Countable and Uncountable Sets MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Countable and Uncountable Sets - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

किसी फलन \(f(x)\) के क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए हम \(f'(x)\) = 0 रखते हैं।

व्याख्या:

\(e^x + x = 1\)

हम \(x \) के वास्तविक मानों की ज्ञात करने का प्रयास कर रहे हैं जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। आइए इसे \(e^x = 1 - x\) के रूप में लिखते हैं।

वास्तविक हल ज्ञात करने के लिए, हमें उन बिंदुओं की जाँच करने की आवश्यकता है जहाँ ये दो फलन प्रतिच्छेद करते हैं, अर्थात्, जहाँ,

\(e^x = 1 - x\)

चूँकि \(x \to -\infty\) , \(e^x \to 0 \), और \(1 - x \to \infty \) है। 

इसलिए, इस क्षेत्र में कोई हल नहीं है।

बड़े धनात्मक \(x\) के लिए:

चूँकि \(x \to \infty\) , \( e^x \to \infty\) , और \(1 - x \to -\infty\)  है।

फिर से, इस क्षेत्र में कोई हल नहीं है।

\( x = 0\) के निकट जाँच करें:

\(x = 0 \) पर, \(e^0 + 0 = 1 \), जो समीकरण को संतुष्ट करता है।

इसलिए, \(x = 0 \) एक हल है।

हम फलन \( f(x) = e^x + x\) के व्यवहार की जाँच कर सकते हैं।

इस फलन का अवकलज \(f'(x) = e^x + 1 \) है।

चूँकि \(e^x + 1 > 0 \) सभी वास्तविक \(x\) के लिए है, फलन निरंतर वर्धमान है। इसलिए, यह केवल \( y = 1\) को एक बिंदु पर पार कर सकता है,

जिसका अर्थ है कि हल \(x = 0 \) एकमात्र वास्तविक हल है।

चूँकि केवल एक वास्तविक हल है, वास्तविक हलों के समुच्चय की गणनीयता 1 है।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 2) है।

संप्रत्यय:

1. घात समुच्चय: किसी समुच्चय S का घात समुच्चय, जिसे \( \mathcal{P}(S) \) से दर्शाया जाता है, S के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है।

यदि S में \(n\) अवयव हैं, तो \( \mathcal{P}(S) \) में \( 2^n \) अवयव होते हैं।

2. गणनीय अनंत समुच्चय: एक समुच्चय गणनीय अनंत होता है यदि इसके अवयवों को प्राकृत संख्याओं के साथ एक-से-एक संगति में रखा जा सकता है (अर्थात, इसका गणनीयता \(\mathbb{N} \) के समान है)।

3. अगणनीय अनंत समुच्चय: एक समुच्चय अगणनीय होता है यदि वह गणनीय अनंत नहीं है (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ \( \mathbb{R} \) )।

4. घात समुच्चय और गणनीयता: यदि घात समुच्चय \( \mathcal{P}(S) \) गणनीय अनंत है, तो S परिमित नहीं हो सकता।

यह इसलिए है क्योंकि किसी भी परिमित समुच्चय S के लिए, इसका घात समुच्चय \( \mathcal{P}(S) \) में \( 2^n \) अवयव होते हैं, जहाँ \(n\), \(S\) में अवयवों की संख्या है, और \( 2^n \) हमेशा परिमित होता है। इसके अतिरिक्त, यदि \(S\) अगणनीय अनंत है, तो इसका घात समुच्चय \( \mathcal{P}(S) \) अगणनीय अनंत होगा।

व्याख्या:

विकल्प 1: यह सत्य नहीं हो सकता क्योंकि यदि \(S\) परिमित है, तो इसका घात समुच्चय भी परिमित होगा, गणनीय अनंत नहीं।

विकल्प 2: यह असत्य विकल्प है क्योंकि यदि \(S\) कोई गणनीय अनंत समुच्चय है तो इसका घात समुच्चय अगणनीय होना चाहिए।

विकल्प 3: यह सत्य नहीं हो सकता क्योंकि यदि \(S\) अगणनीय होता, तो इसका घात समुच्चय भी अगणनीय होता है।

विकल्प 4: यह सत्य है, क्योंकि कोई भी गणनीय अनंत समुच्चय नहीं है जिसका घात समुच्चय गणनीय अनंत हो, इसलिए C रिक्त है।

सही विकल्प 4) है।

अवधारणा -

(i) कीलक - यदि कोई आव्यूह पंक्ति-सोपानक रूप में है, तो प्रत्येक पंक्ति की पहली शून्येतर प्रविष्टि को कीलक कहा जाता है, और जिन स्तंभों में कीलक आता है उन्हें कीलक स्तंभ कहा जाता है।

(ii) प्रत्येक अभाज्य संख्या Z के अभाज्य आदर्श जनित करती है।

(iii) C* में अपरिमित कोटि के चक्रीय उपसमूह की अगणनीय संख्या होती है।

स्पष्टीकरण -

विकल्प (i) के लिए -

माना आव्यूह \(A =\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

स्पष्टतः, आव्यूह के सभी स्तंभ में कीलक है।

अत: इस प्रकार के आव्यूह बनाने के विकल्प a, b और c के विकल्पों के बराबर हैं।

और आव्यूह वास्तविक आव्यूह है इसलिए ऐसे आव्यूहों का संग्रह अगणनीय है क्योंकि a, b और c के लिए विकल्प अगणनीय हैं।

अत: विकल्प (i) असत्य है।

विकल्प (ii) के लिए -

हम जानते हैं कि Z एक अपरिमित चक्रीय समूह है और इकाई 1 के साथ एक क्रमविनिमेय वलय भी है।

प्रत्येक अभाज्य संख्या Z के अभाज्य आदर्श जनित करती है।

Z के अभाज्य ​आदर्श (0),(2),(3),(5),... हैं, (0) को छोड़कर ये सभी अधिकतम हैं।

अत: अभाज्य संख्याएँ गणनीय अपरिमित हैं इसलिए यह समुच्चय अगणनीय नहीं है।

अतः विकल्प (ii) सत्य है।

विकल्प (iii) के लिए -

C*  शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं का एक अगणनीय कोटि वाला आबेली  समूह है और इसमें अपरिमित कोटि के चक्रीय उपसमूह की अगणनीय संख्या है।

अतः विकल्प (iii) और (iv) असत्य है।

स्पष्टीकरण -

कथन - I - वास्तविक आइगेन मानों वाले सभी 2 x 2 वास्तविक आव्यूह का समुच्चय

 \(A = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} : \ \ a,b,c \in \mathbb{R}\} \) पर विचार कीजिए

A के सभी आव्यूह वास्तविक आव्यूह हैं और A के आइगेन मान a और c हैं और दोनों वास्तविक संख्याएँ हैं।

अत:, a और c के लिए अगणनीय विकल्प हैं।

इसलिए, समुच्चय A अगणनीय है।

कथन - II - दूसरी स्तंभ वाले सभी 2 x 2 वास्तविक आव्यूह के संग्रह में कीलक सम्मलित होता है।

एक समुच्चय \(A = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} : \ \ a \ \ and \ \ b \in \mathbb{R}\} \) पर विचार कीजिए

स्पष्ट रूप से, समुच्चय A में सभी 2 x 2 आव्यूह सम्मलित हैं जिनमें दूसरी पंक्ति में कीलक है।

साथ ही, a और b के लिए विकल्प अगणनीय हैं क्योंकि \(a, b \in \mathbb{R}\)

अत:, समुच्चय A अगणनीय है।

इसलिए, I और II दोनों अगणनीय समुच्चय हैं।

संप्रत्यय-
एक समुच्चय A से समुच्चय B तक के सभी फलनों के समुच्चय की गणनीयता \(\left| B\right|^{\left| A\right|} .\) होती है।

व्याख्या-

ℝ से {0, 1} तक के सभी फलनों के समुच्चय की गणनीयता \(2^ C, \) है, जो अगणनीय है।

इसलिए, विकल्प (1) सही है।

\(\mathbb{C}\) से {0, 1} तक के सभी फलनों के समुच्चय की गणनीयता \(2^ {\aleph _o}=C,\) है, जो अगणनीय है।

इसलिए, विकल्प (2) सही है।

ℕ के सभी परिमित उपसमुच्चयों का समुच्चय सदैव गणनीय होता है।

इसलिए, विकल्प (3) गलत है।

\(\mathbb{N}\) के सभी उपसमुच्चयों के समुच्चय की गणनीयता \(2^ {\aleph _o}=C,\) है, जो अगणनीय है।

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

संप्रत्यय:

1. घात समुच्चय: किसी समुच्चय S का घात समुच्चय, जिसे \( \mathcal{P}(S) \) से दर्शाया जाता है, S के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है।

यदि S में \(n\) अवयव हैं, तो \( \mathcal{P}(S) \) में \( 2^n \) अवयव होते हैं।

2. गणनीय अनंत समुच्चय: एक समुच्चय गणनीय अनंत होता है यदि इसके अवयवों को प्राकृत संख्याओं के साथ एक-से-एक संगति में रखा जा सकता है (अर्थात, इसका गणनीयता \(\mathbb{N} \) के समान है)।

3. अगणनीय अनंत समुच्चय: एक समुच्चय अगणनीय होता है यदि वह गणनीय अनंत नहीं है (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ \( \mathbb{R} \) )।

4. घात समुच्चय और गणनीयता: यदि घात समुच्चय \( \mathcal{P}(S) \) गणनीय अनंत है, तो S परिमित नहीं हो सकता।

यह इसलिए है क्योंकि किसी भी परिमित समुच्चय S के लिए, इसका घात समुच्चय \( \mathcal{P}(S) \) में \( 2^n \) अवयव होते हैं, जहाँ \(n\), \(S\) में अवयवों की संख्या है, और \( 2^n \) हमेशा परिमित होता है। इसके अतिरिक्त, यदि \(S\) अगणनीय अनंत है, तो इसका घात समुच्चय \( \mathcal{P}(S) \) अगणनीय अनंत होगा।

व्याख्या:

विकल्प 1: यह सत्य नहीं हो सकता क्योंकि यदि \(S\) परिमित है, तो इसका घात समुच्चय भी परिमित होगा, गणनीय अनंत नहीं।

विकल्प 2: यह असत्य विकल्प है क्योंकि यदि \(S\) कोई गणनीय अनंत समुच्चय है तो इसका घात समुच्चय अगणनीय होना चाहिए।

विकल्प 3: यह सत्य नहीं हो सकता क्योंकि यदि \(S\) अगणनीय होता, तो इसका घात समुच्चय भी अगणनीय होता है।

विकल्प 4: यह सत्य है, क्योंकि कोई भी गणनीय अनंत समुच्चय नहीं है जिसका घात समुच्चय गणनीय अनंत हो, इसलिए C रिक्त है।

सही विकल्प 4) है।

अवधारणा:

एक फलन f : A → B एकैकी होता है यदि |A| = |B| जहाँ |A| A की गणनीयता है।

व्याख्या:

S एक अनंत समुच्चय है

(1): यदि S वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है अर्थात, S = \(\mathbb R\) तो |S| = C

और परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता = |\(\mathbb Q\)| = \(\aleph_0\)

चूँकि |S| ≠ |\(\mathbb Q\)| इसलिए S परिमेय संख्याओं के समुच्चय के साथ एकैकी नहीं है।

विकल्प (1) असत्य है

(2): यदि S पूर्णांकों का समुच्चय है तो |S| = \(\aleph_0\) और |\(\mathbb R\)| = C इसलिए |S| ≠ |\(\mathbb R\)|

इसलिए S वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के साथ एकैकी नहीं है।

विकल्प (2) असत्य है

(4): यदि S पूर्णांकों का समुच्चय है तो |S| = \(\aleph_0\)

इसलिए S के घात समुच्चय की गणनीयता = \(2^{\aleph_0}\) = C

अतः S, S के घात समुच्चय के साथ एकैकी नहीं है।

विकल्प (4) असत्य है

(3): यदि S = पूर्णांकों का समुच्चय है तो |S| = \(\aleph_0\) और S × S की गणनीयता = |S × S| = |\(\aleph_0\) x \(\aleph_0\)| = \(\aleph_0\)

इसी प्रकार किसी भी अनंत समुच्चय के लिए S की गणनीयता S × S की गणनीयता के समान होगी।

अतः S, S × S के साथ एकैकी है।

विकल्प (3) सही है।

संप्रत्यय:

किसी फलन \(f(x)\) के क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए हम \(f'(x)\) = 0 रखते हैं।

व्याख्या:

\(e^x + x = 1\)

हम \(x \) के वास्तविक मानों की ज्ञात करने का प्रयास कर रहे हैं जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। आइए इसे \(e^x = 1 - x\) के रूप में लिखते हैं।

वास्तविक हल ज्ञात करने के लिए, हमें उन बिंदुओं की जाँच करने की आवश्यकता है जहाँ ये दो फलन प्रतिच्छेद करते हैं, अर्थात्, जहाँ,

\(e^x = 1 - x\)

चूँकि \(x \to -\infty\) , \(e^x \to 0 \), और \(1 - x \to \infty \) है। 

इसलिए, इस क्षेत्र में कोई हल नहीं है।

बड़े धनात्मक \(x\) के लिए:

चूँकि \(x \to \infty\) , \( e^x \to \infty\) , और \(1 - x \to -\infty\)  है।

फिर से, इस क्षेत्र में कोई हल नहीं है।

\( x = 0\) के निकट जाँच करें:

\(x = 0 \) पर, \(e^0 + 0 = 1 \), जो समीकरण को संतुष्ट करता है।

इसलिए, \(x = 0 \) एक हल है।

हम फलन \( f(x) = e^x + x\) के व्यवहार की जाँच कर सकते हैं।

इस फलन का अवकलज \(f'(x) = e^x + 1 \) है।

चूँकि \(e^x + 1 > 0 \) सभी वास्तविक \(x\) के लिए है, फलन निरंतर वर्धमान है। इसलिए, यह केवल \( y = 1\) को एक बिंदु पर पार कर सकता है,

जिसका अर्थ है कि हल \(x = 0 \) एकमात्र वास्तविक हल है।

चूँकि केवल एक वास्तविक हल है, वास्तविक हलों के समुच्चय की गणनीयता 1 है।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 2) है।

अवधारणा:

एक समुच्चय गणनीय होता है यदि या तो वह परिमित हो या उसे प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के साथ एक-से-एक संगति में बनाया जा सके।

उदाहरण: समुच्चय { 1, 2, 3} परिमित है।

यह गणनीय है और सभी पूर्णांकों का समुच्चय Z गणनीय है क्योंकि हम प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के साथ एक-से-एक फलन को परिभाषित कर सकते हैं।

स्पष्टीकरण:

विकल्प 1: तर्कसंगत गुणांक वाले सभी बहुपदों का समुच्चय

हम जानते हैं कि सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q एक गणनीय समुच्चय है, क्योंकि हम प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के साथ एक-से-एक फलन परिभाषित कर सकते हैं।

इसलिए परिमेय गुणांकों वाले सभी बहुपदों का समुच्चय भी एक गणनीय समुच्चय है।

इसलिए विकल्प (1) सही है।

विकल्प 2: तर्कसंगत मूल वाले वास्तविक गुणांक वाले सभी बहुपदों का समुच्चय

हम जानते हैं कि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R एक अगणनीय समुच्चय है, क्योंकि हम प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के साथ एक-से-एक फलन परिभाषित नहीं कर सकते।

इसलिए, वास्तविक गुणांक वाले सभी बहुपदों का समुच्चय भी अगणनीय है।

इसलिए विकल्प (2) गलत है।

विकल्प 3: तर्कसंगत आइगेन मान वाले सभी 2 × 2 वास्तविक आव्यूहों का समुच्चय

हम जानते हैं कि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R एक अगणनीय समुच्चय है, क्योंकि हम प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के साथ एक-से-एक फलन परिभाषित नहीं कर सकते।

इसलिए, तर्कसंगत आइगेन मान वाले सभी 2 × 2 वास्तविक आव्यूहों का समुच्चय भी अगणनीय है।

इसलिए विकल्प (3) गलत है।

विकल्प 4: सभी वास्तविक आव्यूहों का सेट जिनके पंक्ति सोपानक रूप में तर्कसंगत प्रविष्टियाँ हैं।

जैसा कि हम जानते हैं, सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R अगणनीय है, क्योंकि हम प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के साथ एक-से-एक फलन को परिभाषित नहीं कर सकते हैं।

इसलिए, उन सभी वास्तविक आव्यूहों का समुच्चय जिनके पंक्ति सोपानक रूप में तर्कसंगत प्रविष्टियाँ हैं, भी अगणनीय है।

इसलिए विकल्प (4) गलत है।

दिया गया है:

चार विकल्प दिये गये हैं।

प्रयुक्त संकल्पना :

अगणनीय समुच्चय: ये समुच्चय जो न तो परिमित होते हैं और न ही प्रगणनीय होते हैं, अगणनीय या अप्रगणनीय समुच्चय कहलाता है।

प्रगणनीय समुच्चय: एक समुच्चय A को प्रगणनीय कहा जाता है यदि समुच्चय A और प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N के बीच एकैकी संगतता शामिल होती है।

हल:

विकल्प 1: A पूर्णांकों का एक समूह है।

पूर्णांकों का समुच्चय गणनीय है क्योंकि पूर्णांकों के समुच्चय और प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के बीच प्रतिचित्र पर एकैक शामिल होता है।

विकल्प 2: इकाई अंतराल [0, 1]

इकाई अंतराल अप्रगणनीय होता है क्योंकि इकाई अंतराल और प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के बीच कोई प्रतिचित्र शामिल नहीं होता'है। इसलिए यह अगणनीय है।

विकल्प 3: [0, 1] में परिमेय संख्याओं का समुच्चय

एक प्रतिचित्र f (n) = n /n +1 को हम परिमेय संख्याओं के समुच्चय के लिए परिभाषित कर सकते हैं तो प्रतिचित्र प्रगणनीय होता है क्योंकि यह आच्छादी होता है।

विकल्प 4: गणनीय समुच्चय का प्रत्येक उपसमुच्चय।

यह विकल्प गणनीयता की प्रथम प्रमेय से सत्य है। जो बताती है कि गणनीय समुच्चय का प्रत्येक उपसमुच्चय गणनीय होता है।

\(\therefore\)  विकल्प 2 सही है।

संप्रत्यय:

यदि फलनों के किसी समुच्चय की गणनता \(\aleph_0\) है, तो वह गणनीय है।

व्याख्या:

विकल्प: 1

\(f:Q \rightarrow Q\)

Q की गणनता फलन समुच्चय की गणनता \(\aleph_0^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}=c\) है, जो अगणनीय है।

विकल्प: 2

\(f : Q \rightarrow \) { \(0,1\)}

फलन समुच्चय की गणनता \(2^{\aleph_0}=c\) है, जो अगणनीय है।

विकल्प: 3

माना S = {f | f:\(\mathbb Q\) → {0, 1} जहाँ f(x) = 0 ∀ x ∈ A^c, जहाँ A परिमित है।}

अब प्रत्येक f की गणनता 2^|A| है जहाँ |A|, A की गणनता है जो गणनीय है।

इसलिए S की गणनता गणनीय x गणनीय = गणनीय है।

इसलिए विकल्प (3) सही है।

विकल्प: 4

N के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय \(2^N\) \(\implies \) \(2^(\aleph_0)\) \(=c\) है जो अगणनीय है।

उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा -

(i) कीलक - यदि कोई आव्यूह पंक्ति-सोपानक रूप में है, तो प्रत्येक पंक्ति की पहली शून्येतर प्रविष्टि को कीलक कहा जाता है, और जिन स्तंभों में कीलक आता है उन्हें कीलक स्तंभ कहा जाता है।

(ii) प्रत्येक अभाज्य संख्या Z के अभाज्य आदर्श जनित करती है।

(iii) C* में अपरिमित कोटि के चक्रीय उपसमूह की अगणनीय संख्या होती है।

स्पष्टीकरण -

विकल्प (i) के लिए -

माना आव्यूह \(A =\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

स्पष्टतः, आव्यूह के सभी स्तंभ में कीलक है।

अत: इस प्रकार के आव्यूह बनाने के विकल्प a, b और c के विकल्पों के बराबर हैं।

और आव्यूह वास्तविक आव्यूह है इसलिए ऐसे आव्यूहों का संग्रह अगणनीय है क्योंकि a, b और c के लिए विकल्प अगणनीय हैं।

अत: विकल्प (i) असत्य है।

विकल्प (ii) के लिए -

हम जानते हैं कि Z एक अपरिमित चक्रीय समूह है और इकाई 1 के साथ एक क्रमविनिमेय वलय भी है।

प्रत्येक अभाज्य संख्या Z के अभाज्य आदर्श जनित करती है।

Z के अभाज्य ​आदर्श (0),(2),(3),(5),... हैं, (0) को छोड़कर ये सभी अधिकतम हैं।

अत: अभाज्य संख्याएँ गणनीय अपरिमित हैं इसलिए यह समुच्चय अगणनीय नहीं है।

अतः विकल्प (ii) सत्य है।

विकल्प (iii) के लिए -

C*  शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं का एक अगणनीय कोटि वाला आबेली  समूह है और इसमें अपरिमित कोटि के चक्रीय उपसमूह की अगणनीय संख्या है।

अतः विकल्प (iii) और (iv) असत्य है।

दिया गया है:

सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय। 

प्रयुक्त संकल्पना:

एक समुच्चय को गणनीय माना जाता है यदि एक एकैकी फलन का अस्तित्व समुच्चय से प्राकृत संख्याओं तक होता है और अन्यथा अगणनीय रूप से होता है।

गणना:सभी प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को पूर्णांकों के समुच्चय के एक उपसमुच्चय के साथ एक-से-एक संगतता में रखा जा सकता है, इसलिए यह एक गणनीय समुच्चय है।

इसलिए, उत्तर (A) गणनीय है।

संप्रत्यय:

1. घात समुच्चय: किसी समुच्चय S का घात समुच्चय, जिसे \( \mathcal{P}(S) \) से दर्शाया जाता है, S के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है।

यदि S में \(n\) अवयव हैं, तो \( \mathcal{P}(S) \) में \( 2^n \) अवयव होते हैं।

2. गणनीय अनंत समुच्चय: एक समुच्चय गणनीय अनंत होता है यदि इसके अवयवों को प्राकृत संख्याओं के साथ एक-से-एक संगति में रखा जा सकता है (अर्थात, इसका गणनीयता \(\mathbb{N} \) के समान है)।

3. अगणनीय अनंत समुच्चय: एक समुच्चय अगणनीय होता है यदि वह गणनीय अनंत नहीं है (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ \( \mathbb{R} \) )।

4. घात समुच्चय और गणनीयता: यदि घात समुच्चय \( \mathcal{P}(S) \) गणनीय अनंत है, तो S परिमित नहीं हो सकता।

यह इसलिए है क्योंकि किसी भी परिमित समुच्चय S के लिए, इसका घात समुच्चय \( \mathcal{P}(S) \) में \( 2^n \) अवयव होते हैं, जहाँ \(n\), \(S\) में अवयवों की संख्या है, और \( 2^n \) हमेशा परिमित होता है। इसके अतिरिक्त, यदि \(S\) अगणनीय अनंत है, तो इसका घात समुच्चय \( \mathcal{P}(S) \) अगणनीय अनंत होगा।

व्याख्या:

विकल्प 1: यह सत्य नहीं हो सकता क्योंकि यदि \(S\) परिमित है, तो इसका घात समुच्चय भी परिमित होगा, गणनीय अनंत नहीं।

विकल्प 2: यह असत्य विकल्प है क्योंकि यदि \(S\) कोई गणनीय अनंत समुच्चय है तो इसका घात समुच्चय अगणनीय होना चाहिए।

विकल्प 3: यह सत्य नहीं हो सकता क्योंकि यदि \(S\) अगणनीय होता, तो इसका घात समुच्चय भी अगणनीय होता है।

विकल्प 4: यह सत्य है, क्योंकि कोई भी गणनीय अनंत समुच्चय नहीं है जिसका घात समुच्चय गणनीय अनंत हो, इसलिए C रिक्त है।

सही विकल्प 4) है।

स्पष्टीकरण -

कथन - I - वास्तविक आइगेन मानों वाले सभी 2 x 2 वास्तविक आव्यूह का समुच्चय

 \(A = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} : \ \ a,b,c \in \mathbb{R}\} \) पर विचार कीजिए

A के सभी आव्यूह वास्तविक आव्यूह हैं और A के आइगेन मान a और c हैं और दोनों वास्तविक संख्याएँ हैं।

अत:, a और c के लिए अगणनीय विकल्प हैं।

इसलिए, समुच्चय A अगणनीय है।

कथन - II - दूसरी स्तंभ वाले सभी 2 x 2 वास्तविक आव्यूह के संग्रह में कीलक सम्मलित होता है।

एक समुच्चय \(A = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} : \ \ a \ \ and \ \ b \in \mathbb{R}\} \) पर विचार कीजिए

स्पष्ट रूप से, समुच्चय A में सभी 2 x 2 आव्यूह सम्मलित हैं जिनमें दूसरी पंक्ति में कीलक है।

साथ ही, a और b के लिए विकल्प अगणनीय हैं क्योंकि \(a, b \in \mathbb{R}\)

अत:, समुच्चय A अगणनीय है।

इसलिए, I और II दोनों अगणनीय समुच्चय हैं।