विसरण धारिता (\(C_d\) ) की गणना करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Condensed Matter Physics Question 5 Detailed Solution
अग्र धारा समीकरण का व्युत्पन्न:
एक p+-n डायोड में कुल धारा है:
\( I = I_p + I_n \)
एक p+-n डायोड में, छिद्र धारा Ip प्रमुख होती है। Ip के लिए व्यंजक है:
\( I_p = A \cdot q \cdot n_i^2 \cdot \left(\frac{D_p}{L_p N_D}\right) \cdot \left(e^{V / V_T} - 1\right) \)
यहाँ:
- q : इलेक्ट्रॉनिक आवेश
- Dp : छिद्रों का विसरण गुणांक
- \(L_p = \sqrt{D_p \cdot \tau_p}\) : छिद्र विसरण लंबाई
- \(V_T = k_B T / q\) : तापीय वोल्टता
सरलीकरण करने पर, हमें मिलता है:
\( I = I_s \cdot \left(e^{V / V_T} - 1\right) \)
जहाँ \(I_s\) , उत्क्रम संतृप्त धारा है:
\( I_s = A \cdot q \cdot n_i^2 \cdot \left(\frac{D_p}{L_p N_D}\right) \)
दिए गए मापदंडों का उपयोग करने पर:
\( I_s = 0.72 \times 10^{-15} \, \text{A} \)
जब I = 0.2 mA हो तो V की गणना करने पर:
\( V = V_T \cdot \ln\left(\frac{I}{I_s} + 1\right) = 0.6798 \, \text{V} \)
अतिरिक्त अल्पसंख्यक-वाहक आवेश (Qp) और विसरण धारिता (Cd):
\( Q_p = \tau_p \cdot I_p = 2 \times 10^{-11} \, \text{C} = 20 \, \text{pC} \)
\( C_d = \frac{dQ_p}{dV} \approx \frac{\tau_p \cdot I}{V_T} = 0.7752 \, \text{nF} \)
सही विकल्प 2) है।
Top Condensed Matter Physics MCQ Objective Questions
एक क्रिस्टल के लिए रिक्तिकाओं तथा अंतरकाशी दोषों का एक युग्म बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा ϕ मानें। यदि ऐसे दोषों के n युग्म बनतें हैं, तथा n << N,N', जहां N तथा N' क्रमशः जालक तथा अंतरकाशी स्थल संख्यायें हैं, तब n लगभग है
Answer (Detailed Solution Below)
Condensed Matter Physics Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
एन्ट्रॉपी S और ऊष्मागतिक प्रायिकता Ω के बीच संबंध है
→ S = k ln Ω
फ्रेंकेल दोष: एक फ्रेंकेल दोष क्रिस्टलीय ठोसों में एक प्रकार का बिंदु दोष है। यह दोष तब बनता है जब कोई परमाणु या छोटा आयन जालक में अपना स्थान छोड़ देता है, जिससे रिक्ति बनती है और पास के स्थान पर स्थित होकर अंतराकाशी बन जाता है।
फ्रेंकेल दोषों की ऊष्मागतिक प्रायिकता है
\( Ω = \frac{N!}{(N-n)! n!}\frac{N'!}{(N'-n)! n!}\)
जहाँ, N, N' और n क्रमशः जालक और अंतराकाशी स्थलों की कुल संख्या और दोषों की संख्या हैं।
'n' फ्रेंकेल दोष बनाने में मुक्त ऊर्जा में परिवर्तन
\( Δ G = nE - TΔ S\)
व्याख्या:
इस तरह के फ्रेंकेल दोषों की प्रायिकता
\( Ω = \frac{N!}{(N-n)! n!}\frac{N'!}{(N'-n)! n!}\)
इसलिए, एन्ट्रॉपी में परिवर्तन
⇒ ΔS = k ln Ω = \( k \ln \left( \frac{N!}{(N-n)! n!}\frac{N'!}{(N'-n)! n!} \right)\)
⇒ ΔS = k ln [ N ln N + N' ln N' - (N - n) - (N' - n)ln(N' - n) - 2n ln n ]
[ यहाँ हमने स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग किया है अर्थात् ln N! = N ln N - N ]
अब, n फ्रेंकेल दोष बनाने में मुक्त ऊर्जा में परिवर्तन
\(\begin{aligned} & ⇒ \Delta G=n \phi-T \Delta s \\ & \Rightarrow \Delta G=n \phi-T\left\{k \ln \left[N \ln N+N^{\prime} \ln N^{\prime}-(N-n)-\left(N^{\prime}-n\right) \ln \left(N^{\prime}-n\right)-2 n \ln n\right]\right\} \\ & \text { चूँकि, } \frac{\partial(\Delta G)}{\partial n}=0 \\ & \Rightarrow \frac{\partial(\Delta G)}{\partial n}=\phi-k T[0+0+\ln (N-n)+1-2 \ln n-2] \\ &\Rightarrow \phi-k T \ln \left[\frac{N-n\left(N^{\prime}-n\right)}{n^2}\right]=0 \end{aligned}\)
चूँकि, n <<< N, N'
\(⇒ N-n \cong N \\ ⇒ N^{\prime}-n \cong N^{\prime}\)
\(\begin{aligned} & \therefore \phi-k T \ln \left(\frac{N N^{\prime}}{n^2}\right)=0\\ & \Rightarrow \phi-k T \ln \left[\frac{\sqrt{N N^{\prime}}}{n}\right]^2=0 \\ & \Rightarrow \ln \left[\frac{\sqrt{N N^{\prime}}}{n}\right]=\frac{\phi}{2 k T} \\ & \Rightarrow n=\sqrt{N N^{\prime}} e^{\frac{-\phi}{2 k T}} \end{aligned}\)
इसलिए सही उत्तर विकल्प 1 है।
दो आयामों में बिना अन्योन्यक्रिया वाले बोसॉन की गैस का प्रकीर्णन संबंध E(k) = \(C \sqrt{|K|}\) है, जहाँ c एक धनात्मक स्थिरांक है। कम तापमान पर, विशिष्ट ऊष्मा की तापमान T पर प्रमुख निर्भरता है:
Answer (Detailed Solution Below)
Condensed Matter Physics Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा-
हम यहाँ प्रकीर्णन संबंध का उपयोग कर रहे हैं जो दिया गया है
- Ek =C√k यहाँ k तरंग संख्या है
- निम्न तापमान पर बोसॉन के लिए, E ∝ ks
- निम्न तापमान पर स्थिर आयतन पर एन्ट्रापी Cv ∝ Td/s
- s = ऊर्जा प्रकीर्णन संबंध में तरंग संख्या की घात और d = आयाम है
व्याख्या:
- Ek =C√k
- निम्न तापमान पर बोसॉन के लिए, E ∝ ks
- इसे दिए गए समीकरण के साथ मिलाएँ s=1/2
- निम्न तापमान पर Cv ∝ Td/s
- \(C_v = \frac{d \langle E \rangle}{dT} \propto \frac{d}{dT} (kT)^5 \propto T^4 \)
- यहाँ d आयाम = 2 (प्रश्न में दिया गया है)
- \(Cv ∝ T^{\frac{2} {1/2} } \)
- Cv∝ T4
इसलिए, सही उत्तर विकल्प (1) है।
ए.सी. (AC) जोसेफ़सन प्रभाव में, पतली विद्युत प्रतिरोधी पर्त से पृथक्कृत तथा वैद्युत विभवांतर ΔV पर रखे गए दो परमचालकों से होकर एक अतिचालकता धारा (supercurrent) बहती है। परिणामी अतिचालकता धारा (supercurrent) की कोणीय आवृत्ति है।
Answer (Detailed Solution Below)
Condensed Matter Physics Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
जोसेफसन संधि: एक बहुत पतली इन्सुलेटर पट्टी द्वारा पृथक दो अतिचालक एक जोसेफसन संधि बनाते हैं।
ए.सी. जोसेफसन प्रभाव: जब संधि के दो किनारों के बीच एक विभवांतर V लगाया जाता है, तो सुरंगीकरण धारा का दोलन कोणीय आवृत्ति ω = \(\frac{2eV}{h} \) के साथ होगा। इसे ए.सी. जोसेफसन प्रभाव कहा जाता है।
व्याख्या:
पतली इन्सुलेट परत के माध्यम से धारा घनत्व है
\(J = J_0 \sin \left[ \delta(0) -\frac{2e\Delta v}{h}t \right] = J_0\sin \left[ \delta(0) - ω t \right] \)
∴ अतिचालक धारा की कोणीय आवृत्ति है
⇒ \(ω = \frac{2e\Delta v}{h} \)
इसलिए सही उत्तर विकल्प 1 है।
जालक A में त्रि-विमीय समष्टि के निर्देशांकों (nx, ny, nz) वाले सब बिंदु समाहित हैं, जहां nx, ny तथा nz पूर्णांक हैं एवं nx + ny + nz विषम पूर्णांक हैं। एक अन्य जालक B में, nx + ny + nz सम पूर्णांक हैं। जालक A तथा B _________ हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Condensed Matter Physics Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
- दो जालक A और B अनिवार्य रूप से एक-दूसरे के स्थानांतरित संस्करण हैं। A को चेकरबोर्ड पैटर्न के रूप में सोचा जा सकता है जहाँ हम सभी काले वर्गों (जो सूचकांकों के विषम योग का प्रतिनिधित्व करते हैं) का चयन करते हैं, जबकि B वह जालक है जिसमें सभी सफेद वर्ग (जो सूचकांकों के सम योग का प्रतिनिधित्व करते हैं) होते हैं।
- तीन आयामी सेटिंग में, यदि आप जालक A को किसी भी दिशा में (x, y या z अक्ष के साथ) एक इकाई द्वारा स्थानांतरित (शिफ्ट) करते हैं, तो आपको जालक B के जालक बिंदु मिलेंगे।
- इसी प्रकार, यदि आप जालक B को एक इकाई द्वारा स्थानांतरित करते हैं तो आपको जालक A मिलेगा। इसलिए हम कह सकते हैं कि जालक A और B "द्वैत" या "फलक-केंद्रित" नामक संबंध में हैं जहाँ एक को दूसरे को एक इकाई द्वारा स्थानांतरित करके प्राप्त किया जा सकता है। यह अवधारणा अक्सर क्रिस्टल संरचनाओं में उपयोग की जाती है जहाँ परमाणु ऐसे जालक बिंदु के शीर्ष पर स्थित होते हैं।
तीन विमाओं में इलेक्ट्रॉन-परिक्षेपण संबंध ϵ(k) = ℏvFk है, जहां vF फर्मी वेग है। यदि कम तापमानों (T << TF) पर फर्मी ऊर्जा ϵF की संख्या घनत्व n पर निर्भरता ϵF (n) ~ nα के अनुसार है, तो α का मान _______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Condensed Matter Physics Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
\(ϵ(k) = ℏv_Fk\)
- यह इलेक्ट्रॉनों के लिए प्रकीर्णन संबंध है जहाँ \(v_F\) एक इलेक्ट्रॉन गैस में फर्मी स्तर के पास कणों की गति है। यह वास्तव में ग्राफीन या एक बहुत ही समान प्रणाली के साथ मामला है जहाँ हम एक रैखिक प्रकीर्णन संबंध का उपयोग कर रहे हैं।
- फर्मी तरंग संख्या \(k_F\) तक दिए गए k के साथ कणों (या इस मामले में इलेक्ट्रॉनों) की कुल संख्या तीन आयामों में \(n = ∫d³k = V{(4π/3)}{(k_F^3)}.\) के रूप में दर्शाई जा सकती है।
- चूँकि मूल प्रकीर्णन संबंध से \( k_F = \frac{ϵ_F}{(ℏv_F)}\): \(n ∝ (\frac{ϵ_F} {ℏv_F})^3.\)इस प्रकार, हम \(ϵ_F ∝ n^{(1/3)}\) पर पहुँचते हैं जो इंगित करता है कि \(α = \frac13.\)
एक कण इकाई जालक स्थिरांक वाले वर्ग जालक पर यादृच्छिक एक स्थान से एक चरण में समीपतम स्थान पर कूदता है। धनात्मक x-दिशा में कूदने की प्रायिकता 0.3 है, ऋणात्मक x - दिशा में 0.2, धनात्मक y-दिशा में 0.2 तथा ऋणात्मक y-दिशा में 0.3 है। यदि कण मूल बिंदु से आरंभ करे तो N चरणों के बाद इसकी माध्य स्थिति है
Answer (Detailed Solution Below)
Condensed Matter Physics Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
छलांग की प्रायिकता केवल स्थलों के बीच (मुक्त) ऊर्जा अवरोध की ऊँचाई में घातीय होती है।
गणना:
= 0.3i - 0.2i + 0.2j - 0.3j
= 0.1i - 0.1j
N पदों के लिए, = \({N \over 10}\)[i - j]
सही उत्तर विकल्प (2) है।
दोनों प्रकार के संवाहक वाले अर्धचालक का हॉल गुणांक है
RH = \(\frac{{pμ _p^2 - nμ _n^2}}{{\left| e \right|{{\left( {p{μ _p} + n{μ _n}} \right)}^2}}}\)
जहां p तथा n होल (hole) तथा इलेक्ट्रॉन के वाहक घनत्व हैं एवं μp तथा µn क्रम से उनकी गतिशीलता है। p-type अर्धचालक के लिए जिसमें होल (hole) गतिशीलता इलेकट्रॉन-गतिशीलता से कम है, निम्न में से कौन सा ग्राफ़ तापमान के साथ हॉल गुणांक के परिवर्तन को सबसे अच्छा दर्शाता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Condensed Matter Physics Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
हॉल गुणांक: हॉल प्रभाव में धातु पट्टी की प्रति इकाई चौड़ाई पर विभवांतर का भागफल, चुंबकीय तीव्रता और अनुदैर्ध्य धारा घनत्व के गुणनफल से विभाजित
दोनों प्रकार के वाहकों वाले अर्धचालक के लिए हॉल गुणांक दिया गया है
⇒ RH = \(\frac{{p\mu _p^2 - n\mu _n^2}}{{\left| e \right|{{\left( {p{\mu _p} + n{\mu _n}} \right)}^2}}}\)
जब तापमान कम होता है तो p (होलों की संख्या) n (इलेक्ट्रॉनों की संख्या) से अधिक होती है
तापमान में वृद्धि के साथ, होलों की संख्या घटती है, और इलेक्ट्रॉनों की संख्या बढ़ती है।
स्थिति I: कम तापमान पर: p >> n, μp < μn
⇒ pμp2 > nμn2
⇒ pμp2 - nμn2 > 0 ⇒ RH = धनात्मक.
स्थिति II: मध्यम तापमान पर: p > n
⇒ pμp2 ≈ nμn2 (चूँकि, μp < μn)
⇒ RH > 0
स्थिति III: उच्च तापमान पर: p/n ≈ 1
⇒ pμp2 - nμn2 < 0
⇒ RH < 0
केवल, विकल्प (4) उपरोक्त निष्कर्षों से मेल खाता है।
इसलिए सही उत्तर विकल्प 4 है।
Condensed Matter Physics Question 13:
चित्र में दिखाए गए इलेक्ट्रॉनिक घनत्व अवस्था फलन N(E) वाले एक नैज अर्धचालक पर विचार करें। कमरे के तापमान पर चालन बैंड इलेक्ट्रॉनों के घनत्व का अनुमान लगाए।
Answer (Detailed Solution Below)
Condensed Matter Physics Question 13 Detailed Solution
व्याख्या:
1. फर्मी स्तर की स्थिति:
\( f(E) \approx \exp\left(-\frac{E - E_F}{k_B T}\right) \)
\( E_F = \frac{\epsilon_C + \epsilon_V}{2} \)
- एक नैज अर्धचालक के लिए, चालन बैंड में इलेक्ट्रॉनों की संख्या (n) संयोजकता बैंड में छिद्रों की संख्या (p) के बराबर होती है।
- शर्त \( E - E_F \gg k_B T\) के तहत, फर्मी डायरेक वितरण सरल हो जाता है:
- n और p को बराबर करने से फर्मी स्तर ( \(E_F\) ) का पता चलता है:
- यहाँ, \(\epsilon_C\) चालन बैंड का निचला भाग है, और \(\epsilon_V\) संयोजकता बैंड का शीर्ष है।
इसलिए फर्मी स्तर बैंड अंतराल के मध्य बिंदु पर है।
2. फर्मी वितरण फलन:
\( f(E) = \frac{1}{\exp\left(\frac{E - E_F}{k_B T}\right) + 1} \)
- फर्मी डायरेक वितरण फलन (f(E)) एक ऊर्जा अवस्था E पर इलेक्ट्रॉन के प्राप्त करने की प्रायिकता का वर्णन करता है:
- यह मानते हुए कि N(E) में पहले से ही 2 का स्पिन अपभ्रंश कारक शामिल है, यह फलन सीधे लागू होता है।
3. चालन बैंड इलेक्ट्रॉनों का घनत्व:
\( n \approx n_0 k_B T \exp\left(-\frac{\epsilon_C - E_F}{k_B T}\right) \)
\( n \approx 2 \times 10^{21} \cdot \frac{1}{40} \cdot \exp\left(-\frac{0.75}{0.025}\right) \)
\( n \approx 4.68 \times 10^6 \, \text{cm}^{-3} \)
सही विकल्प 3) है।
Condensed Matter Physics Question 14:
प्रति आयन चुंबकीय आघूर्ण μ± = ±μB वाला अनुचुंबकीय लवण (जहां μB बोर मैग्नेटॉन है) एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र B में तापमान T पर तापीय साम्य में है। \(\frac{k_BT}{\mu_BB}\) के फलन के रूप में, माध्य चुंबकीय आघूर्ण 〈M〉 को सबसे अच्छी इस तरह निरूपित किया जा सकता है
Answer (Detailed Solution Below)
Condensed Matter Physics Question 14 Detailed Solution
व्याख्या:
- तापीय साम्यावस्था पर एक अनुचुम्बकीय निकाय के लिए, औसत चुम्बकीय आघूर्ण 〈M〉 को बोल्ट्ज़मान वितरण का उपयोग करके व्युत्पन्न किया जा सकता है। बोल्ट्ज़मान वितरण हमें बताता है कि किसी निकाय के किसी विशेष अवस्था में होने की प्रायिकता उस अवस्था की ऋणात्मक ऊर्जा के घातांक के समानुपाती होती है जिसे बोल्ट्ज़मान स्थिरांक (kB) और तापमान (T) के गुणनफल से विभाजित किया जाता है।
- चुम्बकीय क्षेत्र B की उपस्थिति में एक परमाणु या आयन का चुम्बकीय द्विध्रुवीय आघूर्ण μ की ऊर्जा -μB होती है। यदि प्रति आयन चुम्बकीय आघूर्ण (μ±) मान ±μB ले सकता है, तो दो अवस्थाओं की ऊर्जाएँ \( E± = ∓μ_BB\) हैं।
- ऊर्जा E± वाली अवस्था में होने की प्रायिकता बोल्ट्ज़मान गुणांक द्वारा दी जाती है: \( P_{± }= e^{(-E_{±/}kBT)} = e^{\frac{∓μ_BB}{k_BT}}\)
- फिर हम सभी संभावित अवस्थाओं की प्रायिकताओं के योग (विभाजन फलन Z) से विभाजित करके सामान्यीकृत करते हैं: \(P± = \frac{e^{∓\frac{μ_BB}{k_BT}}} { [e^{\frac{μ_BB}{k_BT}} + e^{\frac{-μ_BB}{k_BT}}]}\)
- यह हमें देता है: \(P_- = \frac{e^{\frac{μ_BB}{k_BT}}} { [e^{\frac{μ_BB}{k_BT}} + e^{\frac{-μ_BB}{k_BT}}]}\)
- \(P_+ = \frac{e^{-\frac{μ_BB}{k_BT}}} { [e^{\frac{μ_BB}{k_BT}} + e^{\frac{-μ_BB}{k_BT}}]}\)
- औसत चुम्बकीय आघूर्ण 〈M〉 प्रत्येक संभावित चुम्बकीय आघूर्ण का योग है जिसे इसके बोल्ट्ज़मान-भारित प्रायिकता से गुणा किया जाता है:
\(⟨M⟩ = μ_B × [P_+ - P_-]\)
\(⟨M⟩ = μ_B × [ \frac{e^{\frac{μ_BB}{k_BT}}} { [e^{\frac{μ_BB}{k_BT}} + e^{\frac{-μ_BB}{k_BT}}]}- \frac{e^{-\frac{μ_BB}{k_BT}}} { [e^{\frac{μ_BB}{k_BT}} + e^{\frac{-μ_BB}{k_BT}}]}]\)
सरल करने पर प्राप्त होता है: \(⟨M⟩ = μ_B \times \tanh(\frac{μ_BB}{k_BT})\)
अब, \(⟨M⟩ = μ_B \times \tanh({\frac{μ_BB}{k_BT}}) \)
\(⟨M⟩ = μ_B × \left( \frac{1-e^{-2\frac{\mu_BB}{ k_B T}}} { 1+e^{-2\frac{\mu_BB}{ k_B T}}}\right)\)
इसका निम्नलिखित व्यवहार है
जैसे T → 0 ,
जैसे T → ∞ ,
वक्र अतिपरवलयिक स्पर्शी का व्युत्क्रम होगा।
इसलिए, विकल्प (C) वक्र हल है।
Condensed Matter Physics Question 15:
एक क्रिस्टल के लिए रिक्तिकाओं तथा अंतरकाशी दोषों का एक युग्म बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा ϕ मानें। यदि ऐसे दोषों के n युग्म बनतें हैं, तथा n << N,N', जहां N तथा N' क्रमशः जालक तथा अंतरकाशी स्थल संख्यायें हैं, तब n लगभग है
Answer (Detailed Solution Below)
Condensed Matter Physics Question 15 Detailed Solution
संप्रत्यय:
एन्ट्रॉपी S और ऊष्मागतिक प्रायिकता Ω के बीच संबंध है
→ S = k ln Ω
फ्रेंकेल दोष: एक फ्रेंकेल दोष क्रिस्टलीय ठोसों में एक प्रकार का बिंदु दोष है। यह दोष तब बनता है जब कोई परमाणु या छोटा आयन जालक में अपना स्थान छोड़ देता है, जिससे रिक्ति बनती है और पास के स्थान पर स्थित होकर अंतराकाशी बन जाता है।
फ्रेंकेल दोषों की ऊष्मागतिक प्रायिकता है
\( Ω = \frac{N!}{(N-n)! n!}\frac{N'!}{(N'-n)! n!}\)
जहाँ, N, N' और n क्रमशः जालक और अंतराकाशी स्थलों की कुल संख्या और दोषों की संख्या हैं।
'n' फ्रेंकेल दोष बनाने में मुक्त ऊर्जा में परिवर्तन
\( Δ G = nE - TΔ S\)
व्याख्या:
इस तरह के फ्रेंकेल दोषों की प्रायिकता
\( Ω = \frac{N!}{(N-n)! n!}\frac{N'!}{(N'-n)! n!}\)
इसलिए, एन्ट्रॉपी में परिवर्तन
⇒ ΔS = k ln Ω = \( k \ln \left( \frac{N!}{(N-n)! n!}\frac{N'!}{(N'-n)! n!} \right)\)
⇒ ΔS = k ln [ N ln N + N' ln N' - (N - n) - (N' - n)ln(N' - n) - 2n ln n ]
[ यहाँ हमने स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग किया है अर्थात् ln N! = N ln N - N ]
अब, n फ्रेंकेल दोष बनाने में मुक्त ऊर्जा में परिवर्तन
\(\begin{aligned} & ⇒ \Delta G=n \phi-T \Delta s \\ & \Rightarrow \Delta G=n \phi-T\left\{k \ln \left[N \ln N+N^{\prime} \ln N^{\prime}-(N-n)-\left(N^{\prime}-n\right) \ln \left(N^{\prime}-n\right)-2 n \ln n\right]\right\} \\ & \text { चूँकि, } \frac{\partial(\Delta G)}{\partial n}=0 \\ & \Rightarrow \frac{\partial(\Delta G)}{\partial n}=\phi-k T[0+0+\ln (N-n)+1-2 \ln n-2] \\ &\Rightarrow \phi-k T \ln \left[\frac{N-n\left(N^{\prime}-n\right)}{n^2}\right]=0 \end{aligned}\)
चूँकि, n <<< N, N'
\(⇒ N-n \cong N \\ ⇒ N^{\prime}-n \cong N^{\prime}\)
\(\begin{aligned} & \therefore \phi-k T \ln \left(\frac{N N^{\prime}}{n^2}\right)=0\\ & \Rightarrow \phi-k T \ln \left[\frac{\sqrt{N N^{\prime}}}{n}\right]^2=0 \\ & \Rightarrow \ln \left[\frac{\sqrt{N N^{\prime}}}{n}\right]=\frac{\phi}{2 k T} \\ & \Rightarrow n=\sqrt{N N^{\prime}} e^{\frac{-\phi}{2 k T}} \end{aligned}\)
इसलिए सही उत्तर विकल्प 1 है।