Sum of an infinite GP MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sum of an infinite GP - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग: \(\frac{a}{1-r}\), जहाँ |r| < 1 है

एक गुणोत्तर श्रेणी का दूसरा पद: ar

गणना

दिया गया है, \(\frac{a}{1-r} = 4\)...(1)

यह भी दिया गया है, \(ar = \frac{3}{4}\)...(2)

(1) से, \(a = 4(1-r)\)

(2) में प्रतिस्थापित करने पर,

\(4(1-r)r = \frac{3}{4}\)

⇒ \(4r - 4r^2 = \frac{3}{4}\)

⇒ \(16r - 16r^2 = 3\)

⇒ \(16r^2 - 16r + 3 = 0\)

⇒ \((4r - 3)(4r - 1) = 0\)

⇒ \(r = \frac{3}{4}\) या \(r = \frac{1}{4}\)

यदि \(r = \frac{3}{4}\) है, तो (2) से, \(a(\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \implies a = 1\)

यदि \(r = \frac{1}{4}\) है, तो (2) से, \(a(\frac{1}{4}) = \frac{3}{4} \implies a = 3\)

∴ \(a = 1, r = \frac{3}{4}\) या \(a = 3, r = \frac{1}{4}\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

गणना

\(\sum_{\mathrm{n}=0}^{∞} \mathrm{ar}^{\mathrm{n}}\) = 57

⇒ a + ar + ar² + ∞ = 57

⇒ \(\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}}=57 \rm \quad ...(I)\)

\(\rm \sum_{n=0}^{∞} a^3 r^{3 n}\) = 9747

⇒ a³ + a³. r³ + a³. r⁶ + .... ∞ = 9747

⇒ \(\frac{a^3}{1-r^3}=9747 \rm \quad ...(II)\)

समीकरण (I) और (II) से,

\(\frac{(\mathrm{I})^3}{\text { (II) }} \Rightarrow \frac{\frac{\mathrm{a}^3}{(1-\mathrm{r})^3}}{\frac{\mathrm{a}^3}{1-\mathrm{r}^3}}=\frac{57^3}{9747}=19\)

हल करने पर, r = \(\frac{2}{3}\) और r = \(\frac{3}{2}\) (अस्वीकार)

⇒ a = 19

∴ a + 18r = 19 + 18 × \(\frac{2}{3}\) = 31

अतः विकल्प (4) सही है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

a, ar, ar2, ar3, . . ., arn-1 एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है जहाँ a पहला पद है और r सार्व अनुपात है।

तथा किसी भी द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिए, 

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

गणना:

दिया गया है: tn = tn+1 + tn+2

⇒ arn-1 =  arn + arn+1

⇒ arn-1 = arn-1( r+ r2)

⇒ 1 = r+ r2

⇒ r2 + r -1 = 0

⇒ \(r = \frac{-1± \sqrt{1^2- 4(-1)(1)}}{2}\)

⇒ \(r = \frac{-1± \sqrt{1+ 4}}{2}\)

⇒ \(r = \frac{-1± \sqrt{5}}{2}\)

अतः विकल्प (4) सही उत्तर है।

प्रयुक्त अवधारणा:

a, ar, ar2, ar3, . . ., arn-1 एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है जहाँ a पहला पद है और r सार्व अनुपात है।

तथा किसी भी द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिए, 

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

गणना:

दिया गया है: tn = tn+1 + tn+2

⇒ arn-1 =  arn + arn+1

⇒ arn-1 = arn-1( r+ r2)

⇒ 1 = r+ r2

⇒ r2 + r -1 = 0

⇒ \(r = \frac{-1± \sqrt{1^2- 4(-1)(1)}}{2}\)

⇒ \(r = \frac{-1± \sqrt{1+ 4}}{2}\)

⇒ \(r = \frac{-1± \sqrt{5}}{2}\)

अतः विकल्प (4) सही उत्तर है।

प्रयुक्त संकल्पना:-

संकल्पना:

ज्यामितीय श्रेणी (GP):

• संख्याओं की वह श्रृंखला जहाँ किसी दो क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है, उसे ज्यामितीय श्रेणी कहा जाता है।
• पहला पद a और सार्व अनुपात r के साथ n पदों की ज्यामितीय श्रेणी को निम्न रूप में दर्शाया गया है:

  a, ar, ar2, ar3, ..., arn-2, arn-1।

• GP के पहले n पदों का योग है: S _n = \(\rm a\left(\dfrac{r^n-1}{r-1}\right)\) ।
• GP के ∞ का योग, जब |r| < 1, है: S _∞ = \(\rm \dfrac{a}{1-r}\) ।

गणना:

हम अनंत श्रृंखला \(\rm \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\ ... \infty\) पर विचार करते हैं।

यहां, a = \(\rm \dfrac{1}{3}\) और r = \(\rm \dfrac{\tfrac{1}{9}}{\tfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}\)।

∴ S∞ = \(\rm \dfrac{a}{1-r}=\dfrac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{2}\)।

अब, P = \(\rm 9^{\tfrac{1}{3}} 9^{\tfrac{1}{9}} 9^{\tfrac{1}{27}}\ ...\ \infty\) ।

∴ P = \(\rm 9^{\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{27}+\ ... \infty}=9^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt9=3\) ।

संकल्पना:

ज्यामितीय श्रेणी (GP):

• संख्याओं की उस श्रृंखला को ज्यामितीय श्रेणी कहा जाता है जहाँ किसी दो क्रमागत पदों का अनुपात समान है। 
• पहला पद a और सार्व अनुपात r वाले n पदों की एक ज्यामितीय श्रेणी को निम्न रूप में दर्शाया गया है:

  a, ar, ar2, ar3, ..., arn-2, arn-1.

• एक ज्यामितीय श्रेणी के पहले n पदों का योग निम्न है: Sn = \(\rm a\left(\dfrac{r^n-1}{r-1}\right)\).
• |r| < 1 होने पर एक ज्यामितीय श्रेणी के ∞ का योग निम्न है: S∞ = \(\rm \dfrac{a}{1-r}\).

गणना:

दिया गया है: \(\rm 64^{\tfrac{1}{3}}\cdot 64^{\tfrac{1}{9}}\cdot 64^{\tfrac{1}{27}}\ ...\ \infty\)

\(\rm \rm 64^{(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\ ... \infty)}\)

माना कि अनंत श्रृंखला \(\rm \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\ ... \infty\) है। 

यहाँ, a = \(\rm \dfrac{1}{3}\) और r = \(\rm \dfrac{\tfrac{1}{9}}{\tfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}\).

∴ S∞ = \(\rm \dfrac{a}{1-r}=\dfrac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{2}\).

अब, माना कि P = \(\rm \rm 64^{(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\ ... \infty)}\)  है। 

∴ P = \(\rm 64^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt64=8\)

संकल्पना:

एक अनंत ज्यामितीय श्रेणी का योग S_∞ = \(\rm a\over1-r\)  है। 

जहाँ a श्रृंखला पहला पद है और r सार्व अनुपात है। 

गणना:

दी गयी ज्यामितीय श्रेणी a = 1 और r = cos² x है। 

S = 1 + cos2 x + cos4 x + ....... ∞ = 2 तक 

2 = \(\rm 1\over1-\cos^2x\)

2 = \(\rm 1\over\sin^2x\)

sin² x = \(\rm 1\over2\)

1 - cos² x = \(\rm 1\over2\)

cos2 x = \(\rm 1\over2\)

∴ tan² x = \(\rm \sin^2x\over\cos^2x\)

tan2 x = \({1\over2}\over{1\over2}\) = 1

संकल्पना:

एक अनंत ज्यामितीय श्रेणी का योग निम्न है

S = \(\rm a\over 1-r\)

जहाँ a श्रृंखला का पहला पद है और r सार्व अनुपात है। 

गणना:

दिया गया है: 1 + sin2 θ + sin4 θ + ....∞ = 2

a = 1, r = sin² θ

⇒ \(\rm {1\over 1\ -\ sin^2\ θ} = 2\)                            (∵ 1 - sin² θ = cos² θ)

⇒ \(\rm {1\over{cos^2\ {θ}}} = 2\)

⇒ sec² θ = 2

⇒ sec θ = √2

तो θ = 45° 

संकल्पना:

अनंत ज्यामितीय श्रेणी का योग = \(\rm a\over (1-r)\)

जहाँ a पहली संख्या है और r सार्व अनुपात है। 

गणना:

माना कि सार्व अनुपात 'r' है और पहली संख्या 'a' है। 

प्रश्नानुसार

a = r - 1

अब, ज्यामितीय श्रेणी का योग निम्न है

S = \(\rm a\over (1-r)\)

S = \(\rm r-1\over (1-r)\)

S = -1

प्रयुक्त सूत्र:

अनंत श्रृंखला का योग = \(\frac{a}{(1 - r)}\)

r = a2/a1

a = श्रृंखला का पहला पद

r = उभयनिष्ठ अनुपात

गणना:

49 + 0.3 × 49 + 0.3 × 0.3 × 49 + 0.3 × 0.3 × 0.3 × 49 +...

⇒ 49 (1 + 0.3  + 0.3 × 0.3 + 0.3 × 0.3 × 0.3 +...)  

⇒ 49 (1 + {0.3  + 0.3 × 0.3 + 0.3 × 0.3 × 0.3 +...})   

⇒ 49 (1 + \(\frac{0.3}{(1 - 0.3)}\)) 

⇒ 49 (1 + \(\frac{0.3}{0.7}\))

⇒ 49 (\(\frac{0.7 + 0.3}{0.7}\))

⇒ 49 × \(\frac{1}{0.7}\)

⇒ 70

∴ 49 + 0.3 × 49 + 0.3 × 0.3 × 49 + 0.3 × 0.3 × 0.3 × 49 +... = 70

विकल्प 4, अर्थात् 70 सही उत्तर है।  

संकल्पना:

ज्यामितीय श्रेणी का अनंत योग:

सार्व अनुपात r और पहले पद a वाले एक ज्यामितीय श्रेणी के लिए अनंत पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(S_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}\), जहाँ \(\rm |r| < 1\).

गणना:

माना कि दी गयी श्रृंखला सार्व अनुपात \(\rm r = -\dfrac{1}{2}\)और पहले पद \(\rm a=1\) वाले एक ज्यामितीय श्रेणी है।

इसलिए, अनंत योग निम्न है:

\(\begin{align*} S_{\infty} &= \dfrac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\ &= \dfrac{1}{1+\frac{1}{2}}\\ &= \dfrac{2}{3} \end{align*}\)

अतः दिया गया योग 2/3 के बराबर है।  

संकल्पना:

गुणोत्तर श्रेणी के अनंत पदों का योग, \(S_∞ =\frac{a}{1-r}\)

यहाँ a = गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद और r = उभयनिष्ठ अनुपात।

एक अंकगणितीय ज्यामितीय श्रेणी (AGP) एक प्रगति है जिसमें प्रत्येक पद को समान्तर श्रेणी (AP) और गुणोत्तर श्रेणी (GP) की शर्तों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है।

गणना:

दी गई श्रृंखला \(2 + \frac{3}{2} + 1 + \frac{5}{8} + ....\infty\) है

हम इसे निम्न प्रकार से लिख सकते है \(\frac{2}{1} + \frac{3}{2} + \frac{4}{4} + \frac{5}{8} + ....\infty\)

\({Let}, \ S =\frac{2}{1} + \frac{3}{2} + \frac{4}{4} + \frac{5}{8} + ....\infty\) ---- (i)

अब यदि हम अंश 2, 3, 4, और 5 को देखें, तो यह श्रंखला समान्तर श्रेणी में है, तथा

यदि हम हर 1, 2, 4, 8 को देखें तो यह श्रंखला गुणोत्तर श्रेणी में है

अतः, हम कह सकते हैं कि उपरोक्त श्रृंखला अंकगणितीय ज्यामितीय श्रेणी (A.G.P.) में है।

यहाँ, उभयनिष्ठ अनुपात r = 1/2

उभयनिष्ठ अनुपात 'r' को समीकरण (i) दोनों पक्षों से गुणा करना।

\(S×\frac{1}{2} =\frac{1}{2} (\frac{2}{1} + \frac{3}{2} + \frac{4}{4} + \frac{5}{8} + ....\infty)\)

\(\Rightarrow S×\frac{1}{2} =\frac{1}{2} (\frac{2}{1} + \frac{3}{2} + \frac{4}{4} + \frac{5}{8} + ....\infty)\)

\(\Rightarrow S×\frac{1}{2} =(0+\frac{2}{2} + \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \frac{5}{16} + ....\infty)\) ---- (ii)

समीकरण (ii) को (i) से घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं,

\(\Rightarrow S×\frac{1}{2} =(2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ....\infty)\)

ऊपर से हम देख सकते हैं कि \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ....\infty\) गुणोत्तर श्रेणी के अनंत पदों का योग है

इसलिए,

\(\Rightarrow S×\frac{1}{2} =2 + \frac{a}{1-r}\)

a = 1/2 और r = 1/2

\(\Rightarrow S×\frac{1}{2} =2 + \frac{1/2}{1/2}\)

∴ S = 2 × 3 = 6

संकेत इस समस्या में, क्रांतिक कदम सामान्य अनुपात से गुणा करना और अनुक्रमों को घटाना है, जो हमें इसे एक गुणोत्तर श्रेणी तक कम करने की अनुमति देता है जिससे हम परिचित हैं।

अवधारणा:

GP के अनंत का योग:

यदि GP में पदों की संख्या अनंत नहीं है तो GP को अनंत GP कहा जाता है। दिए गए GP के अनंत का योग प्राप्त करने का सूत्र इस प्रकार है:

\(\rm S_{\infty } = \sum_{n = 1}^{\infty } ar^{n - 1} = \frac{a}{1 - r}; -1 < r < 1 \)

यहाँ,

S∞ = अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग

a = पहला पद

r = सार्व अनुपात

n = पदों की संख्या

गुणोत्तर श्रेणी (GP)

• एक गुणोत्तर श्रेणी एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद को एक निश्चित संख्या द्वारा पूर्ववर्ती पद को गुणा या विभाजित करके सार्व अनुपात कहा जाता है।
• GP का सामान्य रूप a, ar, ar² , ar³ और इसी तरह है।
• GP श्रृंखला का nवां पद T_n = ar^n-1 है , जहां a = पहला पद और r = सार्व अनुपात = T_n /T _-1
• GP के पहले n पदों की गणना करने के लिए लागू किया गया सूत्र इस प्रकार है: \(\rm S_{n } = \frac{a(r^{n }- 1)}{r - 1} \)

गणना:

\(\rm 5^\frac{1}{2} \times 5^\frac{1}{4} \times 5^\frac{1}{8} \times 5^\frac{1}{16} \times ....\)

= \(\rm 5\left (^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + .....} \right )\)

 \(=\rm 5^\left (\frac{{\frac{1}{2}}}{1 - \frac{1}{2}} \right )\)

= 51

= 5

∴ \(\rm 5^\frac{1}{2} \times 5^\frac{1}{4} \times 5^\frac{1}{8} \times 5^\frac{1}{16} \times ....\)  = 5

संकल्पना:

• ज्यामितीय श्रेणी (GP): संख्याओं की वह श्रृंखला जहाँ कोई दो क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है, उसे ज्यामितीय श्रेणी कहा जाता है। 
• पहला पद a और सार्व अनुपात r वाले n पदों की ज्यामितीय श्रेणी को निम्न रूप में दर्शाया गया है:

  a, ar, ar², ar³, ..., ar^n-2, ar^n-1

• ज्यामितीय श्रेणी के पहले n पदों का योग निम्न है: S_n = \(\rm a\left(\frac{r^n-1}{r-1}\right)\).
• यदि |r| < 1 है, तो S_∞ = \(\rm \frac{a}{1-r}\) है। 

गणना:

माना कि ज्यामितीय श्रेणी का पहला पद a और सार्व अनुपात r है। 

प्रश्नानुसार:

S∞ = 2(a + ar)

⇒ \(\rm \frac{a}{1-r}=2a(1+r)\)

⇒ \(\rm (1+r)(1-r)=\frac{1}{2}\)

⇒ \(\rm 1-r^2=\frac{1}{2}\)

⇒ \(\rm r^2=\frac{1}{2}\)

⇒ \(\rm r=\pm\frac{1}{\sqrt2}\)

अतः सार्व अनुपात का संभव मान \(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\) है।