Equation of Circle MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Equation of Circle - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है

वृत्त का समीकरण है

(x2 - 4x + 3) + (y2 - 6y + 8) = 0

⇒ (x - 3) (x - 1) + (y - 4) (y - 2)= 0

इसलिए व्यास के संभावित सिरे (3, 4), (3, 2), (1, 4) और (1, 2) हैं।

इसके अलावा, त्रिज्या = √2

केंद्र = (2,3)

इसलिए व्यास के आवश्यक जोड़े के सिरे हैं (I) (1, 2) और (3, 4) और (II) (1, 4) और (3, 2).

∴ विकल्प (a) सही है।

दिया गया है:

वृत्त का केंद्र (h, k) = (−3, 2)

वृत्त का क्षेत्रफल = 176 इकाई²

प्रयुक्त सूत्र:

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

जहाँ, वृत्त की त्रिज्या r

मानक रूप में वृत्त का समीकरण

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

जहाँ, (h,k) वृत्त का केंद्र है।

गणना:

⇒ 176 = πr²

⇒ r² = 176 / π

अतः वृत्त का समीकरण है

(x + 3)² + (y - 2)² = 176 / π

π = 22/7 का उपयोग करने पर 

(x + 3)² + (y - 2)² = 176 × (7/22)

∴ (x + 3)² + (y - 2)² = 56

गणना:

दिया गया दीर्घवृत्त है: 9x² + 16y² = 144

इसे दीर्घवृत्त के मानक समीकरण से तुलना करने पर:

\(\frac{x²}{a²} + \frac{y²}{b²} = 1\), हमें प्राप्त होता है:

⇒ a² = 16 और b² = 9.

⇒ a = 4 और b = 3.

दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता (e) निम्न द्वारा दी जाती है:

⇒ \(e = √(1 - \frac{b²}{a²}) = √(1 - \frac{9}{16}) = \frac{\sqrt{7}}{4}\)

दीर्घवृत्त की नाभियाँ (±ae, 0) हैं, जो इस स्थिति में (±√7, 0) हैं।

केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण है:

⇒ (x - h)² + (y - k)² = r²

यहाँ, केंद्र (2, -1) है

त्रिज्या केंद्र (2, -1) और किसी एक नाभि (√7, 0) के बीच की दूरी है

⇒ r = √[(2 - √7)² + (-1 - 0)²] = √(4 - 4√7 + 7 + 1) = √(12 - 4√7)

अब, वृत्त के समीकरण में h, k, और r के मान प्रतिस्थापित करने पर:

⇒ (x - 2)² + (y + 1)² = 12 - 4√7

⇒ x² - 4x + 4 + y² + 2y + 1 = 12 - 4√7

⇒ x² + y² - 4x + 2y - 7 + 4√7 = 0

इसलिए, विकल्प (1) सही उत्तर है।

प्रयुक्त अवधारणा:

वृत्त का समीकरण: (x - h)² + (y - k)² = r²

यदि वृत्त x-अक्ष को स्पर्श करता है, तो त्रिज्या = |k|

गणना

मान लीजिए वृत्त का केंद्र (h, k) है।

चूँकि वृत्त x-अक्ष को स्पर्श करता है, इसलिए त्रिज्या r = k

वृत्त का समीकरण: (x - h)² + (y - k)² = k²

दिया गया है कि केंद्र x + y = 3 पर स्थित है, इसलिए h + k = 3 है।

h = 3 - k

वृत्त (1, 1) से गुजरता है:

(1 - h)² + (1 - k)² = k²

⇒ (1 - (3 - k))² + (1 - k)² = k²

⇒ (1 - 3 + k)² + (1 - k)² = k²

⇒ (k - 2)² + (1 - k)² = k²

⇒ k² - 4k + 4 + 1 - 2k + k² = k²

⇒ k² - 6k + 5 = 0

⇒ (k - 1)(k - 5) = 0

k = 1 या k = 5

यदि k = 1, h = 3 - 1 = 2

यदि k = 5, h = 3 - 5 = -2

चूँकि केंद्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है, h > 0 और k > 0 है।

इसलिए, k = 1 और h = 2 है।

केंद्र: (2, 1) 

त्रिज्या: 1

वृत्त का समीकरण: (x - 2)² + (y - 1)² = 1²

x² - 4x + 4 + y² - 2y + 1 = 1

x² + y² - 4x - 2y + 4 = 0

∴ वृत्त का समीकरण x² + y² - 4x - 2y + 4 = 0 है।

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

गणना:

विकल्प में दिए गए सभी वृत्त के समीकरण का केंद्र \((0,3)\) पर है।

अब, दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता, e \(=\sqrt {1-\dfrac {b^2}{a^2}}\)

⇒ e \(=\sqrt{1-(9/16)}=\sqrt {7}/4 \)

\(⇒ \) दीर्घवृत्त की नाभियाँ \(=(\pm ae,0)=(4\times \sqrt{7}/4, 0)=(\pm\sqrt{7},0)\)

त्रिज्या \(=\sqrt{(\sqrt{7}-0)^{2}+(0-3)^{2}}=\sqrt{7+9} =4 \).

इसलिए, वृत्त का समीकरण है:

⇒ \((x-0)^2 +(y-3)^2 = 4^2 =16 \)

⇒ \(x^2 +y^2-6y-7=0\)

अतः विकल्प 4 सही है। 

दिया है 

केंद्र बिंदु (1, -2) हैं

त्रिज्या = 4सेमी

प्रयुक्त सूत्र 

(x -a)2 + (y - b)2 = r2

जहाँ, a और b केंद्र पर बिंदु हैं

r = त्रिज्या

x और y वृत्त पर कोई बिंदु हैं

गणना

सूत्र में a, b और r का मान रखने पर 

(x-1)2 + (y + 2)2  = 16

⇒ x2 + 1 - 2x + y2 + 4 + 4y = 16

⇒ x2 + y2 - 2x + 4y = 11

अवधारणा:

यदि(x1, y1) और (x2, y2) एक वृत्त के व्यास के अंतिम बिंदु हैं तो ऐसे वृत्त का समीकरण है (x – x1) ⋅ (x – x2) + (y – y1) (y – y2) = 0

गणना:

दिया गया: एक वृत्त के व्यास के अंतिम बिंदु A (3, 2) और B (2, 5)हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि(x1, y1) और (x2, y2) एक वृत्त के व्यास के अंतिम बिंदु हैं तो ऐसे वृत्त का समीकरण है (x – x1) ⋅ (x – x2) + (y – y1) (y – y2) = 0

यहां, x1 = 3, y1 = 2, x2 = 2 और y2 = 5

⇒ (x - 3) ⋅ (x - 2) + (y - 2) ⋅ (y - 5) = 0

⇒ x2 + y2 - 5x - 7y + 16 = 0

तो, आवश्यक वृत्त का समीकरण है: x2 + y2 - 5x - 7y + 16 = 0

इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।

अवधारणा:

O(a, b) पर केंद्र और त्रिज्या r वाले एक वृत्त का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है: (x - a)2 + (y - b)2 = r2

गणना:

दिए गए केंद्र और त्रिज्या वाले वृत्त के समीकरण के सूत्र का उपयोग करके हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:

(x - 2)2 + (y + 3)2 = 52

⇒ (x2 - 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 25

⇒ x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0

संकल्पना:

(h, k) पर केंद्र और त्रिज्या 'r' वाले वृत्त का समीकरण निम्न है

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

गणना:

हम जानते हैं कि (h, k) पर केंद्र और त्रिज्या 'r' वाले वृत्त का समीकरण निम्न है

(x - h)² + (y - k)² = r²

यहाँ, केंद्र (h, k) = (2, - 3) और त्रिज्या r = 5 इकाई। 

इसलिए, (2, - 3) पर केंद्र और त्रिज्या 5 इकाई वाले एक वृत्त का समीकरण निम्न है 

(x - 2)2 + (y + 3)2 = 52

⇒\(\rm x^2 - 4x + 4 + y^2 +6y +9 = 25\)

⇒\(\rm x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \)

अतः (2, - 3) पर केंद्र और त्रिज्या 5 इकाई वाले एक वृत्त का समीकरण \(\rm x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \) है। 

अवधारणा :

(h, k) पर केंद्र और त्रिज्या r इकाइयों के साथ वृत्त का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है: (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

गणना :

यहां, हमें एक वृत्त का समीकरण ज्ञात करना है जिसका केंद्र (2, - 1) है और जो बिंदु (3, 6) से होकर गुजरता है

माना कि आवश्यक वृत्त की त्रिज्या r इकाइयाँ है

जैसा कि हम जानते हैं कि, (h, k) पर केंद्र और त्रिज्या r इकाइयों के साथ वृत्त का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है: (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

यहाँ, हमारे पास h = 2 और k = - 1 है

⇒ (x - 2) ² + (y + 1) ² = r ² ------------- (1)

∵ वृत्त बिंदु (3, 6) से गुजरता है

तो, x = 3 और y = 6 समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा

⇒ (3 - 2)2 + (6 + 1)2 = r2

⇒ r2 = 50

तो, आवश्यक वृत्त का समीकरण (x - 2) 2 + (y + 1) 2 = 50 है

⇒ x ² + y ² - 4x + 2y - 45 = 0

तो, वृत्त का आवश्यक समीकरण x 2 + y 2 - 4x + 2y - 45 = 0 है

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।

संकल्पना:

केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण (x – h)² + (y – k)² = r² है।

गणना

यहां, वृत्त दोनों अक्षों को स्पर्श करता है। माना यह (a, 0) और (0, a) पर स्पर्श करते हैं, इसलिए केंद्र (a, a) होगा

अब, त्रिज्या = a = 5

तो, केंद्र = (5, 5) और त्रिज्या = 5

अब, केंद्र (5, 5) और त्रिज्या 5 वाले वृत्त का समीकरण

(x - 5)² + (y - 5)² = 5²

⇒ x2 + 25 - 10x + y2 + 25 - 10y = 25

⇒ x² + y² - 10x - 10y + 25 = 0

इसलिए, विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

एक वृत्त का मानक समीकरण:

\(\rm (x-h)^2+(y-k)^2=R^2\)

जहाँ केंद्र (h, k) और त्रिज्या R है। 

सूचना: व्यासों का प्रतिच्छेदन वृत्त का केंद्र है। 

वृत्त पर एक बिंदु और केंद्र के बीच की दूरी वृत्त की त्रिज्या है। 

2 बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) के बीच की दूरी निम्न है:

D = \(\rm \sqrt{(y_2-y_1)^2 + (x_2 -x_1)^2}\)

रेखा ax + by + c = 0 से एक बिंदु (x₁, y₁)  की लंबवत दूरी

D = \(\rm \left|ax_1+by_1+c\over\sqrt{a^2+b^2}\right|\)

गणना:

दिया गया है वृत्त x और y अक्ष दोनों को स्पर्श करता है अर्थात् x और y अक्ष वृत्त की स्पर्श रेखाएं हैं। 

x - अक्ष का समीकरण y = 0 है। 

त्रिज्या स्पर्श रेखा (y = 0) से केंद्र (-2, -2) की लंबवत दूरी है। 

त्रिज्या r = \(\rm \left|ax_1+by_1+c\over\sqrt{a^2+b^2}\right|\)

⇒ r = \(\rm \left|0\times(-2)+1\times(-2)+0\over\sqrt{0^2+1^2}\right|\)

⇒ r = |-2| = 2

केंद्र (-2, -2) और त्रिज्या r = 2 वाले वृत्त का समीकरण निम्न है:

\(\rm (x-h)^2+(y-k)^2=R^2\)

⇒ (x-(-2))² + (y-(-2))² = 2² 

⇒ x² + y² + 4x + 4y + 8 = 4

⇒ x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0

संकल्पना:

एक वृत्त के समीकरण का सामान्य रूप निम्न है:

x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0

वृत्त का केंद्र (-g, -f) है।

वृत्त की त्रिज्या \(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) है।

गणना:

हमारे पास x2 + y2  - 4x - 4y + 4 = 0 है

इसकी तुलना वृत्त के सामान्य समीकरण से करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

g = -2, f = -2 और c = 4

∴ वृत्त की त्रिज्या = \(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)

\(⇒ \sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}-4}\)

\(⇒ \sqrt{4+4-4}\)

⇒ 2

अत: वृत्त की त्रिज्या 2 है।

संकल्पना:

केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण निम्न है

 (x – h) ² + (y – k) ² = r²  

गणना:

दिया गया है, वृत्त का केंद्र ( 3, 2) और त्रिज्या 7 इकाई है।

हम जानते हैं कि, वृत्त का समीकरण (x – h) 2 + (y – k) 2 = r2 है। 

( x - 3 )² + ( y - 2 )² = 7² 

⇒ x²+ 9 - 6x + y²+ 4 - 4y = 49 

⇒ x² + y²- 6x - 4y - 36 = 0

∴ सही विकल्प 2 है। 

संकल्पना:

यदि वृत्त का केंद्र (h, k) है और यह वृत्त पर स्वेच्छ बिंदु P (x, y) से होकर गुजरता है, तो वृत्त की त्रिज्या,

| CP | = r = \(\rm \sqrt{\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}}\)  

केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण निम्न है 

(x – h) 2 + (y – k) 2 = r2   

गणना:

माना कि C (2, -3) दिए गए वृत्त का केंद्र है और माना कि यह बिंदु P (3, 4) से होकर गुजरता है। तो वृत्त की त्रिज्या

| CP | = r = \(\rm \sqrt{\left ( 3-2 \right )^{2}+\left ( 4+3 \right )^{2}}\) = \(\sqrt{50}\) 

∴ वृत्त का आवश्यक समीकरण निम्न है,

( x - 2 )2 + ( y + 3 )2 =  ( \(\sqrt{50}\) )² 

⇒ x² + y² - 4x + 6y - 37 = 0 

सही विकल्प 4 है।