Compactness & Connectedness MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Compactness & Connectedness - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest Compactness & Connectedness MCQ Objective Questions
Compactness & Connectedness Question 1:
समुच्चय {(x, y) ∈ IR2 ; x2 + y2 ≤ 16} है:
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 1 Detailed Solution
संकल्पना:
(i) एक समुच्चय को बंद माना जाता है यदि इसमें इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं।
(ii) समुच्चय जुड़ा हुआ है यदि डिस्क के भीतर या सीमा पर किन्हीं दो बिंदुओं को पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित एक सतत वक्र द्वारा जोड़ा जा सकता है।
(iii) समुच्चय उत्तल है यदि डिस्क के भीतर या सीमा पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला कोई रेखा खंड पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित है।
स्पष्टीकरण:
बंद: समुच्चय {(x, y) ∈ IR2 ; x2 + y2 ≤ 16} मूल बिंदु पर केंद्र त्रिज्या 4 के साथ एक बंद डिस्क को दर्शाते हैं। चूँकि समुच्चय में इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं, इसलिए यह बंद है।
संयोजित: समुच्चय संयोजित है क्योंकि डिस्क के भीतर या सीमा पर किन्हीं दो बिंदुओं को पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित एक सतत वक्र द्वारा जोड़ा जा सकता है। समुच्चय एक एकल संयोजित घटक बनाता है।
उत्तल: समुच्चय उत्तल है क्योंकि डिस्क के भीतर या सीमा पर दो बिंदुओं को संयोजित करने वाला कोई भी रेखा खंड पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित है।
Compactness & Connectedness Question 2:
मान लीजिये
\(\rm X_1=\left\{\left(x, \sin \frac{1}{x}\right): 0
X2 = [0,1] x {0}
X3 = {(0,1)} तब
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
X1 ∪ X2 ∪ X3 एक संयोजित समुच्चय है
X1 ∪ X2 ∪ X3 पथ-संयोजित नहीं है लेकिन X1 ∪ X2 पथ-संयोजित है।
(1), (3) सही हैं
Compactness & Connectedness Question 3:
निम्नलिखित कथनों (S1) पर विचार करें: दूरीक समष्टि X के प्रत्येक संयोजित उपसमुच्चय Y के लिए, इसका आंतरिक भाग Y° संयोजित होता है।
(S2) दूरीक समष्टि X के प्रत्येक संयोजित उपसमुच्चय Y के लिए, इसकी परिसीमा ∂Y संयोजित होती है।
सही विकल्प चुनें।
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
S1 के लिए X = \(\mathbb R^2\) और Y = {(x, y): (x + 1)2 + y2 ≤ 1} ∪ {(x, y): (x - 1)2 + y2 ≤ 1} लेने पर,
यहाँ Y पथ संयोजित है और इसलिए \(\mathbb R^2\) का संयोजित उपसमुच्चय है।
अब, Y∘ = {(x, y): (x + 1)2 + y2 < 1} ∪ {(x, y): (x - 1)2 + y2 < 1}
इसलिए Y∘ संयोजित नहीं है।
S1 असत्य है।
S2 के लिए X = \(\mathbb R\) और Y = (0, 2) लेने पर,
तब ∂Y = Y की परिसीमा = {0, 2}
यहाँ \(\mathbb R\) का संयोजित उपसमुच्चय है लेकिन ∂Y संयोजित नहीं है।
S2 असत्य है।
(2), (4) सही हैं। .
Compactness & Connectedness Question 4:
यदि किसी समुच्चय S के प्रत्येक खुले आवरक में S का एक परिमित उपावरण निहित होता है, तो S को ______________ कहा जाता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
संहत समुच्चय: एक समुच्चय संहत तब होता है, यदि समष्टि के प्रत्येक खुले आवरक
में एक परिमित उपावरण होता है।
परिमित समुच्चय: किसी समुच्चय को परिमित समुच्चय कहा जाता है, यदि उसमें तत्वों की संख्या परिमित होती है।
तुल्यांक समुच्चय: तुल्यांक समुच्चय वे समुच्चय होते हैं, जिनमें तत्वों की संख्या समान होती है, हालाँकि तत्व स्वयं भिन्न हो सकते हैं।
रिक्त समुच्चय: किसी समुच्चय को रिक्त समुच्चय कहा जाता है, यदि उसमें कोई तत्व न हो।
इसलिए यदि किसी समुच्चय S के प्रत्येक खुले आवरक में S का एक उपावरण निहित होता है, तो S को संहत समुच्चय कहा जाता है
अतः (1) सही है।
Compactness & Connectedness Question 5:
यदि X ⊂ ℝ को ℝ का अनंत, गणनीय, परिबद्ध उपसमुच्चय मानें तो निम्नमें से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 5 Detailed Solution
संप्रत्यय का उपयोग:
सांत समुच्चय: वह समुच्चय जिसमें उसके प्रत्येक सीमा बिंदु सम्मिलित होते हैं
आंतरिक बिंदु: बिंदु x0 को समुच्चय का आंतरिक बिंदु कहा जाता है यदि x0 का एक पड़ोस (x0 - e, x0 + e) समुच्चय में स्थित है।
संहत समुच्चय: वह समुच्चय जो संवृत और परिबद्ध दोनों है।
परिबद्ध समुच्चय: वह समुच्चय जिसमें निम्न परिबंध और उच्च परिबंध दोनों होते हैं।
व्याख्या:
विकल्प 1) मान लीजिये X = { \(\frac{1}{n} : n \in N\) } \(\cup \) {0}
यह R पर परिबद्ध और संवृत है
विकल्प 1 गलत है।
विकल्प 2 ) मान लीजिये a, X का कोई आंतरिक बिंदु है \(\exists\) \(\delta > 0 , (a- \delta, a+ \delta ) \subset X \) तब खुला अंतराल अगणनीय रूप से कई अवयवों को समाहित करता है
विकल्प 2 गलत है।
विकल्प 3 ) उपरोक्त उदाहरण (विकल्प 1) से, X संवृत हो सकता है
विकल्प 3 सही है।
विकल्प 4 ) मान लीजिये X = \(Q \cap [0,1]\) X का संवृत [0,1] है जो अगणनीय नहीं है
विकल्प 4 गलत है।
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।
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Compactness & Connectedness Question 6:
यदि X ⊂ ℝ को ℝ का अनंत, गणनीय, परिबद्ध उपसमुच्चय मानें तो निम्नमें से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 6 Detailed Solution
संप्रत्यय का उपयोग:
सांत समुच्चय: वह समुच्चय जिसमें उसके प्रत्येक सीमा बिंदु सम्मिलित होते हैं
आंतरिक बिंदु: बिंदु x0 को समुच्चय का आंतरिक बिंदु कहा जाता है यदि x0 का एक पड़ोस (x0 - e, x0 + e) समुच्चय में स्थित है।
संहत समुच्चय: वह समुच्चय जो संवृत और परिबद्ध दोनों है।
परिबद्ध समुच्चय: वह समुच्चय जिसमें निम्न परिबंध और उच्च परिबंध दोनों होते हैं।
व्याख्या:
विकल्प 1) मान लीजिये X = { \(\frac{1}{n} : n \in N\) } \(\cup \) {0}
यह R पर परिबद्ध और संवृत है
विकल्प 1 गलत है।
विकल्प 2 ) मान लीजिये a, X का कोई आंतरिक बिंदु है \(\exists\) \(\delta > 0 , (a- \delta, a+ \delta ) \subset X \) तब खुला अंतराल अगणनीय रूप से कई अवयवों को समाहित करता है
विकल्प 2 गलत है।
विकल्प 3 ) उपरोक्त उदाहरण (विकल्प 1) से, X संवृत हो सकता है
विकल्प 3 सही है।
विकल्प 4 ) मान लीजिये X = \(Q \cap [0,1]\) X का संवृत [0,1] है जो अगणनीय नहीं है
विकल्प 4 गलत है।
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।
Compactness & Connectedness Question 7:
माना कि A और B, \(\mathbb{R}\) के दो अरिक्त उपसमुच्चय हैं तथा C = A ∩ B, तब निम्नलिखित में से कौन सा प्रतिबंध सूचित करता है कि C रिक्त है?
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 7 Detailed Solution
Compactness & Connectedness Question 8:
निम्न में से किस के लिए कोई संतत तथा आच्छादी फलन f : X → Y होता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 8 Detailed Solution
(1) परिभाषित करें, f : (0, 1) → (0, 1] इस प्रकार कि
\(\rm f(x)=\left\{\begin{matrix}3x&0\le x<\frac{1}{3}\\\ 1&\frac{1}{3}\le x<1\end{matrix}\right.\)
तब f(0, 1) = (0, 1]
इसलिए, (0, 1) → (0, 1] से एक सतत फलन और आच्छादक फलन मौजूद है।
विकल्प (1) सही है।
(2) स्मरण करें: एक सतत फलन संहत समुच्चय को संहत समुच्चय में प्रतिचित्रित करता है।
अब, क्योंकि X = [0, 1] संहत है।
इसलिए, f[0, 1] भी संहत है।
लेकिन y = (0, 1] जो संहत नहीं है।
∴ \(\nexists\) [0, 1] → (0, 1] से कोई सतत आच्छादक फलन नहीं है।
विकल्प (2) गलत है।
स्मरण करें: f(x) = tan x, (-π/2, π/2) → R से एक आच्छादक सतत फलन है। h(x) = \(\rm \left(x-\frac{1}{2}\right)π\) लेते हैं, h: (0, 1) → (-π/2, π/2) तब h आच्छादक और सतत है।
अब, g(x): (0, 1) → ℝ इस प्रकार परिभाषित करें
f(h(x)) = g(x) = \(\rm \tan\left(\left(x-\frac{1}{2}\right)\pi\right)\Rightarrow \left(\begin{matrix}g(0)=-\infty\\\ g(1)=\infty\end{matrix}\right)\)
तब g(x) एक सतत और आच्छादक फलन है।
∴ (0, 1) से R तक एक सतत और आच्छादक फलन मौजूद है।
विकल्प (3) सही है।
(4) स्मरण करें: एक सतत फलन संयोजित समुच्चय को संयोजित समुच्चय में प्रतिचित्रित करता है।
यहाँ, X = (0, 2) एक संयोजित समुच्चय है।
यदि f(x) सतत है तो f(0, 2) भी संयोजित है।
यदि f(x) आच्छादक है तो f[(0, 2)] = {0, 1} संयोजित है।
लेकिन {0, 1} संयोजित नहीं है।
स्मरण करें: R के केवल संयोजित उपसमुच्चय अंतराल होते हैं।
∴ \(\nexists\) (0, 2) → {0, 1} से कोई सतत आच्छादक फलन नहीं है।
विकल्प (4) गलत है।
Compactness & Connectedness Question 9:
निम्नलिखित कथनों (S1) पर विचार करें: दूरीक समष्टि X के प्रत्येक संयोजित उपसमुच्चय Y के लिए, इसका आंतरिक भाग Y° संयोजित होता है।
(S2) दूरीक समष्टि X के प्रत्येक संयोजित उपसमुच्चय Y के लिए, इसकी परिसीमा ∂Y संयोजित होती है।
सही विकल्प चुनें।
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 9 Detailed Solution
व्याख्या:
S1 के लिए X = \(\mathbb R^2\) और Y = {(x, y): (x + 1)2 + y2 ≤ 1} ∪ {(x, y): (x - 1)2 + y2 ≤ 1} लेने पर,
यहाँ Y पथ संयोजित है और इसलिए \(\mathbb R^2\) का संयोजित उपसमुच्चय है।
अब, Y∘ = {(x, y): (x + 1)2 + y2 < 1} ∪ {(x, y): (x - 1)2 + y2 < 1}
इसलिए Y∘ संयोजित नहीं है।
S1 असत्य है।
S2 के लिए X = \(\mathbb R\) और Y = (0, 2) लेने पर,
तब ∂Y = Y की परिसीमा = {0, 2}
यहाँ \(\mathbb R\) का संयोजित उपसमुच्चय है लेकिन ∂Y संयोजित नहीं है।
S2 असत्य है।
(2), (4) सही हैं। .
Compactness & Connectedness Question 10:
मान लीजिये
\(\rm X_1=\left\{\left(x, \sin \frac{1}{x}\right): 0
X2 = [0,1] x {0}
X3 = {(0,1)} तब
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 10 Detailed Solution
व्याख्या:
X1 ∪ X2 ∪ X3 एक संयोजित समुच्चय है
X1 ∪ X2 ∪ X3 पथ-संयोजित नहीं है लेकिन X1 ∪ X2 पथ-संयोजित है।
(1), (3) सही हैं
Compactness & Connectedness Question 11:
यदि किसी समुच्चय S के प्रत्येक खुले आवरक में S का एक परिमित उपावरण निहित होता है, तो S को ______________ कहा जाता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 11 Detailed Solution
व्याख्या:
संहत समुच्चय: एक समुच्चय संहत तब होता है, यदि समष्टि के प्रत्येक खुले आवरक
में एक परिमित उपावरण होता है।
परिमित समुच्चय: किसी समुच्चय को परिमित समुच्चय कहा जाता है, यदि उसमें तत्वों की संख्या परिमित होती है।
तुल्यांक समुच्चय: तुल्यांक समुच्चय वे समुच्चय होते हैं, जिनमें तत्वों की संख्या समान होती है, हालाँकि तत्व स्वयं भिन्न हो सकते हैं।
रिक्त समुच्चय: किसी समुच्चय को रिक्त समुच्चय कहा जाता है, यदि उसमें कोई तत्व न हो।
इसलिए यदि किसी समुच्चय S के प्रत्येक खुले आवरक में S का एक उपावरण निहित होता है, तो S को संहत समुच्चय कहा जाता है
अतः (1) सही है।
Compactness & Connectedness Question 12:
मानें f ∶ [0, 1] → (0, 1) एक फलन है। निम्न में से कौन से कथन असत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 12 Detailed Solution
Compactness & Connectedness Question 13:
समुच्चय {(x, y) ∈ IR2 ; x2 + y2 ≤ 16} है:
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 13 Detailed Solution
संकल्पना:
(i) एक समुच्चय को बंद माना जाता है यदि इसमें इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं।
(ii) समुच्चय जुड़ा हुआ है यदि डिस्क के भीतर या सीमा पर किन्हीं दो बिंदुओं को पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित एक सतत वक्र द्वारा जोड़ा जा सकता है।
(iii) समुच्चय उत्तल है यदि डिस्क के भीतर या सीमा पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला कोई रेखा खंड पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित है।
स्पष्टीकरण:
बंद: समुच्चय {(x, y) ∈ IR2 ; x2 + y2 ≤ 16} मूल बिंदु पर केंद्र त्रिज्या 4 के साथ एक बंद डिस्क को दर्शाते हैं। चूँकि समुच्चय में इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं, इसलिए यह बंद है।
संयोजित: समुच्चय संयोजित है क्योंकि डिस्क के भीतर या सीमा पर किन्हीं दो बिंदुओं को पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित एक सतत वक्र द्वारा जोड़ा जा सकता है। समुच्चय एक एकल संयोजित घटक बनाता है।
उत्तल: समुच्चय उत्तल है क्योंकि डिस्क के भीतर या सीमा पर दो बिंदुओं को संयोजित करने वाला कोई भी रेखा खंड पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित है।