एक क्रिस्टल के लिए रिक्तिकाओं तथा अंतराकाशी दोषों का एक युग्म बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा ϕ मानें। यदि ऐसे दोषों के n युग्म बनतें हैं, तथा n << N,N' है, जहाँ N तथा N' क्रमशः जालक तथा अंतरकाशी स्थल संख्यायें हैं, तब n लगभग है:

संप्रत्यय:

एन्ट्रॉपी S और ऊष्मागतिक प्रायिकता Ω के बीच संबंध है

​→ S = k ln Ω

फ्रेंकेल दोष: एक फ्रेंकेल दोष क्रिस्टलीय ठोसों में एक प्रकार का बिंदु दोष है। यह दोष तब बनता है जब कोई परमाणु या छोटा आयन जालक में अपना स्थान छोड़ देता है, जिससे रिक्ति बनती है और पास के स्थान पर स्थित होकर अंतराकाशी बन जाता है।

फ्रेंकेल दोषों की ऊष्मागतिक प्रायिकता निम्नवत है

\( Ω = \frac{N!}{(N-n)! n!}\frac{N'!}{(N'-n)! n!}\)

जहाँ, N, N' और n क्रमशः जालक और अंतराकाशी स्थलों की कुल संख्या और दोषों की संख्या हैं।

'n' फ्रेंकेल दोष बनाने में मुक्त ऊर्जा में परिवर्तन

\( Δ G = nE - TΔ S\)

व्याख्या:

इस तरह के फ्रेंकेल दोषों की प्रायिकता

\( Ω = \frac{N!}{(N-n)! n!}\frac{N'!}{(N'-n)! n!}\)

इसलिए, एन्ट्रॉपी में परिवर्तन

⇒ ΔS = k ln Ω = \( k \ln \left( \frac{N!}{(N-n)! n!}\frac{N'!}{(N'-n)! n!} \right)\)

⇒ ΔS = k ln [ N ln N + N' ln N' - (N - n) - (N' - n)ln(N' - n) - 2n ln n ]

[ यहाँ हमने स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग किया है अर्थात् ln N! = N ln N - N ]

अब, n फ्रेंकेल दोष बनाने में मुक्त ऊर्जा में परिवर्तन

\(\begin{aligned} & ⇒ \Delta G=n \phi-T \Delta s \\ & \Rightarrow \Delta G=n \phi-T\left\{k \ln \left[N \ln N+N^{\prime} \ln N^{\prime}-(N-n)-\left(N^{\prime}-n\right) \ln \left(N^{\prime}-n\right)-2 n \ln n\right]\right\} \\ & \text { Since, } \frac{\partial(\Delta G)}{\partial n}=0 \\ & \Rightarrow \frac{\partial(\Delta G)}{\partial n}=\phi-k T[0+0+\ln (N-n)+1-2 \ln n-2] \\ &\Rightarrow \phi-k T \ln \left[\frac{N-n\left(N^{\prime}-n\right)}{n^2}\right]=0 \end{aligned}\)

चूँकि, n <<< N, N'

\(⇒ N-n \cong N \\ ⇒ N^{\prime}-n \cong N^{\prime}\)

\(\begin{aligned} & \therefore \phi-k T \ln \left(\frac{N N^{\prime}}{n^2}\right)=0\\ & \Rightarrow \phi-k T \ln \left[\frac{\sqrt{N N^{\prime}}}{n}\right]^2=0 \\ & \Rightarrow \ln \left[\frac{\sqrt{N N^{\prime}}}{n}\right]=\frac{\phi}{2 k T} \\ & \Rightarrow n=\sqrt{N N^{\prime}} e^{\frac{-\phi}{2 k T}} \end{aligned}\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।