Geometric Progressions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Geometric Progressions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम 8 पदों का योग उसके प्रथम 4 पदों के योग का 5 गुना है।

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों के योग का सूत्र है:

\( S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \)

\( S_8 \)और\( S_4 \) के लिए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

\( a \frac{1 - r^8}{1 - r} = 5 \times a \frac{1 - r^4}{1 - r} \)

\( \frac{1 - r^8}{1 - r^4} = 5 \)

\( r^8 - 5r^4 + 4 = 0 \)

मान लीजिये x = r⁴, जिससे द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:

\( x^2 - 5x + 4 = 0 \)

x के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\( x = 4 \quad \text{या} \quad x = 1 \)

चूँकि x = r⁴, यह देता है:

\( r^4 = 4 \Rightarrow r = \pm \sqrt{2} \)

r के संभावित वास्तविक मानों की संख्या दो है: \(\pm \sqrt{2} \).

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

मान लें कि

\(\rm c_{k}=a_{k}+b_{k} \text { and } \quad a_{1}=b_{1}=4\)

साथ ही \(\mathrm{a}_{2}=4 \mathrm{r}_{1} \quad \mathrm{a}_{3}=4 \mathrm{r}_{1}^{2}\)

\(\mathrm{b}_{2}=4 \mathrm{r}_{2} \quad \mathrm{~b}_{3}=4 \mathrm{r}_{2}^{2}\)

अब c₂ = a₂ + b₂ = 5 और c₃ = a₃ + b₃ = \(\frac{13}{4}\)

⇒ r₁ + r₂ = \(\frac{5}{4}\) और \(\mathrm{r}_{1}^{2}\) + \(\mathrm{r}_{2}^{2}\) = \(\frac{13}{16}\)

इसलिए, r1r2 = \(\frac{3}{8}\)   जिससे r1 = \(\frac{1}{2}\)  और r2 = \(\frac{3}{4}\) प्राप्त होता है। 

\(\sum_{\mathrm{k}=1}^{\infty} \mathrm{c}_{\mathrm{k}}-\left(12 \mathrm{a}_{6}+8 \mathrm{~b}_{4}\right)\)

= \(\rm \frac{4}{1-r_{1}}+\frac{4}{1-r_{2}}-\left(\frac{48}{32}+\frac{27}{2}\right)\)

= 24 – 15 = 9

अतः सही उत्तर 9 है।

गणना:

मान लीजिए कि गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a और सार्व अनुपात r है।

⇒ \(a_3 a_5 = ar^2 \cdot ar^4 = a^2 r^6 = 729 = 3^6 \implies (ar^3)^2 = 3^6 \implies ar^3 = \pm 27\)

साथ ही, \(a_2 + a_4 = ar + ar^3 = \frac{111}{4}\)

\(\textbf{Case 1:} (ar^3 = 27) \)

⇒ \(ar + 27 = \frac{111}{4} \implies ar = \frac{111}{4} - 27 = \frac{3}{4} \)

इस प्रकार, \(ar = \frac{3}{4}, \quad ar^3 = 27\)

⇒ \(\frac{ar^3}{ar} = r^2 = \frac{27}{\frac{3}{4}} = 36 \implies r = \pm 6 \)

यदि r = 6, a = 1/8

यदि r = -6, a = - 1/8

\(\textbf{Case 2:} (ar^3 = -27) \)

⇒ \(ar - 27 = \frac{111}{4} \implies ar = \frac{111}{4} + 27 = \frac{219}{4} \)

⇒ \(r^2 = \frac{ar^3}{ar} = \frac{-27}{\frac{219}{4}} = -\frac{108}{219}\)

यह ऋणात्मक है और पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए इस स्थिति को छोड़ दें।

अब \(24 (a_1 + a_2 + a_3) = 24 (a + ar + ar^2) = 24 a (1 + r + r^2)\)

\(For (a = \frac{1}{8}, r = 6) \)

⇒ \(1 + r + r^2 = 1 + 6 + 36 = 43\)

= \(24 \times \frac{1}{8} \times 43 = 3 \times 43 = 129\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 129 है।

अवधारणा:

समांतर श्रेढ़ी (AP):

• यदि क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर हो तो पद AP में होते हैं।
• सार्व अंतर इस प्रकार दिया जाता है: \(d = q - p = r - q\)

गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP):

• यदि क्रमागत पदों के बीच का अनुपात स्थिर हो तो पद GP में होते हैं।
• सार्व अनुपात इस प्रकार दिया जाता है: \(r = \frac{q}{p} = \frac{r}{q}\)

गणना:

दिया गया है

p = ln(x),

q = ln(x3) = 3 lnx

और r = ln(x5) = 5 lnx

स्पष्ट रूप से, q - p = r - q = \(2lnx\)

⇒ p, q, r समांतर श्रेढ़ी में हैं। 

साथ ही,\(\frac{q}{p} ≠ \frac{r}{q} \because \frac{q}{p} = 3 , \frac{r}{q} = \frac{5}{3}\)

∴ p, q, r कभी भी गुणोत्तर श्रेढ़ी में नहीं हो सकते है। 

∴ विकल्प (c) सही है।

संकल्पना:

ज्यामितीय श्रेणी में पांच पद:

यदि एक ज्यामितीय श्रेणी में पहला पद a है और सार्व अनुपात r है, तो ज्यामितीय श्रेणी में पांच क्रमागत पद रूप \(\rm \dfrac{a}{r^2},\dfrac{a}{r},a,ar,ar^2\) के हैं।

गणना:

माना कि हम सार्व अनुपात r वाली एक सामान्य ज्यामितीय श्रेणी लेते हैं। 

माना कि ज्यामितीय श्रेणी में पांच पद \(\rm \dfrac{a}{r^2},\dfrac{a}{r},a,ar,ar^2\) हैं। 

यह दिया गया है कि तीसरा पद 9 है। 

इसलिए, a = 9.

अब पांच पदों का गुणनफल निम्न दिया गया है:

\(\rm \dfrac{a}{r^2}\times\dfrac{a}{r}\times a\times ar \times ar^2 = a^5\)

लेकिन हम जानते हैं कि a = 9

अतः गुणनफल \(9^5=3^{10}\) है। 

संकल्पना:

• सार्व-अनुपात = r = \(\frac{{{{\rm{a}}_2}}}{{{{\rm{a}}_1}}} = \frac{{{{\rm{a}}_3}}}{{{{\rm{a}}_2}}} = \ldots = \frac{{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{a}}_{{\rm{n}} - 1}}}}\)
• गुणोत्तर श्रेढी का nवाँ पद an = arn−1 है। 
• गुणोत्तर श्रेढी के n पदों का योगफल = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); जहाँ r >1
• गुणोत्तर श्रेढी के n पदों का योगफल = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {1 - {\rm{\;}}{{\rm{r}}^{\rm{n}}}} \right)}}{{1 - {\rm{\;r}}}}\); जहाँ r <1
• अनंत गुणोत्तर श्रेढी का योगफल = \({{\rm{s}}_\infty } = {\rm{\;}}\frac{{\rm{a}}}{{1{\rm{\;}} - {\rm{\;r}}}}{\rm{\;}}\) ; |r| < 1

गणना:

दी गयी शृंखला 5, 10, 20, ... है।  

यहाँ, a = 5, r = 2

n संख्याओं का योगफल = sn = 1275

ज्ञात करना है: चूँकि हम जानते हैं कि, गुणोत्तर श्रेढी के n पदों का योगफल = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); जहाँ r >1

∴ sn = \(\frac{{{\rm{5\;}}\left( {{{\rm{2}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{2}} - {\rm{\;}}1}}\)

1275 = 5 × (2n - 1)

⇒ 255 = (2n - 1)

⇒ 2n = 256

⇒ 2n = 28

∴ n = 8

अवधारणा :

यदि a, b और c गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो b² = ac

गणना:

दिया गया है: संख्याएँ - 2/7, x, - 7/2 गुणोत्तर श्रेणी में हैं

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि a, b और c गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो b2 = ac

यहाँ, a = - 2/7, b = x और c = - 7/2

⇒ x2 = (-2/7) × (-7/2) = 1

⇒ x = ± 1

अत: सही विकल्प 3 है।

संकल्पना:

माना कि अनुक्रम a1, a2, a3 …. an ज्यामितीय श्रेणी है। 

• सार्व अनुपात = r = \(\frac{{{{\rm{a}}_2}}}{{{{\rm{a}}_1}}} = \frac{{{{\rm{a}}_3}}}{{{{\rm{a}}_2}}} = \ldots = \frac{{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{a}}_{{\rm{n}} - 1}}}}\)
• ज्यामितीय श्रेणी का nवां पद an = arn−1 है। 

Sin18o =  \(\frac{\sqrt{5}- 1}{4}\) 

गणना:

हम जानते हैं कि यदि ज्यामितीय श्रेणी का पहला पद 'a' और सार्व अनुपात 'r' है, तो इस स्थिति में ज्यामितीय श्रेणी = a, ar, ar²............ 

चूँकि हमें दिया गया हैं a = ar + ar² 

अब, 1= r + r² 

⇒ r² + r - 1 = 0 

हल करने के बाद हमें r = \(\frac{\sqrt{5}- 1}{2}\)   = 2 ×\( \frac{\sqrt{5}- 1}{4}\) = 2 Sin18° प्राप्त होता है। 

संकल्पना:

ज्यामितीय श्रेणी (GP):

• संख्याओं की वह श्रृंखला जहाँ किसी दो क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है, उसे ज्यामितीय श्रेणी कहा जाता है।
• पहला पद a और सार्व अनुपात r के साथ n पदों की ज्यामितीय श्रेणी को निम्न रूप में दर्शाया गया है:

  a, ar, ar2, ar3, ..., arn-2, arn-1।

• GP के पहले n पदों का योग है: S _n = \(\rm a\left(\dfrac{r^n-1}{r-1}\right)\) ।
• GP के ∞ का योग, जब |r| < 1, है: S _∞ = \(\rm \dfrac{a}{1-r}\) ।

गणना:

हम अनंत श्रृंखला \(\rm \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\ ... \infty\) पर विचार करते हैं।

यहां, a = \(\rm \dfrac{1}{3}\) और r = \(\rm \dfrac{\tfrac{1}{9}}{\tfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}\)।

∴ S∞ = \(\rm \dfrac{a}{1-r}=\dfrac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{2}\)।

अब, P = \(\rm 9^{\tfrac{1}{3}} 9^{\tfrac{1}{9}} 9^{\tfrac{1}{27}}\ ...\ \infty\) ।

∴ P = \(\rm 9^{\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{27}+\ ... \infty}=9^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt9=3\) ।

अवधारणा:

माना कि अनुक्रम a1, a2, a3 …. an G.P. है

• n पद का योग = s = \(\rm \frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}\); जहाँ r >1
• n पद का योग = s = \(\rm \frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}\); जहाँ r <1  

गणना:

पूर्वजों की आवयश्क संख्या

= 2 + 4 + 6 + 8 + ... 8 पदों तक

जैसा कि हम जानते हैं कि G.P. का योग,

S = \(\rm \frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}\)

जहां, a = 2, r = 2 और n = 8

⇒ पूर्वजों की आवश्यक संख्या = \(\rm \frac{2\times \left ( 2^{8}-1\right )}{2-1}\) = \(\rm 2 \times \left ( 2^{8} -1\right )\) = 510

∴ पूर्वजों की आवश्यक संख्या 510 है।

सही विकल्प 4 है।

संकल्पना:

आइए अनुक्रम a1, a2, a3 …. an पर विचार करें, जो कि G.P. है

सार्व अनुपात = r = \(\rm a_2\over a_1 \) = \(\rm a_3\over a_2 \) = \(\rm a_n\over a_{n-1} \)

गणना​:

विचार करना,

(a = 3) G.P श्रृंखला का तीसरा पद हो

तो, हम पाँच शब्दों को इस प्रकार लिख सकते हैं,

\(\rm a\over r^2\) , \(\rm a\over r\) ,a, ar, ar2

तो, पाँच पदों (P) का गुणनफल होगा,

P = \(\rm a\over r^2\) × \(\rm a\over r\)  × a × ar × ar2 = a5

तब से,

a = 3,

∴ पहले पाँच पदों का गुणनफल (P) = 35 = 243

अवधारणा:

ज्यामितीय श्रेणी (GP): संख्याओं की वह श्रृंखला जहाँ किन्हीं दो क्रमागत पदों का अनुपात समान हो, ज्यामितीय श्रेणी कहलाती है।

• प्रथम पद a और सार्व अनुपात r के साथ n पदों की एक ज्यामितीय श्रेणी को इस प्रकार दर्शाया गया है:

  a, ar, ar2, ar3, ..., arn-2, arn-1

• ज्यामितीय श्रेणी के पहले n पदों का योग है:

  Sn = \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) if r > 1  या Sn = \(\frac{a(1 -r^n)}{1-r}\) if r < 1

गणना:

दी गई ज्यामितीय श्रेणी 1 + 3 + 32 + ... के लिए हमारे पास a = 1 और r = 3 हैं।

माना प्रथम n पदों का योग 3280 के बराबर है।

∴ Sn = \(\rm 1\left(\frac{3^n\ -\ 1}{3\ -\ 1}\right)\) = 3280

⇒ \(\rm \left(\frac{3^n\ -\ 1}{2}\right)\) = 3280

⇒ 3n - 1 = 3280 × 2

⇒ 3n - 1 = 6560

⇒ 3n = 6561 = 38

⇒ n = 8.

संकल्पना:

• सार्व अनुपात = r = \(\frac{{{{\rm{a}}_2}}}{{{{\rm{a}}_1}}} = \frac{{{{\rm{a}}_3}}}{{{{\rm{a}}_2}}} = \ldots = \frac{{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{a}}_{{\rm{n}} - 1}}}}\)
• ज्यामितीय श्रेणी का nवां पद an = arn−1 है। 
• ज्यामितीय श्रेणी के n पदों का योग = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); जहाँ r >1
• ज्यामितीय श्रेणी के n पदों का योग = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {1 - {\rm{\;}}{{\rm{r}}^{\rm{n}}}} \right)}}{{1 - {\rm{\;r}}}}\); जहाँ r <1
• अनंत ज्यामितीय श्रेणी का योग = \({{\rm{s}}_\infty } = {\rm{\;}}\frac{{\rm{a}}}{{1{\rm{\;}} - {\rm{\;r}}}}{\rm{\;}}\) ; |r| < 1

गणना:

दी गयी श्रृंखला 4, 8, 16, ... है।

यहाँ, a = 4, r = 2

n संख्याओं का योग = s_n = 2044

ज्ञात करना है: चूँकि हम जानते हैं कि, ज्यामितीय श्रेणी के n पदों का योग = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); जहाँ r >1

∴ sn = \(\frac{{{\rm{4\;}}\left( {{{\rm{2}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{2}} - {\rm{\;}}1}}\)

2044 = 4 × (2ⁿ - 1)

⇒ 511 = (2n - 1)

⇒ 2ⁿ = 512

⇒ 2n = 2⁹

∴ n = 9

संकल्पना:

ज्यामितीय माध्य को n संख्याओं के गुणनफल के nवें मूल के रूप में परिभाषित किया गया है। 

एक आकड़ों के समूह \(\rm {\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}\) का ज्यामितीय माध्य निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm GM = \rm {\textstyle \left\{a_{1}\times a_{2}\times\,\ldots \times\,a_{n}\right\}}^{\frac{1}{n}}\)

गणना:

निम्न का मान ज्ञात करने के लिए: 6, 8, 16 और 27 का ज्यामितीय माध्य

यहाँ n = 4

अब,

 \(\rm GM = \rm ({{6 \times 8 \times 16 \times 27}})^{\frac{1}{4}}\)

\(= \rm ({{2 \times 3 \times 2^3 \times 2^4 \times 3^3}})^{\frac{1}{4}} \\ =(2^8 \times 3^4)^{\frac{1}{4}}\\ = (2^2 \times 3)\\=12\)