Directional Derivative, Partial Derivative MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Directional Derivative, Partial Derivative - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

व्युत्क्रम फलन प्रमेय;

मान लीजिए \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \) एक संतत अवकलनीय फलन है। यदि किसी बिंदु \(a \in \mathbb{R}^n \) पर जैकोबी आव्यूह \(Df(a)\) व्युत्क्रमणीय है (अर्थात, इसका सारणिक शून्येतर है), तो \(a\) का एक खुला प्रतिवेश U और \( f(a)\) का एक खुला प्रतिवेश V का अस्तित्व इस प्रकार है कि \(f: U \to V\) एक अवतद्वत्ता है, जिसका अर्थ है कि f एकैकी है, और f और इसका व्युत्क्रम \(f^{-1} \) दोनों सतत अवकलनीय हैं।

व्याख्या:

यह दिया गया है कि \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\) एक अवकलनीय फलन है जहाँ \(\text{rank}(Df)(0,0) = 2 \) है, फलन का मूलबिंदु पर एक अनिर्धारित अवकल है। इसका तात्पर्य है कि (0,0) पर f का जैकोबी आव्यूह पूर्ण कोटि का है, जिसका अर्थ है कि (0,0) के निकट f का प्रतिबिम्ब स्थानीय रूप से \(\mathbb{R}^3 \) में एक अंतःस्थापित पृष्ठ है।

विकल्प 1: यह कथन सत्य है। यह दिया गया है कि अवकल Df का (0,0) पर पूर्ण कोटि 2 है, इसका तात्पर्य व्युत्क्रम फलन प्रमेय के कारण स्थानीय एकैकीता से है। इसलिए, (0,0) के एक प्रतिवेश में, f एकैकी है।

विकल्प 2: यह असत्य है। कोटि प्रतिबंध इंगित करता है कि \(f_1\) और \(f_2\) स्थानीय रूप से प्रतिचित्रित को निर्धारित करते हैं, लेकिन यह आवश्यक रूप से यह निहित नहीं करता है कि \(f_3 \), \(f_1\) और \(f_2\) का एक फलन है। इस प्रकार, ऐसी कोई गारंटी नहीं है।

विकल्प 3: यह असत्य है। कोटि प्रमेय द्वारा, f का प्रतिबिम्ब \(\mathbb{R}^3\) में एक 2-आयामी फलन है, न कि \(\mathbb{R}^3\) का एक खुला उपसमुच्चय।

मानचित्र f स्थानीय रूप से एकैकी है लेकिन प्रतिबिम्ब \(\mathbb{R}^3\) के एक खुले उपसमुच्चय को शामिल नहीं कर सकता है।

विकल्प 4: यह कथन सत्य है। चूँकि (0,0) पर Df की पूर्ण कोटि है, इसलिए f, (0,0) के निकट एक स्थानीय विवर्तन की तरह व्यवहार करता है, जिसका अर्थ है कि (0,0), f(0,0) का एक वियुक्त पूर्व प्रतिबिम्ब है।

सही विकल्प विकल्प 1) और विकल्प 4) हैं।

स्पष्टीकरण:

हमें निम्न फलन दिया गया है:

⇒ \(\phi = y^2\)

⇒ \( \nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)\)

⇒ चूँकि \(\phi = y^2 \),

हम आंशिक अवकलज की गणना करते हैं,}

⇒  x, y, z के सापेक्ष आंशिक अवकलज 

⇒ \(\frac{\partial \phi}{\partial x} = 0\) , \(\frac{\partial \phi}{\partial y} = 2y\) , \( \frac{\partial \phi}{\partial z} = 0\)

इस प्रकार, प्रवणता है:

⇒ \(\nabla \phi = (0, 2y, 0)\) = \(2y\hat{j}\)

⇒ \(\nabla \phi (1,1,1) = (0, 2(1), 0) = (0,2,0)\) = \(2\hat{j}\)

A-III

\( \phi = x \)

⇒ \(\nabla \phi = \hat{i} (1) + \hat{j} (0) + \hat{k} (0) = (1, 0, 0)\)

B-I

\(\phi = 2x^3\)

⇒ \(\nabla \phi (0, 1, 2) = (6(0)^2, 0, 0) = (0, 0, 0)\)

C-IV

इसी प्रकार,

D-II

अतः विकल्प 3 सही है। 

व्याख्या:

घात " id="MathJax-Element-946-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> n के समघात फलन के लिए:

\(x ^ 2 u_{ xx} ​ +2xyu _{ xy} ​ +y ^ 2 u _{ yy} ​ =n(n−1)u.\)

इस मामले में, sin u" id="MathJax-Element-947-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">$u$ $u$ घात $0$ का समघात है। $n=1/2$ प्रतिस्थापित करने पर:

हम z = sin u रखते हैं

\(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{1}{2} tan u\)

\(x ^ 2 u_{ xx} ​ +2xyu _{ xy} ​ +y ^ 2 u _{ yy} ​ =(\frac{1}{2}sec^2u-1).\frac{1}{2}tan u\)

\(x ^ 2 u_{ xx} ​ +2xyu _{ xy} ​ +y ^ 2 u _{ yy} ​ =(\frac{1}{2}(1+tan^2u)-1).\frac{1}{2}tan u \)

\(x ^ 2 u_{ xx} ​ +2xyu _{ xy} ​ +y ^ 2 u _{ yy} ​ =\frac{1}{4}\frac{(sin ^2u-cos^2u)}{cos^3u}=- \frac{1}{4}\frac{(cos2u).sinu}{cos^3u}\)

दिए गए से तुलना करने पर हमें m = 2 प्राप्त होता है

इसलिए विकल्प 1 सही है।

व्याख्या:

f(x, y) = \(\rm\log (\cos ^2(e^{x^2}))\) + sin(x + y).

\(\rm \frac{\partial}{\partial x} f(x, y)\) = \(\frac{1}{\cos ^2(e^{x^2})}(2\cos (e^{x^2})(-\sin(e^{x^2}))).(e^{x^2}).2x\) + cos(x + y)

\(\rm \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x} f(x, y)\) = 0 - sin(x + y) = -sin(x + y)

इसलिए विकल्प (3) सही है

अवधारणा:

यदि ϕ₁, ϕ₂ 0 के निकट पहुँचते हैं, तो फलन f(x,y), (a,b) पर अवकलनीय होता है जहाँ f(h,k)-f(a,b) = αh + βk + hϕ1 + kϕ2 जहाँ \(\alpha=\frac{\partial f}{\partial x}|_{(a,b)}, \beta=\frac{\partial f}{\partial y}|_{(a,b)}\)

व्याख्या:

\(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3}{x^2+y^2}=\lim_{r\to0}\frac{r^3 \cos \theta}{r^2}\)

\(=\lim_{r\to0}r\cos\theta=0\)

इसलिए f(x), (0,0) पर सतत है।

(0,0) पर दिक् अवकलज है

\(Df_{\theta}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h\cos\theta,0+h\sin\theta)-f(0,0)}{h}\\ =\lim_{h\to0}\frac{\frac{h^3\cos^3\theta}{h^2}-0}{h}=\cos^3\theta\)

इसलिए f के सभी दिक् अवकलज (0, 0) पर विद्यमान हैं।

f(h,k)-f(0,0) = αh + βk + hϕ1 + kϕ2

\(\alpha=\frac{\partial f}{\partial x}|_{(0,0)}\\ =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\\ =\lim_{h\to0}\frac{h^3}{h^2.h}=1\)

\( \beta=\frac{\partial f}{\partial y}|_{(0,0)}=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=0\)

इसलिए f(h,k)-f(0,0) = αh + βk + hϕ1 + kϕ2 का अर्थ है

\(\frac{h^2}{h^2+k^2}-0=h+hϕ_1+kϕ_2\\ \frac{h^2}{h^2+k^2}-h=hϕ_1+kϕ_2\\ \frac{-hk^2}{h^2+k^2}=hϕ_1+kϕ_2\)

तुलना करने पर, हमें मिलता है

\(ϕ_1=\frac{-k^2}{h^2+k^2}, ϕ_2=0\)

लेकिन (0,0) पर ϕ₁ की सीमा मौजूद नहीं है क्योंकि k=mh पर, सीमा m पर निर्भर करती है।

इसलिए f, (0, 0) पर अवकलनीय नहीं है।

इसलिए विकल्प (2), (3), और (4) सही हैं।

अवधारणा:

यदि ϕ₁, ϕ₂ 0 के निकट पहुँचते हैं, तो फलन f(x,y), (a,b) पर अवकलनीय होता है जहाँ f(h,k)-f(a,b) = αh + βk + hϕ1 + kϕ2 जहाँ \(\alpha=\frac{\partial f}{\partial x}|_{(a,b)}, \beta=\frac{\partial f}{\partial y}|_{(a,b)}\)

व्याख्या:

\(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3}{x^2+y^2}=\lim_{r\to0}\frac{r^3 \cos \theta}{r^2}\)

\(=\lim_{r\to0}r\cos\theta=0\)

इसलिए f(x), (0,0) पर सतत है।

(0,0) पर दिक् अवकलज है

\(Df_{\theta}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h\cos\theta,0+h\sin\theta)-f(0,0)}{h}\\ =\lim_{h\to0}\frac{\frac{h^3\cos^3\theta}{h^2}-0}{h}=\cos^3\theta\)

इसलिए f के सभी दिक् अवकलज (0, 0) पर विद्यमान हैं।

f(h,k)-f(0,0) = αh + βk + hϕ1 + kϕ2

\(\alpha=\frac{\partial f}{\partial x}|_{(0,0)}\\ =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\\ =\lim_{h\to0}\frac{h^3}{h^2.h}=1\)

\( \beta=\frac{\partial f}{\partial y}|_{(0,0)}=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=0\)

इसलिए f(h,k)-f(0,0) = αh + βk + hϕ1 + kϕ2 का अर्थ है

\(\frac{h^2}{h^2+k^2}-0=h+hϕ_1+kϕ_2\\ \frac{h^2}{h^2+k^2}-h=hϕ_1+kϕ_2\\ \frac{-hk^2}{h^2+k^2}=hϕ_1+kϕ_2\)

तुलना करने पर, हमें मिलता है

\(ϕ_1=\frac{-k^2}{h^2+k^2}, ϕ_2=0\)

लेकिन (0,0) पर ϕ₁ की सीमा मौजूद नहीं है क्योंकि k=mh पर, सीमा m पर निर्भर करती है।

इसलिए f, (0, 0) पर अवकलनीय नहीं है।

इसलिए विकल्प (2), (3), और (4) सही हैं।

संप्रत्यय:

व्युत्क्रम फलन प्रमेय;

मान लीजिए \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \) एक संतत अवकलनीय फलन है। यदि किसी बिंदु \(a \in \mathbb{R}^n \) पर जैकोबी आव्यूह \(Df(a)\) व्युत्क्रमणीय है (अर्थात, इसका सारणिक शून्येतर है), तो \(a\) का एक खुला प्रतिवेश U और \( f(a)\) का एक खुला प्रतिवेश V का अस्तित्व इस प्रकार है कि \(f: U \to V\) एक अवतद्वत्ता है, जिसका अर्थ है कि f एकैकी है, और f और इसका व्युत्क्रम \(f^{-1} \) दोनों सतत अवकलनीय हैं।

व्याख्या:

यह दिया गया है कि \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\) एक अवकलनीय फलन है जहाँ \(\text{rank}(Df)(0,0) = 2 \) है, फलन का मूलबिंदु पर एक अनिर्धारित अवकल है। इसका तात्पर्य है कि (0,0) पर f का जैकोबी आव्यूह पूर्ण कोटि का है, जिसका अर्थ है कि (0,0) के निकट f का प्रतिबिम्ब स्थानीय रूप से \(\mathbb{R}^3 \) में एक अंतःस्थापित पृष्ठ है।

विकल्प 1: यह कथन सत्य है। यह दिया गया है कि अवकल Df का (0,0) पर पूर्ण कोटि 2 है, इसका तात्पर्य व्युत्क्रम फलन प्रमेय के कारण स्थानीय एकैकीता से है। इसलिए, (0,0) के एक प्रतिवेश में, f एकैकी है।

विकल्प 2: यह असत्य है। कोटि प्रतिबंध इंगित करता है कि \(f_1\) और \(f_2\) स्थानीय रूप से प्रतिचित्रित को निर्धारित करते हैं, लेकिन यह आवश्यक रूप से यह निहित नहीं करता है कि \(f_3 \), \(f_1\) और \(f_2\) का एक फलन है। इस प्रकार, ऐसी कोई गारंटी नहीं है।

विकल्प 3: यह असत्य है। कोटि प्रमेय द्वारा, f का प्रतिबिम्ब \(\mathbb{R}^3\) में एक 2-आयामी फलन है, न कि \(\mathbb{R}^3\) का एक खुला उपसमुच्चय।

मानचित्र f स्थानीय रूप से एकैकी है लेकिन प्रतिबिम्ब \(\mathbb{R}^3\) के एक खुले उपसमुच्चय को शामिल नहीं कर सकता है।

विकल्प 4: यह कथन सत्य है। चूँकि (0,0) पर Df की पूर्ण कोटि है, इसलिए f, (0,0) के निकट एक स्थानीय विवर्तन की तरह व्यवहार करता है, जिसका अर्थ है कि (0,0), f(0,0) का एक वियुक्त पूर्व प्रतिबिम्ब है।

सही विकल्प विकल्प 1) और विकल्प 4) हैं।

व्याख्या:

f(x, y) = \(\rm\log (\cos ^2(e^{x^2}))\) + sin(x + y).

\(\rm \frac{\partial}{\partial x} f(x, y)\) = \(\frac{1}{\cos ^2(e^{x^2})}(2\cos (e^{x^2})(-\sin(e^{x^2}))).(e^{x^2}).2x\) + cos(x + y)

\(\rm \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x} f(x, y)\) = 0 - sin(x + y) = -sin(x + y)

इसलिए विकल्प (3) सही है

स्पष्टीकरण:

हमें निम्न फलन दिया गया है:

⇒ \(\phi = y^2\)

⇒ \( \nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)\)

⇒ चूँकि \(\phi = y^2 \),

हम आंशिक अवकलज की गणना करते हैं,}

⇒  x, y, z के सापेक्ष आंशिक अवकलज 

⇒ \(\frac{\partial \phi}{\partial x} = 0\) , \(\frac{\partial \phi}{\partial y} = 2y\) , \( \frac{\partial \phi}{\partial z} = 0\)

इस प्रकार, प्रवणता है:

⇒ \(\nabla \phi = (0, 2y, 0)\) = \(2y\hat{j}\)

⇒ \(\nabla \phi (1,1,1) = (0, 2(1), 0) = (0,2,0)\) = \(2\hat{j}\)

A-III

\( \phi = x \)

⇒ \(\nabla \phi = \hat{i} (1) + \hat{j} (0) + \hat{k} (0) = (1, 0, 0)\)

B-I

\(\phi = 2x^3\)

⇒ \(\nabla \phi (0, 1, 2) = (6(0)^2, 0, 0) = (0, 0, 0)\)

C-IV

इसी प्रकार,

D-II

अतः विकल्प 3 सही है। 

व्याख्या:

घात " id="MathJax-Element-946-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> n के समघात फलन के लिए:

\(x ^ 2 u_{ xx} ​ +2xyu _{ xy} ​ +y ^ 2 u _{ yy} ​ =n(n−1)u.\)

इस मामले में, sin u" id="MathJax-Element-947-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">$u$ $u$ घात $0$ का समघात है। $n=1/2$ प्रतिस्थापित करने पर:

हम z = sin u रखते हैं

\(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{1}{2} tan u\)

\(x ^ 2 u_{ xx} ​ +2xyu _{ xy} ​ +y ^ 2 u _{ yy} ​ =(\frac{1}{2}sec^2u-1).\frac{1}{2}tan u\)

\(x ^ 2 u_{ xx} ​ +2xyu _{ xy} ​ +y ^ 2 u _{ yy} ​ =(\frac{1}{2}(1+tan^2u)-1).\frac{1}{2}tan u \)

\(x ^ 2 u_{ xx} ​ +2xyu _{ xy} ​ +y ^ 2 u _{ yy} ​ =\frac{1}{4}\frac{(sin ^2u-cos^2u)}{cos^3u}=- \frac{1}{4}\frac{(cos2u).sinu}{cos^3u}\)

दिए गए से तुलना करने पर हमें m = 2 प्राप्त होता है

इसलिए विकल्प 1 सही है।