Question
Download Solution PDFex + x = 1 के वास्तविक हल के समुच्चय की गणनीयता क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
किसी फलन \(f(x)\) के क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए हम \(f'(x)\) = 0 रखते हैं।
व्याख्या:
\(e^x + x = 1\)
हम \(x \) के वास्तविक मानों की ज्ञात करने का प्रयास कर रहे हैं जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। आइए इसे \(e^x = 1 - x\) के रूप में लिखते हैं।
वास्तविक हल ज्ञात करने के लिए, हमें उन बिंदुओं की जाँच करने की आवश्यकता है जहाँ ये दो फलन प्रतिच्छेद करते हैं, अर्थात्, जहाँ,
\(e^x = 1 - x\)
चूँकि \(x \to -\infty\) , \(e^x \to 0 \), और \(1 - x \to \infty \) है।
इसलिए, इस क्षेत्र में कोई हल नहीं है।
बड़े धनात्मक \(x\) के लिए:
चूँकि \(x \to \infty\) , \( e^x \to \infty\) , और \(1 - x \to -\infty\) है।
फिर से, इस क्षेत्र में कोई हल नहीं है।
\( x = 0\) के निकट जाँच करें:
\(x = 0 \) पर, \(e^0 + 0 = 1 \), जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
इसलिए, \(x = 0 \) एक हल है।
हम फलन \( f(x) = e^x + x\) के व्यवहार की जाँच कर सकते हैं।
इस फलन का अवकलज \(f'(x) = e^x + 1 \) है।
चूँकि \(e^x + 1 > 0 \) सभी वास्तविक \(x\) के लिए है, फलन निरंतर वर्धमान है। इसलिए, यह केवल \( y = 1\) को एक बिंदु पर पार कर सकता है,
जिसका अर्थ है कि हल \(x = 0 \) एकमात्र वास्तविक हल है।
चूँकि केवल एक वास्तविक हल है, वास्तविक हलों के समुच्चय की गणनीयता 1 है।
इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 2) है।
Last updated on Jul 8, 2025
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