Inverse and Implicit Function Theorems MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Inverse and Implicit Function Theorems - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest Inverse and Implicit Function Theorems MCQ Objective Questions
Inverse and Implicit Function Theorems Question 1:
U ⊆ ℝn को ℝn का विवृत उपसमुच्चय मानें तथा मानें कि f ∶ U → ℝn एक C∞ - फलन है। यदि हर x ∈ U के लिए, x पर अवकलज dfxनॉन-सिंगुलर हो, तब निम्न में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse and Implicit Function Theorems Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
(1) विकल्प (1) प्रतिलोम प्रतिचित्रण प्रमेय से प्राप्त हुआ।
विकल्प (1) सत्य है
(2) मान लीजिये f∶(0, 1] → \(\mathbb{R}\) ऐसा फलन है कि f(x) = \(\frac{1}{x}\) तब f((0, 1]) = [1, ∞)। लेकिन (0, 1] और [1, ∞) समरूप नहीं हैं।
विकल्प (2) असत्य है
(3) मान लीजिये x = r cos θ और y = r sin θ तब f ∶ (0, ∞) x (-∞, ∞) → \(\mathbb{R}^2\) को इस प्रकार परिभाषित करते हैं f(r, θ) = (x, y).
तब f अवकलनीय है और dfx एकवचन नहीं है लेकिन (r, θ + 2nπ), ∀ n ∈ \(\mathbb{Z}\) का f के अंतर्गत समान प्रतिबिम्ब है।
⇒ f एकैकी नहीं है।
विकल्प (3) असत्य है
मान लीजिये f ∶ \(\mathbb{R}^{+}\) → \(\mathbb{R}\) ऐसा फलन है कि f(x) = \(\frac{1}{1+x^2}\) तब f'(x) ≠ 0, ∀ x ∈ \(\mathbb{R}^{+}\) और [1, ∞) \(\mathbb{R}^{+}\) का संवृत उपसमुच्चय है। लेकिन f([1, ∞)) = \(\left(0, \frac{1}{2}\right]\) जो \(\mathbb{R}\) में संवृत नहीं है।
विकल्प (4) असत्य है
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Inverse and Implicit Function Theorems Question 2:
U ⊆ ℝn को ℝn का विवृत उपसमुच्चय मानें तथा मानें कि f ∶ U → ℝn एक C∞ - फलन है। यदि हर x ∈ U के लिए, x पर अवकलज dfxनॉन-सिंगुलर हो, तब निम्न में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse and Implicit Function Theorems Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
(1) विकल्प (1) प्रतिलोम प्रतिचित्रण प्रमेय से प्राप्त हुआ।
विकल्प (1) सत्य है
(2) मान लीजिये f∶(0, 1] → \(\mathbb{R}\) ऐसा फलन है कि f(x) = \(\frac{1}{x}\) तब f((0, 1]) = [1, ∞)। लेकिन (0, 1] और [1, ∞) समरूप नहीं हैं।
विकल्प (2) असत्य है
(3) मान लीजिये x = r cos θ और y = r sin θ तब f ∶ (0, ∞) x (-∞, ∞) → \(\mathbb{R}^2\) को इस प्रकार परिभाषित करते हैं f(r, θ) = (x, y).
तब f अवकलनीय है और dfx एकवचन नहीं है लेकिन (r, θ + 2nπ), ∀ n ∈ \(\mathbb{Z}\) का f के अंतर्गत समान प्रतिबिम्ब है।
⇒ f एकैकी नहीं है।
विकल्प (3) असत्य है
मान लीजिये f ∶ \(\mathbb{R}^{+}\) → \(\mathbb{R}\) ऐसा फलन है कि f(x) = \(\frac{1}{1+x^2}\) तब f'(x) ≠ 0, ∀ x ∈ \(\mathbb{R}^{+}\) और [1, ∞) \(\mathbb{R}^{+}\) का संवृत उपसमुच्चय है। लेकिन f([1, ∞)) = \(\left(0, \frac{1}{2}\right]\) जो \(\mathbb{R}\) में संवृत नहीं है।
विकल्प (4) असत्य है