Geometric Progressions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Geometric Progressions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 8, 2025
Latest Geometric Progressions MCQ Objective Questions
Geometric Progressions Question 1:
एक गुणोत्तर श्रेणी जिसका प्रथम पद 3 है तथा उसके सभी 2n पदों का योग उसके विषम स्थान पदों के योग का तीन गुणा है, का सार्व अनुपात होगा
Answer (Detailed Solution Below)
Geometric Progressions Question 1 Detailed Solution
Geometric Progressions Question 2:
मान लीजिए कि p = ln(x), q = ln(x3) और r = ln(x5), जहाँ x > 1 है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है?
I. p, q और r समांतर श्रेढ़ी में हैं।
II. p, q और r कभी भी गुणोत्तर श्रेढ़ी में नहीं हो सकते है।
नीचे दिए गए कोड का उपयोग करके उत्तर चुनें।
Answer (Detailed Solution Below)
Geometric Progressions Question 2 Detailed Solution
अवधारणा:
समांतर श्रेढ़ी (AP):
- यदि क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर हो तो पद AP में होते हैं।
- सार्व अंतर इस प्रकार दिया जाता है: \(d = q - p = r - q\)
गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP):
- यदि क्रमागत पदों के बीच का अनुपात स्थिर हो तो पद GP में होते हैं।
- सार्व अनुपात इस प्रकार दिया जाता है: \(r = \frac{q}{p} = \frac{r}{q}\)
गणना:
दिया गया है
p = ln(x),
q = ln(x3) = 3 lnx
और r = ln(x5) = 5 lnx
स्पष्ट रूप से, q - p = r - q = \(2lnx\)
⇒ p, q, r समांतर श्रेढ़ी में हैं।
साथ ही,\(\frac{q}{p} ≠ \frac{r}{q} \because \frac{q}{p} = 3 , \frac{r}{q} = \frac{5}{3}\)
∴ p, q, r कभी भी गुणोत्तर श्रेढ़ी में नहीं हो सकते है।
∴ विकल्प (c) सही है।
Geometric Progressions Question 3:
यदि गुणोत्तर श्रेणी (GP) के पहले तीन पदों का योगफल और गुणनफल क्रमशः 78 और 5832 है, तो अवरोही गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Geometric Progressions Question 3 Detailed Solution
दिया गया है:
गुणोत्तर श्रेणी (GP) के पहले तीन पदों का योग और गुणनफल क्रमशः 78 और 5832 है।
प्रयुक्त संकल्पना:
गुणोत्तर श्रेणी के पहले तीन पद a, ar, ar2......
गणना:
माना कि अवरोही गुणोत्तर श्रेणी निम्न है
ar2, ar, a, a/r .....
प्रश्न के अनुसार,
a × ar × ar2 = 5832
a3r3 = 5832
ar = 18 -----(1)
ar + a + ar2 = 78
⇒ 18 + a + 18r = 78
⇒ a + 18r = 78 - 18 = 60
समीकरण (1) से, a = 18/r
⇒ 18/r + 18r = 60
⇒ 3/r + 3r = 10
⇒ 3r2 - 10r + 3 = 0
⇒ 3r2 - 9r - r + 3 = 0
⇒ 3r(r - 3) - 1(r - 3) = 0
⇒ (r - 3)(3r - 1) = 0
⇒ r = 3, 1/3
समीकरण (1) से,
यदि r = 3 तब a = 6
इसलिए, चौथा पद
a/r = 6/3 = 2
∴ अभीष्ट उत्तर 2 है।
Additional Informationयदि r = 1/3 तब a = 54
a/r = 54/1/3 = 162
जो कि किसी भी विकल्प में नहीं दिया गया है।
Geometric Progressions Question 4:
माना कि a1, a2, a3 ..... एक बढ़ते हुए धनात्मक पदों का गुणोत्तर श्रेणी है। यदि a1a5 = 28 और a2 + a4 = 29 है, तो a6 बराबर है:
Answer (Detailed Solution Below)
Geometric Progressions Question 4 Detailed Solution
गणना
a1 .a5 = 28 ⇒ a.ar4 = 28 ⇒ a2 r4 = 28 …(1)
a2 + a4 = 29 ⇒ ar + ar3 = 29
⇒ ar(1 + r2) = 29
a2 r2 (1 + r2)2 = (29)2 …(2)
समीकरण (1) और (2) से
\(\frac{\mathrm{r}^{2}}{\left(1+\mathrm{r}^{2}\right)^{2}}=\frac{28}{29 \times 29}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{r}}{1+\mathrm{r}^{2}}=\frac{\sqrt{28}}{29} \Rightarrow \mathrm{r}=\sqrt{28}\)
∵ a2 r4 = 28 ⇒ a2 x (28)2 = 28
⇒ \(a=\frac{1}{\sqrt{28}}\)
इसलिए, \(a_{6}=a r^{5}=\frac{1}{\sqrt{28}} \times(28)^{2} \sqrt{28}=784\)
अतः विकल्प 3 सही है।
Geometric Progressions Question 5:
\( 1 - \frac{2}{3} + \frac{2.4}{3.6} - \frac{2.4.6}{3.6.9} + \dots + \infty = \)
Answer (Detailed Solution Below)
Geometric Progressions Question 5 Detailed Solution
गणना:
\( 1 - \frac{2}{3} + \frac{2.4}{3.6} - \frac{2.4.6}{3.6.9} + \dots + \infty = \)
⇒ \(1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n)}{3^n (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n)} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{3^n}\)
\( = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{2}{3}\right)^n\)
यह अब एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसका प्रथम पद \(a = -\frac{2}{3}\) और सार्व अनुपात \(r = -\frac{2}{3}\) है।
एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग \(\frac{a}{1-r}\) द्वारा दिया जाता है, बशर्ते \(|r| < 1\).
योग = 1 + \(\frac{\frac{-2}{3}}{1-\frac{-2}{3}} = 1 + \frac{\frac{-2}{3}}{\frac{5}{3}}\)
योग \( = 1 + \left(-\frac{2}{5}\right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\)
∴ श्रेणी का योग \(\frac{3}{5}\) है।
अतः विकल्प 1 सही है।
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एक ज्यामितीय श्रेणी का तीसरा पद 9 है। तो इसके पहले पांच पदों का गुणनफल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Geometric Progressions Question 6 Detailed Solution
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ज्यामितीय श्रेणी में पांच पद:
यदि एक ज्यामितीय श्रेणी में पहला पद a है और सार्व अनुपात r है, तो ज्यामितीय श्रेणी में पांच क्रमागत पद रूप \(\rm \dfrac{a}{r^2},\dfrac{a}{r},a,ar,ar^2\) के हैं।
गणना:
माना कि हम सार्व अनुपात r वाली एक सामान्य ज्यामितीय श्रेणी लेते हैं।
माना कि ज्यामितीय श्रेणी में पांच पद \(\rm \dfrac{a}{r^2},\dfrac{a}{r},a,ar,ar^2\) हैं।
यह दिया गया है कि तीसरा पद 9 है।
इसलिए, a = 9.
अब पांच पदों का गुणनफल निम्न दिया गया है:
\(\rm \dfrac{a}{r^2}\times\dfrac{a}{r}\times a\times ar \times ar^2 = a^5\)
लेकिन हम जानते हैं कि a = 9
अतः गुणनफल \(9^5=3^{10}\) है।
यदि गुणोत्तर श्रेढी 5, 10, 20, ... की n संख्याओं का योगफल 1275 है, तब n का मान कितना है?
Answer (Detailed Solution Below)
Geometric Progressions Question 7 Detailed Solution
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माना कि अनुक्रम a1, a2, a3 …. an एक गुणोत्तर श्रेढी है।- सार्व-अनुपात = r = \(\frac{{{{\rm{a}}_2}}}{{{{\rm{a}}_1}}} = \frac{{{{\rm{a}}_3}}}{{{{\rm{a}}_2}}} = \ldots = \frac{{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{a}}_{{\rm{n}} - 1}}}}\)
- गुणोत्तर श्रेढी का nवाँ पद an = arn−1 है।
- गुणोत्तर श्रेढी के n पदों का योगफल = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); जहाँ r >1
- गुणोत्तर श्रेढी के n पदों का योगफल = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {1 - {\rm{\;}}{{\rm{r}}^{\rm{n}}}} \right)}}{{1 - {\rm{\;r}}}}\); जहाँ r <1
- अनंत गुणोत्तर श्रेढी का योगफल = \({{\rm{s}}_\infty } = {\rm{\;}}\frac{{\rm{a}}}{{1{\rm{\;}} - {\rm{\;r}}}}{\rm{\;}}\) ; |r| < 1
गणना:
दी गयी शृंखला 5, 10, 20, ... है।
यहाँ, a = 5, r = 2
n संख्याओं का योगफल = sn = 1275
ज्ञात करना है: चूँकि हम जानते हैं कि, गुणोत्तर श्रेढी के n पदों का योगफल = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); जहाँ r >1
∴ sn = \(\frac{{{\rm{5\;}}\left( {{{\rm{2}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{2}} - {\rm{\;}}1}}\)
1275 = 5 × (2n - 1)
⇒ 255 = (2n - 1)
⇒ 2n = 256
⇒ 2n = 28
∴ n = 8
x के किन संभावित मान के लिए संख्याएँ - 2/7, x, - 7/2 गुणोत्तर श्रेणी में हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Geometric Progressions Question 8 Detailed Solution
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यदि a, b और c गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो b2 = ac
गणना:
दिया गया है: संख्याएँ - 2/7, x, - 7/2 गुणोत्तर श्रेणी में हैं
जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि a, b और c गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो b2 = ac
यहाँ, a = - 2/7, b = x और c = - 7/2
⇒ x2 = (-2/7) × (-7/2) = 1
⇒ x = ± 1
अत: सही विकल्प 3 है।
धनात्मक पदों की एक ज्यामितीय श्रेणी में यदि प्रत्येक पद अगले दो पदों के योग के बराबर है। तो ज्यामितीय श्रेणी का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Geometric Progressions Question 9 Detailed Solution
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माना कि अनुक्रम a1, a2, a3 …. an ज्यामितीय श्रेणी है।
- सार्व अनुपात = r = \(\frac{{{{\rm{a}}_2}}}{{{{\rm{a}}_1}}} = \frac{{{{\rm{a}}_3}}}{{{{\rm{a}}_2}}} = \ldots = \frac{{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{a}}_{{\rm{n}} - 1}}}}\)
- ज्यामितीय श्रेणी का nवां पद an = arn−1 है।
Sin18o = \(\frac{\sqrt{5}- 1}{4}\)
गणना:
हम जानते हैं कि यदि ज्यामितीय श्रेणी का पहला पद 'a' और सार्व अनुपात 'r' है, तो इस स्थिति में ज्यामितीय श्रेणी = a, ar, ar2............
चूँकि हमें दिया गया हैं a = ar + ar2
अब, 1= r + r2
⇒ r2 + r - 1 = 0
हल करने के बाद हमें r = \(\frac{\sqrt{5}- 1}{2}\) = 2 ×\( \frac{\sqrt{5}- 1}{4}\) = 2 Sin18° प्राप्त होता है।
\(\rm 9^{\tfrac{1}{3}} 9^{\tfrac{1}{9}} 9^{\tfrac{1}{27}}\ ...\ \infty\)का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Geometric Progressions Question 10 Detailed Solution
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ज्यामितीय श्रेणी (GP):
- संख्याओं की वह श्रृंखला जहाँ किसी दो क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है, उसे ज्यामितीय श्रेणी कहा जाता है।
- पहला पद a और सार्व अनुपात r के साथ n पदों की ज्यामितीय श्रेणी को निम्न रूप में दर्शाया गया है:
a, ar, ar2, ar3, ..., arn-2, arn-1।
- GP के पहले n पदों का योग है: S n = \(\rm a\left(\dfrac{r^n-1}{r-1}\right)\) ।
- GP के ∞ का योग, जब |r| < 1, है: S ∞ = \(\rm \dfrac{a}{1-r}\) ।
गणना:
हम अनंत श्रृंखला \(\rm \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\ ... \infty\) पर विचार करते हैं।
यहां, a = \(\rm \dfrac{1}{3}\) और r = \(\rm \dfrac{\tfrac{1}{9}}{\tfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}\)।
∴ S∞ = \(\rm \dfrac{a}{1-r}=\dfrac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{2}\)।
अब, P = \(\rm 9^{\tfrac{1}{3}} 9^{\tfrac{1}{9}} 9^{\tfrac{1}{27}}\ ...\ \infty\) ।
∴ P = \(\rm 9^{\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{27}+\ ... \infty}=9^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt9=3\) ।
एक व्यक्ति के 2 माता-पिता, 4 दादा-दादी, 8 परदादा - दादी और इसी तरह आगे भी है। तो उसके स्वयं के पिछले आठवीं पीढ़ी के दौरान पूर्वजों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Geometric Progressions Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
माना कि अनुक्रम a1, a2, a3 …. an G.P. है
- n पद का योग = s = \(\rm \frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}\); जहाँ r >1
- n पद का योग = s = \(\rm \frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}\); जहाँ r <1
गणना:
पूर्वजों की आवयश्क संख्या
= 2 + 4 + 6 + 8 + ... 8 पदों तक
जैसा कि हम जानते हैं कि G.P. का योग,
S = \(\rm \frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}\)
जहां, a = 2, r = 2 और n = 8
⇒ पूर्वजों की आवश्यक संख्या = \(\rm \frac{2\times \left ( 2^{8}-1\right )}{2-1}\) = \(\rm 2 \times \left ( 2^{8} -1\right )\) = 510
∴ पूर्वजों की आवश्यक संख्या 510 है।
सही विकल्प 4 है।
एक ज्यामितीय श्रेणी का तीसरा पद 3 है। इसके पहले पांच पदों का गुणनफल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Geometric Progressions Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
आइए अनुक्रम a1, a2, a3 …. an पर विचार करें, जो कि G.P. है
सार्व अनुपात = r = \(\rm a_2\over a_1 \) = \(\rm a_3\over a_2 \) = \(\rm a_n\over a_{n-1} \)
गणना:
विचार करना,
(a = 3) G.P श्रृंखला का तीसरा पद हो
तो, हम पाँच शब्दों को इस प्रकार लिख सकते हैं,
\(\rm a\over r^2\) , \(\rm a\over r\) ,a, ar, ar2
तो, पाँच पदों (P) का गुणनफल होगा,
P = \(\rm a\over r^2\) × \(\rm a\over r\) × a × ar × ar2 = a5
तब से,
a = 3,
∴ पहले पाँच पदों का गुणनफल (P) = 35 = 243
श्रृंखला 1 + 3 + 32 + ... के लिए n पदों का योग 3280 है। n का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Geometric Progressions Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
ज्यामितीय श्रेणी (GP): संख्याओं की वह श्रृंखला जहाँ किन्हीं दो क्रमागत पदों का अनुपात समान हो, ज्यामितीय श्रेणी कहलाती है।
- प्रथम पद a और सार्व अनुपात r के साथ n पदों की एक ज्यामितीय श्रेणी को इस प्रकार दर्शाया गया है:
a, ar, ar2, ar3, ..., arn-2, arn-1
- ज्यामितीय श्रेणी के पहले n पदों का योग है:
Sn = \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) if r > 1 या Sn = \(\frac{a(1 -r^n)}{1-r}\) if r < 1
गणना:
दी गई ज्यामितीय श्रेणी 1 + 3 + 32 + ... के लिए हमारे पास a = 1 और r = 3 हैं।
माना प्रथम n पदों का योग 3280 के बराबर है।
∴ Sn = \(\rm 1\left(\frac{3^n\ -\ 1}{3\ -\ 1}\right)\) = 3280
⇒ \(\rm \left(\frac{3^n\ -\ 1}{2}\right)\) = 3280
⇒ 3n - 1 = 3280 × 2
⇒ 3n - 1 = 6560
⇒ 3n = 6561 = 38
⇒ n = 8.
यदि ज्यामितीय श्रेणी 4, 8, 16, ... में n संख्याओं का योग 2044 है तो n का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Geometric Progressions Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
माना कि अनुक्रम a1, a2, a3 …. an एक ज्यामितीय श्रेणी है।- सार्व अनुपात = r = \(\frac{{{{\rm{a}}_2}}}{{{{\rm{a}}_1}}} = \frac{{{{\rm{a}}_3}}}{{{{\rm{a}}_2}}} = \ldots = \frac{{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{a}}_{{\rm{n}} - 1}}}}\)
- ज्यामितीय श्रेणी का nवां पद an = arn−1 है।
- ज्यामितीय श्रेणी के n पदों का योग = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); जहाँ r >1
- ज्यामितीय श्रेणी के n पदों का योग = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {1 - {\rm{\;}}{{\rm{r}}^{\rm{n}}}} \right)}}{{1 - {\rm{\;r}}}}\); जहाँ r <1
- अनंत ज्यामितीय श्रेणी का योग = \({{\rm{s}}_\infty } = {\rm{\;}}\frac{{\rm{a}}}{{1{\rm{\;}} - {\rm{\;r}}}}{\rm{\;}}\) ; |r| < 1
गणना:
दी गयी श्रृंखला 4, 8, 16, ... है।
यहाँ, a = 4, r = 2
n संख्याओं का योग = sn = 2044
ज्ञात करना है: चूँकि हम जानते हैं कि, ज्यामितीय श्रेणी के n पदों का योग = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); जहाँ r >1
∴ sn = \(\frac{{{\rm{4\;}}\left( {{{\rm{2}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{2}} - {\rm{\;}}1}}\)
2044 = 4 × (2n - 1)
⇒ 511 = (2n - 1)
⇒ 2n = 512
⇒ 2n = 29
∴ n = 9
6, 8, 16 और 27 का ज्यामितीय माध्य क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Geometric Progressions Question 15 Detailed Solution
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ज्यामितीय माध्य को n संख्याओं के गुणनफल के nवें मूल के रूप में परिभाषित किया गया है।
एक आकड़ों के समूह \(\rm {\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}\) का ज्यामितीय माध्य निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
\(\rm GM = \rm {\textstyle \left\{a_{1}\times a_{2}\times\,\ldots \times\,a_{n}\right\}}^{\frac{1}{n}}\)
गणना:
निम्न का मान ज्ञात करने के लिए: 6, 8, 16 और 27 का ज्यामितीय माध्य
यहाँ n = 4
अब,
\(\rm GM = \rm ({{6 \times 8 \times 16 \times 27}})^{\frac{1}{4}}\)
\(= \rm ({{2 \times 3 \times 2^3 \times 2^4 \times 3^3}})^{\frac{1}{4}} \\ =(2^8 \times 3^4)^{\frac{1}{4}}\\ = (2^2 \times 3)\\=12\)