Sequences and Series of Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sequences and Series of Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest Sequences and Series of Functions MCQ Objective Questions
Sequences and Series of Functions Question 1:
मान लीजिए f : [0, 1] → [1, ∞) को \(\rm f(x)=\frac{1}{1-x}\) द्वारा परिभाषित किया गया है। n ≥ 1 के लिए, मान लीजिए pn(x) = 1 + x + ....+ xn है, तब निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences and Series of Functions Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
बिंदुश: अभिसरण:
मान लीजिए \(\{f_n(x)\}\) एक प्रांत D पर परिभाषित फलनों का एक अनुक्रम है। अनुक्रम \(\{f_n(x)\}\) को D पर एक फलन \(f(x)\) की ओर बिंदुश अभिसरित कहा जाता है यदि, प्रत्येक बिंदु \(x \in D\) और प्रत्येक \(\epsilon >0\) के लिए, एक पूर्णांक N का अस्तित्व इस प्रकार है कि सभी \(n \geq N\) के लिए, निम्नलिखित शर्त लागू होती है
\(|f_n(x) - f(x)| < \epsilon.\)
दूसरे शब्दों में, प्रत्येक स्थिर बिंदु \(x \in D\) के लिए, फलनों \(f_n(x) \) के मान \(f(x)\) के स्वेच्छ रूप से अग्रसर होते हैं चूँकि \(n \to \infty \) है।
एकसमान अभिसरण:
मान लीजिए \(\{f_n(x)\}\) एक प्रांत D पर परिभाषित फलनों का एक अनुक्रम है। अनुक्रम \(\{f_n(x)\}\) को D पर एक फलन f(x) की ओर एकसमानतः अभिसरित कहा जाता है यदि प्रत्येक \(\epsilon >0\) के लिए, एक पूर्णांक N का अस्तित्व इस प्रकार है कि सभी \(n \geq N\) और सभी \(x \in D\) के लिए, निम्नलिखित शर्त लागू होती है
\(|f_n(x) - f(x)| < \epsilon.\)
व्याख्या:
\(f(x) = \frac{1}{1 - x} for x \in [0, 1)\)
\(n \geq 1\) के लिए, मान लीजिए \(p_n(x) = 1 + x + x^2 + \dots + x^n \)। यह एक गुणोत्तर श्रेणी के पहले n+1 पदों का योग है।
हम जानते हैं कि अनंत गुणोत्तर श्रेणी \(1 + x + x^2 + \dots = \frac{1}{1 - x} for |x| < 1\), जिसका अर्थ है \(p_n(x)\) \(n \to \infty\) के रूप में f(x) का एक सन्निकटन है।
विकल्प 1: फलन \(f(x) = \frac{1}{1 - x}\) \(x \to 1\) के रूप में अनंत की ओर बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि जैसे ही हम 1 के करीब पहुँचते हैं, फलन का मान असीमित रूप से बढ़ता है। इसका तात्पर्य है कि f(x) एकसमानतः संतत नहीं है क्योंकि 1 के पास के निकटवर्ती निवेशों के लिए फलन मानों में अंतर स्वेच्छ ढंग से बड़ा हो सकता है।
विकल्प 1) सत्य है।
विकल्प 2: अनुक्रम \(p_n(x) = 1 + x + \dots + x^n\) गुणोत्तर श्रेणी का एक आंशिक योग है, और हम जानते हैं कि अनंत योग \(f(x) = \frac{1}{1 - x}\) की ओर अभिसरित होता है। इसलिए, \(p_n(x)\) [0, 1) पर f(x) की ओर बिंदुवार अभिसरित होता है।
विकल्प 2 सत्य है।
विकल्प 3: एकसमान अभिसरण के लिए आवश्यक है कि अभिसरण पूरे अंतराल में एकसमान रूप से हो।
x = 1 के पास, फलन f(x) बहुत बड़ा हो जाता है, और अनुक्रम \(p_n(x)\) एकसमान रूप से अभिसरित नहीं होता है
क्योंकि x = 1 के पास अभिसरण काफी धीमा हो जाता है।
विकल्प 3 असत्य है।
विकल्प 4: यह सत्य है क्योंकि किसी भी c < 1 के लिए, फलन \(f(x) = \frac{1}{1 - x}\) अंतराल [0, c] पर संतत और सुव्यवस्थित है,
और अनुक्रम \(p_n(x)\) 1 से दूर संहत उप-अंतरालों पर एकसमान रूप से अभिसरित होगा।
विकल्प 4 सत्य है।
सही विकल्प विकल्प 1), विकल्प 2), और विकल्प 4) हैं।
Sequences and Series of Functions Question 2:
मान लीजिए (an)n≥1 वास्तविक संख्याओं का एक परिबद्ध अनुक्रम है जिसके लिए \(\rm \lim_{n\rightarrow \infty}a_n\) का अस्तित्व नहीं है। मान लीजिए S = {l ∈ ℝ : (an) का कोई उपानुक्रम l की ओर अभिसरित होता है}।
निम्नलिखित में से कौन से कथन आवश्यक रूप से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences and Series of Functions Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
परिबद्ध अनुक्रम: एक परिबद्ध अनुक्रम का अर्थ है कि अनुक्रम के सभी अवयव किसी निश्चित अंतराल [-M, M] में स्थित हैं, जहाँ M कोई धनात्मक संख्या है। यह सुनिश्चित करता है कि अनुक्रम अनंत या ऋणात्मक अनंत की ओर अपसरण नहीं करता है।
सीमा का अस्तित्व न होना: प्रतिबंध \(\limsup_{n \to \infty} a_n \neq \liminf_{n \to \infty} a_n\) यह दर्शाता है कि अनुक्रम कई मानों के बीच दोलन करता है और एकल मान पर अभिसरण नहीं करता है।
बोलजानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय: यह प्रमेय कहता है कि प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम का एक अभिसारी उपानुक्रम होता है।
इसलिए, \((a_n)\) के ऐसे उपानुक्रम मौजूद हैं जो विभिन्न सीमा बिंदुओं पर अभिसरण करते हैं।
समुच्चय S की संरचना: समुच्चय S में \((a_n)\) के उपानुक्रमों के सभी सीमा बिंदु सम्मिलित हैं।
व्याख्या:
विकल्प 1: यह सत्य नहीं हो सकता क्योंकि बोलजानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय द्वारा, कम से कम एक अभिसारी उपानुक्रम होना चाहिए। इसलिए, S में कम से कम एक अवयव है।
असत्य है।
विकल्प 2: यह सत्य नहीं हो सकता क्योंकि यदि अनुक्रम एकल मान पर अभिसरण नहीं करता है, तो उसे दोलन करना चाहिए, जिसका अर्थ है कि कई सीमा बिंदु हैं। इसलिए, S में एक से अधिक अवयव होंगे।
असत्य है।
विकल्प 3: चूँकि अनुक्रम एकल मान पर अभिसरण नहीं करता है, इसलिए कम से कम दो अलग-अलग उपानुक्रम सीमाएँ होनी चाहिए। इसलिए, S में कम से कम दो अवयव होने चाहिए।
सत्य है।
विकल्प 4: यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है क्योंकि एक परिबद्ध अनुक्रम में उपानुक्रम सीमाओं की अनंत संख्या हो सकती है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम मानों के अनंत समुच्चय के बीच दोलन कर सकता है।
असत्य है।
सही उत्तर विकल्प 3) है।
Sequences and Series of Functions Question 3:
प्रत्येक n ≥ 1 के लिए, fn : ℝ → ℝ को \(\rm f_n(x)=\frac{x^2}{√{x^2+\frac{1}{n}}}, \) x ∈ ℝ द्वारा परिभाषित किया गया है
जहाँ √ ऋणात्मक वर्गमूल को दर्शाता है। जहाँ भी \(\rm \lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x)\) का अस्तित्व है, इसे f(x) से दर्शाया गया है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences and Series of Functions Question 3 Detailed Solution
संप्रत्यय:
फलनों के अनुक्रम की सीमा:
1. मान लीजिए \(\{f_n\}\) एक समुच्चय D पर परिभाषित फलनों का एक अनुक्रम है। हम कहते हैं कि \(f_n\) D पर एक फलन f की ओर बिंदुवार अभिसरित होता है यदि, प्रत्येक x \(\in\) D के लिए
\(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x).\)
2. अभिसरण का एक प्रबल रूप एकसमान अभिसरण है। अनुक्रम \(\{f_n\}\) D पर एक फलन f की ओर एकसमान रूप से अभिसरित होता है यदि
\(\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} |f_n(x) - f(x)| = 0.\)
व्याख्या: समस्या फलनों के एक अनुक्रम \( f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) देती है जिसे
\(f_n(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}}}\)
द्वारा परिभाषित किया गया है और \(n \to \infty \) के रूप में \(f_n(x) \) की सीमा के बारे में पूछती है, जिसे \( f(x)\) द्वारा दर्शाया गया है। हमें यह निर्धारित करने का कार्य दिया गया है कि f(x) के बारे में कौन सा कथन सत्य है।
हमें फलन की सीमा \(n \to \infty \) लेने के लिए कहा गया है:
\(f_n(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}}} \)
चूँकि \(n \to \infty \) है, पद \(\frac{1}{n} \to 0 \) है। इसलिए, बड़े n के लिए, फलन \(f_n(x) \) निम्न की ओर अग्रसर है
\(lim_{n \to \infty} f_n(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2}} = \frac{x^2}{|x|}\)
स्थिति 1: \(x \neq 0\)
\(x \neq 0\) के लिए हमारे पास है, \( f(x) = \frac{x^2}{|x|} = |x|\)
स्थिति 2: \(x =0\)
जब \(x =0\) , फलन \(f_n(0) = \frac{0^2}{\sqrt{0^2 + \frac{1}{n}}} = 0\) बन जाता है।
इसलिए, चूँकि \(n \to \infty \) है, हमें f(0) = 0 प्राप्त होता है।
फलन f(x), \(n \to \infty \), इस प्रकार दिया गया है
\( f(x) = \begin{cases} |x|, & \text{if } x \neq 0 \\ 0, & \text{if } x = 0 \end{cases} \)
यह फलन सभी \(x \in \mathbb{R} \) के लिए |x| के बराबर है।
इसलिए, सही विकल्प 4) है।
Sequences and Series of Functions Question 4:
मान लीजिए, \(\rm f_n(x)=\frac{x^n+11}{x^n+13}, \)
x ∈ ℝ - ℚ = xn + nx + ln(x + 1) + 5.sin nx,
x ∈ \(\rm \frac{N}{21111....}=e^{x^{\sin x}}+\sin e^{x^2+x}\);
अन्यथा 0 तब \(\rm \lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1f_n(x)dx\) है:
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences and Series of Functions Question 4 Detailed Solution
संप्रत्यय -
प्रमुख अभिसरण प्रमेय कथन:
मान लीजिए कि fn मापनीय फलनों का एक अनुक्रम है जो लगभग सर्वत्र एक फलन f पर एक माप समष्टि \((X, \mathcal{A}, \mu)\) में अभिसरित होता है। यदि एक समाकलनीय फलन g, X पर अस्तित्व इस प्रकार है ऐसा कि सभी n के लिए, लगभग X में सर्वत्र पर |fn(x)| ≤ g(x) है, तब f समाकलनीय है और
\(\lim_{n → \infty} \int_X f_n \, d\mu = \int_X f \, d\mu.\)
व्याख्या -
हमारे पास \(\rm f_n(x)=\frac{x^n+11}{x^n+13}, \)
अब 0 < x < 1 के लिए, fn(x) → 11/13 चूँकि n → ∞ है,
जहाँ 0 < x < 1 के लिए, xn → 0 चूँकि n → ∞ है
इसलिए fn मापनीय फलनों का एक अनुक्रम है जो लगभग सर्वत्र एक फलन f पर एक माप समष्टि \((X, \mathcal{A}, \mu)\) में अभिसरित होता है।
और एक समाकलनीय फलन g(x) = 1 का X पर अस्तित्व इस प्रकार है कि सभी n के लिए, लगभग X में सर्वत्र पर, |fn(x)| ≤ 1 है।
तब \(\rm \lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1f_n(x)dx = \int_0^1f(x)dx \)
\( = \int_0^111/13 dx = 11/13(1-0) = 11/13\)
इसलिए, विकल्प (3) सही है।
Sequences and Series of Functions Question 5:
मान लीजिए Cc(ℝ) = { f: ℝ → ℝ | f संतत है और एक संहत समुच्चय K मौजूद है जिसके लिए सभी x ∈ Kc के लिए f(x) = 0}. मान लीजिए सभी x ∈ ℝ के लिए g(x) = \(\rm e^{x^2}\) है। निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences and Series of Functions Question 5 Detailed Solution
संप्रत्यय:
फलनों का एक अनुक्रम fn(x) अपने सीमा बिंदु f(x) की ओर एक डोमेन D में एकसमान रूप से अभिसारी कहा जाता है यदि, सभी ϵ > 0 के लिए, एक m ∈ \(\mathbb N\) मौजूद है जो ϵ पर निर्भर करता है लेकिन x ∈ D से स्वतंत्र है, जिससे सभी n ≥ m के लिए |fn(x) - f(x)| < ϵ
व्याख्या:
Cc(ℝ) = { f: ℝ → ℝ | f संतत है और एक संहत समुच्चय K मौजूद है जिसके लिए सभी x ∈ Kc के लिए f(x) = 0}.
सभी x ∈ ℝ के लिए g(x) = \(\rm e^{x^2}\).
मान लीजिए fn(x) = \(\begin{cases}e^{-x^2}-e^{-n^2}&x∈ [-n, n]\\0& x∈ (-∞, -n]∪[n,∞)\end{cases}\)
अब,
x ∈ [-n, n] के लिए
|fn(x) - g(x)| = |\(e^{-x^2}-e^{-n^2}-e^{-x^2}\)| = \(e^{-n^2}\) < ϵ सभी n ≥ n0 के लिए
x ∈ (-∞, -n] ∪ [n, ∞) के लिए
|fn(x) - g(x)| = |\(0-e^{-x^2}\)| =\(e^{-x^2}\) ≤ \(e^{-n^2}\) < ϵ सभी n > n0 के लिए
Cc(ℝ) में एक अनुक्रम {fn} मौजूद है जिससे fn → g बिन्दुशः अभिसरित होता है।
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प्रत्येक n ≥ 1 के लिए, fn : ℝ → ℝ को \(\rm f_n(x)=\frac{x^2}{√{x^2+\frac{1}{n}}}, \) x ∈ ℝ द्वारा परिभाषित किया गया है
जहाँ √ ऋणात्मक वर्गमूल को दर्शाता है। जहाँ भी \(\rm \lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x)\) का अस्तित्व है, इसे f(x) से दर्शाया गया है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences and Series of Functions Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
फलनों के अनुक्रम की सीमा:
1. मान लीजिए \(\{f_n\}\) एक समुच्चय D पर परिभाषित फलनों का एक अनुक्रम है। हम कहते हैं कि \(f_n\) D पर एक फलन f की ओर बिंदुवार अभिसरित होता है यदि, प्रत्येक x \(\in\) D के लिए
\(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x).\)
2. अभिसरण का एक प्रबल रूप एकसमान अभिसरण है। अनुक्रम \(\{f_n\}\) D पर एक फलन f की ओर एकसमान रूप से अभिसरित होता है यदि
\(\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} |f_n(x) - f(x)| = 0.\)
व्याख्या: समस्या फलनों के एक अनुक्रम \( f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) देती है जिसे
\(f_n(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}}}\)
द्वारा परिभाषित किया गया है और \(n \to \infty \) के रूप में \(f_n(x) \) की सीमा के बारे में पूछती है, जिसे \( f(x)\) द्वारा दर्शाया गया है। हमें यह निर्धारित करने का कार्य दिया गया है कि f(x) के बारे में कौन सा कथन सत्य है।
हमें फलन की सीमा \(n \to \infty \) लेने के लिए कहा गया है:
\(f_n(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}}} \)
चूँकि \(n \to \infty \) है, पद \(\frac{1}{n} \to 0 \) है। इसलिए, बड़े n के लिए, फलन \(f_n(x) \) निम्न की ओर अग्रसर है
\(lim_{n \to \infty} f_n(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2}} = \frac{x^2}{|x|}\)
स्थिति 1: \(x \neq 0\)
\(x \neq 0\) के लिए हमारे पास है, \( f(x) = \frac{x^2}{|x|} = |x|\)
स्थिति 2: \(x =0\)
जब \(x =0\) , फलन \(f_n(0) = \frac{0^2}{\sqrt{0^2 + \frac{1}{n}}} = 0\) बन जाता है।
इसलिए, चूँकि \(n \to \infty \) है, हमें f(0) = 0 प्राप्त होता है।
फलन f(x), \(n \to \infty \), इस प्रकार दिया गया है
\( f(x) = \begin{cases} |x|, & \text{if } x \neq 0 \\ 0, & \text{if } x = 0 \end{cases} \)
यह फलन सभी \(x \in \mathbb{R} \) के लिए |x| के बराबर है।
इसलिए, सही विकल्प 4) है।
Sequences and Series of Functions Question 7:
प्रत्येक n ≥ 1 के लिए, fn : ℝ → ℝ को \(\rm f_n(x)=\frac{x^2}{√{x^2+\frac{1}{n}}}, \) x ∈ ℝ द्वारा परिभाषित किया गया है
जहाँ √ ऋणात्मक वर्गमूल को दर्शाता है। जहाँ भी \(\rm \lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x)\) का अस्तित्व है, इसे f(x) से दर्शाया गया है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences and Series of Functions Question 7 Detailed Solution
संप्रत्यय:
फलनों के अनुक्रम की सीमा:
1. मान लीजिए \(\{f_n\}\) एक समुच्चय D पर परिभाषित फलनों का एक अनुक्रम है। हम कहते हैं कि \(f_n\) D पर एक फलन f की ओर बिंदुवार अभिसरित होता है यदि, प्रत्येक x \(\in\) D के लिए
\(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x).\)
2. अभिसरण का एक प्रबल रूप एकसमान अभिसरण है। अनुक्रम \(\{f_n\}\) D पर एक फलन f की ओर एकसमान रूप से अभिसरित होता है यदि
\(\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} |f_n(x) - f(x)| = 0.\)
व्याख्या: समस्या फलनों के एक अनुक्रम \( f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) देती है जिसे
\(f_n(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}}}\)
द्वारा परिभाषित किया गया है और \(n \to \infty \) के रूप में \(f_n(x) \) की सीमा के बारे में पूछती है, जिसे \( f(x)\) द्वारा दर्शाया गया है। हमें यह निर्धारित करने का कार्य दिया गया है कि f(x) के बारे में कौन सा कथन सत्य है।
हमें फलन की सीमा \(n \to \infty \) लेने के लिए कहा गया है:
\(f_n(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}}} \)
चूँकि \(n \to \infty \) है, पद \(\frac{1}{n} \to 0 \) है। इसलिए, बड़े n के लिए, फलन \(f_n(x) \) निम्न की ओर अग्रसर है
\(lim_{n \to \infty} f_n(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2}} = \frac{x^2}{|x|}\)
स्थिति 1: \(x \neq 0\)
\(x \neq 0\) के लिए हमारे पास है, \( f(x) = \frac{x^2}{|x|} = |x|\)
स्थिति 2: \(x =0\)
जब \(x =0\) , फलन \(f_n(0) = \frac{0^2}{\sqrt{0^2 + \frac{1}{n}}} = 0\) बन जाता है।
इसलिए, चूँकि \(n \to \infty \) है, हमें f(0) = 0 प्राप्त होता है।
फलन f(x), \(n \to \infty \), इस प्रकार दिया गया है
\( f(x) = \begin{cases} |x|, & \text{if } x \neq 0 \\ 0, & \text{if } x = 0 \end{cases} \)
यह फलन सभी \(x \in \mathbb{R} \) के लिए |x| के बराबर है।
इसलिए, सही विकल्प 4) है।
Sequences and Series of Functions Question 8:
धनात्मक पूर्णांक n के लिए f के nth अवकल को f(n) से निरूपित कीजिए। मानें कि कोई सर्वत्र वैश्लेषिक फलन है जो f(2) + f = 0 को संतुष्ट करता है।
निम्न में कौन सा कथन सही है ?
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences and Series of Functions Question 8 Detailed Solution
व्याख्या:
मान लीजिये f(z) = sin z
तब f1(z) = cos z और f2(z) = -sin z
इसलिए, f(2) + f = 0 संतुष्ट करता है
इसके अलावा, f3(z) = - cos z, f4(z) = sin z, f5(z) = cos z ...
इस प्रकार हमें प्राप्त होता है
f1(0) = 1, f2(0) = 0, f3(0) = -1, f4(0) = 0, f5(0) = 1, ....
इसलिए हमें अनुक्रम प्राप्त होता है
{f(n)(0)} = {1, 0, -1, 0, 1, ...}
इसलिए, f(n)(0) के 3 सीमा बिंदु 1, 0, -1 हैं
अतः (f(n)(0))n≥1 अभिसारी नहीं है
(1) गलत है।
(2), (3) भी गलत हैं
और (4) सही है
Sequences and Series of Functions Question 9:
वास्तविक-मान फलन fn(x) = xn, x ∈ [0, 1] ∪ {2} का अनुक्रम है:
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences and Series of Functions Question 9 Detailed Solution
संकल्पना:
(i) बिंदुवत अभिसरण: फलनों के एक अनुक्रम fn: E → ℝ (जहाँ E, ℝ का एक उपसमुच्चय को फलन f: E → ℝ में E पर बिंदुवत अभिसारी है यदि और केवल यदि सभी x ∈ E के लिए limn→∞fn(x) = f(x) है।
(ii) समान रूप से अभिसरित: फलन fn: E → ℝ का एक अनुक्रम समान रूप से f में अभिसारी है यदि और केवल यदि limn→∞ \(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\) = 0
स्पष्टीकरण:
माना α ∈ [0, 1] ∪ {2}, तब,
स्थिति I: If α = 0, तब,
f(x) = \(\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(α)\)
= \(\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(0)\)
= \(\lim_{n \rightarrow \infty} 0 = 0\)
स्थिति II: If α = 1, तब,
f(x) = \(\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(α)\) = \(\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(1)\)
= \(\lim_{n \rightarrow \infty} 1 = 1\)
स्थिति III: If 0 < α < 1, तब,
f(α) = \(\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(α)\)
= \(\lim_{n \rightarrow \infty}a^n\)
= 0
स्थिति IV: If α = 2, तब,
f(x) = \(\lim_{n \rightarrow \infty} f_n ( \alpha)\)
= \(\lim_{n \rightarrow \infty} f_n ( 2)\)
= \(\lim_{n \rightarrow \infty}2^n\)
= अस्तित्व में नहीं है
अतः, fn(x) बिंदुवत अभिसारी नहीं है।
⇒ fn(x) समान रूप से अभिसारी नहीं है।
विकल्प (3) सही है।
Sequences and Series of Functions Question 10:
निम्न में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences and Series of Functions Question 10 Detailed Solution
संकल्पना:
बिंदुवार अभिसारी: फलनों का एक अनुक्रम f1, f2, … , fn, … : E → ℝ (जहाँ E, ℝ का एक उपसमुच्चय है, फलन f: E → ℝ पर बिंदुवार अभिसारी कहा जाता है यदि और केवल यदि \(\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)\) ∀ x ∈ E
समान अभिसारी: फलन fn: E → ℝ के एक अनुक्रम को दिया गया है, हम कहते हैं fn f पर समान रूप से अभिसारी है यदि और केवल यदि \(\lim_{n\to\infty}(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|)\) = 0 इसे Mn परीक्षण कहा जाता है
परिणाम: यदि फलनों के एक अनुक्रम की बिंदुवार सीमा सतत नहीं है, तो फलनों का अनुक्रम समान रूप से सतत नहीं है।
व्याख्या:
(1): fn(x) = xn, x ∈ (0, 1)
इसलिए f(x) = \(\lim_{n\to\infty}x^n \) = 0 for x ∈ (0, 1)
x = \(1-\frac1n\) के लिए
\(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\) = \(\lim_{n\to\infty}(1-\frac1n)^n\) = e-1 0 की ओर प्रवृत्त नहीं होता है
इसलिए fn(x) = xn, x ∈ (0, 1) समान रूप से अभिसारी नहीं है।
विकल्प (1) असत्य है
(2): fn(x) = \(\rm\frac{x^n}{\log (n+1)}\)
f(x) = 0 for x ∈ (0, 1)
विकल्प (2) सत्य है।
(3): fn(x) = \(\rm\frac{x^n}{1+x^n}\)
इसलिए f(x) = \(\lim_{n\to\infty} \frac{x^n}{1+x^n} \) = 0 for x ∈ (0, 1)
x = \(1-\frac1n\) के लिए
\(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\) = \(\lim_{n\to\infty}\frac{(1-\frac1n)^n}{1+(1-\frac1n)^n} = \frac{e^{-1}}{1+e^{-1}} \neq 0\) 0 की ओर प्रवृत्त नहीं होता है
इसलिए fn(x) = \(\rm\frac{x^n}{1+x^n}\), x ∈ (0, 1) समान रूप से अभिसारी नहीं है।
विकल्प (3) असत्य है।
(4): fn(x) = \(\rm\frac{x^n}{1+n x^n}\)
इसलिए f(x) = \(\lim_{n\to\infty} \frac{x^n}{1+nx^n} \) = 0 for x ∈ (0, 1)
और यह प्रत्येक x के लिए मान्य है। इसलिए fn(x) = \(\rm\frac{x^n}{1+n x^n}\), x ∈ (0, 1) समान रूप से अभिसारी है।
विकल्प (4) असत्य है।
Sequences and Series of Functions Question 11:
अनुक्रम
\( f_n(x)= \begin{cases}n^2 x, & 0 \leq x \leq \frac{1}{n} \\ -n^2 x+2 n, & \frac{1}{n} \leq x \leq \frac{2}{n} \\ 0, & \frac{2}{n} \leq x \leq 1\end{cases} \)
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences and Series of Functions Question 11 Detailed Solution
संकल्पना:
(i) बिंदुवार अभिसरण: फलनों के एक अनुक्रम fn: E → ℝ (जहाँ E, ℝ का एक उपसमुच्चय को फलन f: E → ℝ में E पर बिंदुवार रूप से अभिसरित है यदि और केवल यदि सभी x ∈ E के लिए limn→∞fn(x) = f(x)
(ii) समान रूप से अभिसरित: फलन fn: E → ℝ का एक अनुक्रम समान रूप से f में अभिसरित है यदि और केवल यदि limn→∞ \(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\) = 0
स्पष्टीकरण:
\( f_n(x)= \begin{cases}n^2 x, & 0 ≤ x ≤ \frac{1}{n} \\ -n^2 x+2 n, & \frac{1}{n} ≤ x ≤ \frac{2}{n} \\ 0, & \frac{2}{n} ≤ x ≤ 1\end{cases} \)
0 ≤ x ≤ 1/n के लिए
limn→∞fn(x) = limn→∞ n2x = ∞
1/n ≤ x ≤ 2/n के लिए
limn→∞fn(x) = limn→∞ (- n2x + 2n) = ∞
2/n ≤ x ≤ 1 के लिए
limn→∞fn(x) = limn→∞ 0 = 0
इसलिए यहाँ हम देख सकते हैं कि fn(x) एक सीमा तक परिवर्तित नहीं होता है क्योंकि n अनंत की ओर जाता है।
अतः, fn(x) बिंदुवार परिवर्तित नहीं होता है
विकल्प (1) सत्य है
Sequences and Series of Functions Question 12:
माना x ≥ 0 के लिए \(\rm f(x)=\frac{\log (2+x)}{\sqrt{1+x}}\) है, और प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक m के लिए \(\rm a_m=\frac{1}{m} \int_0^m f(t) d t\) है। तब अनुक्रम \(\rm \left\{a_m\right\}_{m=1}^{\infty}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences and Series of Functions Question 12 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
\(\int_0^m f(t) d t\) = \(\int_0^m \frac{\log (2+t)}{\sqrt{1+t}} d t\)
माना 1 + t = z2 ⇒ dt = 2zdz
∴ \(\int_0^m f(t) d t\) = \(2\int_1^{\sqrt{1+m}} \log(1+z^2) d z\)
= 2\(\left[z\log(1+z^2)\right]_1^{\sqrt{1+m}}-\int_1^{\sqrt{1+m}}\frac{2z^2}{1+z^2}dz\)
= 2\(\left[z\log(1+z^2)\right]_1^{\sqrt{1+m}}-2\left[z-tan^{-1}z\right]_1^{\sqrt{1+m}}\)
= 2\({\sqrt{1+m}}\log(t+2)\) - 2 log 2 - 4 \({\sqrt{1+m}}\) + 4 + 4\(\tan^{-1}{\sqrt{1+m}}\) - 4\(\frac{π}{4}\)
= 2\({\sqrt{1+m}}\log(t+2)\) - 2 log 2 - 4 \({\sqrt{1+m}}\) + 4\(\tan^{-1}{\sqrt{1+m}}\) + 4 - π
इसलिए
\(\rm a_m=\frac{1}{m} \int_0^m f(t) d t\) = 2\(\frac{\sqrt{1+m}}{m}\) log(t +2) - 2log 2 + 4 - π - 4 \(\frac{\sqrt{1+m}}{m}\) +\(\frac4m\)\(\tan^{-1}{\sqrt{1+m}}\) - \(\frac{4-\pi}{m}\)
अतः \(\rm \displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_m=0\)
विकल्प (4) सही है
Sequences and Series of Functions Question 13:
निम्न वक्तव्यों पर बिचार करें:
(a) मानें कि फलन f, जो [1, ∞) पर संतत है एवं जिसके ऋणेतर (non-negative)
मान हैं, इस प्रकार है कि \(\displaystyle\int_1^{\infty}\) f(x) dx अभिसारी है। तब \(\rm\displaystyle\sum_{n \geq 1}\) f(n) अभिसरण करता है।
(b) मानें कि [1, ∞) पर फलन f, जिसके ऋणेतर मान हैं, इस प्रकार है कि \(\displaystyle\int_1^{\infty}\) f(x) dx अभिसारी है। तब \(\rm\displaystyle\lim _{x \rightarrow \infty}\) f(x) है।
(c) मानें कि फलन f, जो [1, ∞) पर संतत ह्रासमान (decreasing) है और जिसके ऋणेतर मान हैं, इस प्रकार है कि \(\displaystyle\int_1^{\infty}\) f(x) dx अभिसारी नहीं है। तब \(\rm\displaystyle\sum_{n \geq 1}\) f(n) अभिसारी नहीं है।
निम्न विकल्पों में से कौन-से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences and Series of Functions Question 13 Detailed Solution
संकल्पना:
मान लीजिए N एक प्राकृतिक संख्या (गैर-ऋणात्मक संख्या) है, और यह एक एकदिष्ट घटता फलन है, तो फलन को f : [N,∞ ]→ ℝ के रूप में परिभाषित किया गया है तब श्रेणी \(\sum_{m=N}^{\infty}f(m)\) और \(\int_N^{\infty}f(t)dt\)
एक साथ अभिसरित या अपसरित होती है।
समाधान:
(a) के लिए -
\(x \geq 1\) के लिए फलन \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) पर विचार करें। यह फलन \( [1, \infty) \) पर सतत है और गैर-ऋणात्मक मान लेता है। 1 से अनंत तक f(x) का समाकलन अभिसरित होता है:
\(\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx\) = \(\left[-\frac{1}{x}\right]_1^\infty = 1\)
हालांकि, यदि हम पूर्णांक n के लिए f(n) का मूल्यांकन करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:
\(f(n) = \frac{1}{n^2}\)
इन पदों को जोड़कर बनाई गई श्रेणी अभिसरित नहीं होती है:
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\)
यह बेसल समस्या का क्लासिक उदाहरण है, जो \(\frac{\pi^2}{6}\) पर अभिसरित होता है।
इसलिए, दिया गया कथन सामान्य रूप से मान्य नहीं है
(b) के लिए -
तथ्य यह है कि \(\int_1^\infty f(x) \, dx\) अभिसरित होता है, यह जरूरी नहीं कि f(x) = 0 \([1, \infty).\) में सभी x के लिए हो।
हालांकि, यह दर्शाता है कि f(x) = 0 लगभग हर जगह \([1, \infty).\) पर है।
उदाहरण के लिए, एक फलन f(x) लें जो हर जगह शून्य हो, सिवाय \([1, \infty)\) में बिंदुओं के एक समूह पर, जिसका कुल माप शून्य है।
यह फलन \([1, \infty)\) पर शून्य तक एकीकृत होगा, भले ही वह समान रूप से शून्य न हो।
इसलिए, शर्त यह है कि \(\int_1^{\infty} f(x)dx\) अभिसरित होता है, वास्तव में यह दर्शाता है कि f(x) = 0 लगभग हर जगह \([1, \infty)\) पर है लेकिन उस अंतराल में सभी बिंदुओं x के लिए जरूरी नहीं है।
इसलिए कथन असत्य है।
(c): कॉची समाकल परीक्षण का उपयोग करके
\(f:[1,\infty) \rightarrow R\)
f(x) > 0 सभी x के लिए R से संबंधित है
f एकदिष्ट घटता है
तब \(\int_1^\infty f(x) dx\) और \(\rm\displaystyle\sum_{n \geq 1}\)f(x) एक साथ अभिसरित या विचलित होता है
इसलिए, कॉची समाकल परीक्षण द्वारा (c) सही है।
इसलिए विकल्प (2) और (3) सही हैं।
Sequences and Series of Functions Question 14:
समुच्चय S पर परिभाषित अनुक्रम {fn} को S पर एकसमान रूप से परिबद्ध कहा जाता है यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences and Series of Functions Question 14 Detailed Solution
व्याख्या:
समुच्चय S पर परिभाषित अनुक्रम {fn} को S पर एकसमान रूप से परिबद्ध कहा जाता है यदि k > 0 इस प्रकार उपस्थित है कि |fn(x)| < k है; क्योंकि सभी x का संबंध S से है और n का \(\mathbb N\) से है।
अतः (3) सही है।
Sequences and Series of Functions Question 15:
माना fn(x) = xn, ∀ x ∈ [0, 1] और सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए, तब,
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences and Series of Functions Question 15 Detailed Solution
संकल्पना:
(i) बिंदुवत अभिसरण: फलनों के एक अनुक्रम fn: E → ℝ (जहाँ E, ℝ का एक उपसमुच्चय को फलन f: E → ℝ में E पर बिंदुवत अभिसारी है यदि और केवल यदि सभी x ∈ E के लिए limn→∞fn(x) = f(x) है।
(ii) समान रूप से अभिसरित: फलन fn: E → ℝ का एक अनुक्रम समान रूप से f में अभिसारी है, यदि और केवल यदि limn→∞ \(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\) = 0
स्पष्टीकरण:
हमें प्राप्त है, fn(x) = xn, ∀ x ∈ [0, 1]
⇒ \(f(x) = \left\{ \begin{matrix} 0, &0 \le x < 1 \\\ 1, &x = 1 \end{matrix} \right.\)
\( ∴ M_n=\operatorname{Sup}_{x \in[0,1]}\left\{\left|f_n(x)-f(x)\right|\right\} \)
\(=\operatorname{Sup}_{x \in[0,1]}\left\{\left| x^n\right|\right\} = 1\)
∴ \(\lim_{n \rightarrow \infty}M_n = 1\)
⇒ fn(x) समान रूप से अभिसारी नहीं है लेकिन प्रत्येक बिंदु पर अभिसारी है।
विकल्प (4) सत्य है।