Equation of Circle MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Equation of Circle - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 11, 2025
Latest Equation of Circle MCQ Objective Questions
Equation of Circle Question 1:
एक वृत्त का समीकरण है
(x2 - 4x + 3) + (y2 - 6y + 8) = 0
निम्नलिखित में से कौन से कथन सही हैं?
I. वृत्त के व्यास के अंत बिंदु (1, 2) और (3, 4) पर हैं।
II. वृत्त के व्यास के अंत बिंदु (1, 4) और (3, 2) पर हैं।
III. वृत्त के व्यास के अंत बिंदु (2, 4) और (4, 2) पर हैं।
नीचे दिए गए कोड का उपयोग करके उत्तर चुनें।
Answer (Detailed Solution Below)
Equation of Circle Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है
वृत्त का समीकरण है
(x2 - 4x + 3) + (y2 - 6y + 8) = 0
⇒ (x - 3) (x - 1) + (y - 4) (y - 2)= 0
इसलिए व्यास के संभावित सिरे (3, 4), (3, 2), (1, 4) और (1, 2) हैं।
इसके अलावा, त्रिज्या = √2
केंद्र = (2,3)
इसलिए व्यास के आवश्यक जोड़े के सिरे हैं (I) (1, 2) और (3, 4) और (II) (1, 4) और (3, 2).
∴ विकल्प (a) सही है।
Equation of Circle Question 2:
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र (−3, 2) है और क्षेत्रफल 176 इकाई2 है।
Answer (Detailed Solution Below)
Equation of Circle Question 2 Detailed Solution
दिया गया है:
वृत्त का केंद्र (h, k) = (−3, 2)
वृत्त का क्षेत्रफल = 176 इकाई2
प्रयुक्त सूत्र:
वृत्त का क्षेत्रफल = πr2
जहाँ, वृत्त की त्रिज्या r
मानक रूप में वृत्त का समीकरण
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
जहाँ, (h,k) वृत्त का केंद्र है।
गणना:
⇒ 176 = πr2
⇒ r2 = 176 / π
अतः वृत्त का समीकरण है
(x + 3)2 + (y - 2)2 = 176 / π
π = 22/7 का उपयोग करने पर
(x + 3)2 + (y - 2)2 = 176 × (7/22)
∴ (x + 3)2 + (y - 2)2 = 56
Equation of Circle Question 3:
दीर्घवृत्त 9x² + 16y² = 144 के नाभि बिंदुओं से गुजरने वाले और जिसका केंद्र (2, -1) है, वृत्त का समीकरण है:
Answer (Detailed Solution Below)
Equation of Circle Question 3 Detailed Solution
गणना:
दिया गया दीर्घवृत्त है: 9x² + 16y² = 144
इसे दीर्घवृत्त के मानक समीकरण से तुलना करने पर:
\(\frac{x²}{a²} + \frac{y²}{b²} = 1\), हमें प्राप्त होता है:
⇒ a² = 16 और b² = 9.
⇒ a = 4 और b = 3.
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता (e) निम्न द्वारा दी जाती है:
⇒ \(e = √(1 - \frac{b²}{a²}) = √(1 - \frac{9}{16}) = \frac{\sqrt{7}}{4}\)
दीर्घवृत्त की नाभियाँ (±ae, 0) हैं, जो इस स्थिति में (±√7, 0) हैं।
केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण है:
⇒ (x - h)² + (y - k)² = r²
यहाँ, केंद्र (2, -1) है
त्रिज्या केंद्र (2, -1) और किसी एक नाभि (√7, 0) के बीच की दूरी है
⇒ r = √[(2 - √7)² + (-1 - 0)²] = √(4 - 4√7 + 7 + 1) = √(12 - 4√7)
अब, वृत्त के समीकरण में h, k, और r के मान प्रतिस्थापित करने पर:
⇒ (x - 2)² + (y + 1)² = 12 - 4√7
⇒ x² - 4x + 4 + y² + 2y + 1 = 12 - 4√7
⇒ x² + y² - 4x + 2y - 7 + 4√7 = 0
इसलिए, विकल्प (1) सही उत्तर है।
Equation of Circle Question 4:
वह वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष को स्पर्श करता है, बिंदु (1, 1) से गुजरता है और जिसका केंद्र प्रथम चतुर्थांश में रेखा x + y = 3 पर स्थित है।
Answer (Detailed Solution Below)
Equation of Circle Question 4 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
वृत्त का समीकरण: (x - h)2 + (y - k)2 = r2
यदि वृत्त x-अक्ष को स्पर्श करता है, तो त्रिज्या = |k|
गणना
मान लीजिए वृत्त का केंद्र (h, k) है।
चूँकि वृत्त x-अक्ष को स्पर्श करता है, इसलिए त्रिज्या r = k
वृत्त का समीकरण: (x - h)2 + (y - k)2 = k2
दिया गया है कि केंद्र x + y = 3 पर स्थित है, इसलिए h + k = 3 है।
h = 3 - k
वृत्त (1, 1) से गुजरता है:
(1 - h)2 + (1 - k)2 = k2
⇒ (1 - (3 - k))2 + (1 - k)2 = k2
⇒ (1 - 3 + k)2 + (1 - k)2 = k2
⇒ (k - 2)2 + (1 - k)2 = k2
⇒ k2 - 4k + 4 + 1 - 2k + k2 = k2
⇒ k2 - 6k + 5 = 0
⇒ (k - 1)(k - 5) = 0
k = 1 या k = 5
यदि k = 1, h = 3 - 1 = 2
यदि k = 5, h = 3 - 5 = -2
चूँकि केंद्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है, h > 0 और k > 0 है।
इसलिए, k = 1 और h = 2 है।
केंद्र: (2, 1)
त्रिज्या: 1
वृत्त का समीकरण: (x - 2)2 + (y - 1)2 = 12
x2 - 4x + 4 + y2 - 2y + 1 = 1
x2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0
∴ वृत्त का समीकरण x2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0 है।
इसलिए, विकल्प 2 सही है।
Equation of Circle Question 5:
दीर्घवृत्त \(\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1\) के नाभियों से गुजरने वाले और केंद्र \((0,3)\) वाले वृत्त का समीकरण है:
Answer (Detailed Solution Below)
Equation of Circle Question 5 Detailed Solution
गणना:
विकल्प में दिए गए सभी वृत्त के समीकरण का केंद्र \((0,3)\) पर है।
अब, दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता, e \(=\sqrt {1-\dfrac {b^2}{a^2}}\)
⇒ e \(=\sqrt{1-(9/16)}=\sqrt {7}/4 \)
\(⇒ \) दीर्घवृत्त की नाभियाँ \(=(\pm ae,0)=(4\times \sqrt{7}/4, 0)=(\pm\sqrt{7},0)\)
वृत्त का केंद्र \((0,3)\) है,त्रिज्या \(=\sqrt{(\sqrt{7}-0)^{2}+(0-3)^{2}}=\sqrt{7+9} =4 \).
इसलिए, वृत्त का समीकरण है:
⇒ \((x-0)^2 +(y-3)^2 = 4^2 =16 \)
⇒ \(x^2 +y^2-6y-7=0\)
अतः विकल्प 4 सही है।
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केंद्र (1, -2) और त्रिज्या 4 सेमी वाले वृत्त का समीकरण है:
Answer (Detailed Solution Below)
Equation of Circle Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया है
केंद्र बिंदु (1, -2) हैं
त्रिज्या = 4सेमी
प्रयुक्त सूत्र
(x -a)2 + (y - b)2 = r2
जहाँ, a और b केंद्र पर बिंदु हैं
r = त्रिज्या
x और y वृत्त पर कोई बिंदु हैं
गणना
सूत्र में a, b और r का मान रखने पर
(x-1)2 + (y + 2)2 = 16
⇒ x2 + 1 - 2x + y2 + 4 + 4y = 16
⇒ x2 + y2 - 2x + 4y = 11
किसी वृत्त के समीकरण का पता लगाएं जिसके व्यासों के अंतिम बिंदु A (3, 2) और B (2, 5) हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Equation of Circle Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
यदि(x1, y1) और (x2, y2) एक वृत्त के व्यास के अंतिम बिंदु हैं तो ऐसे वृत्त का समीकरण है (x – x1) ⋅ (x – x2) + (y – y1) (y – y2) = 0
गणना:
दिया गया: एक वृत्त के व्यास के अंतिम बिंदु A (3, 2) और B (2, 5)हैं।
जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि(x1, y1) और (x2, y2) एक वृत्त के व्यास के अंतिम बिंदु हैं तो ऐसे वृत्त का समीकरण है (x – x1) ⋅ (x – x2) + (y – y1) (y – y2) = 0
यहां, x1 = 3, y1 = 2, x2 = 2 और y2 = 5
⇒ (x - 3) ⋅ (x - 2) + (y - 2) ⋅ (y - 5) = 0
⇒ x2 + y2 - 5x - 7y + 16 = 0
तो, आवश्यक वृत्त का समीकरण है: x2 + y2 - 5x - 7y + 16 = 0
इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र (2, -3) और त्रिज्या 5 हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Equation of Circle Question 8 Detailed Solution
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O(a, b) पर केंद्र और त्रिज्या r वाले एक वृत्त का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है: (x - a)2 + (y - b)2 = r2
गणना:
दिए गए केंद्र और त्रिज्या वाले वृत्त के समीकरण के सूत्र का उपयोग करके हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
(x - 2)2 + (y + 3)2 = 52
⇒ (x2 - 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 25
⇒ x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0
(2, - 3) पर केंद्र और त्रिज्या 5 इकाई वाले एक वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Equation of Circle Question 9 Detailed Solution
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(h, k) पर केंद्र और त्रिज्या 'r' वाले वृत्त का समीकरण निम्न है
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
गणना:
हम जानते हैं कि (h, k) पर केंद्र और त्रिज्या 'r' वाले वृत्त का समीकरण निम्न है
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
यहाँ, केंद्र (h, k) = (2, - 3) और त्रिज्या r = 5 इकाई।
इसलिए, (2, - 3) पर केंद्र और त्रिज्या 5 इकाई वाले एक वृत्त का समीकरण निम्न है
(x - 2)2 + (y + 3)2 = 52
⇒\(\rm x^2 - 4x + 4 + y^2 +6y +9 = 25\)
⇒\(\rm x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \)
अतः (2, - 3) पर केंद्र और त्रिज्या 5 इकाई वाले एक वृत्त का समीकरण \(\rm x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \) है।
एक वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र (2, - 1) है और जो बिंदु (3, 6) से होकर गुजरता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Equation of Circle Question 10 Detailed Solution
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(h, k) पर केंद्र और त्रिज्या r इकाइयों के साथ वृत्त का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है: (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2
गणना :
यहां, हमें एक वृत्त का समीकरण ज्ञात करना है जिसका केंद्र (2, - 1) है और जो बिंदु (3, 6) से होकर गुजरता है
माना कि आवश्यक वृत्त की त्रिज्या r इकाइयाँ है
जैसा कि हम जानते हैं कि, (h, k) पर केंद्र और त्रिज्या r इकाइयों के साथ वृत्त का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है: (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2
यहाँ, हमारे पास h = 2 और k = - 1 है
⇒ (x - 2) 2 + (y + 1) 2 = r 2 ------------- (1)
∵ वृत्त बिंदु (3, 6) से गुजरता है
तो, x = 3 और y = 6 समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा
⇒ (3 - 2)2 + (6 + 1)2 = r2
⇒ r2 = 50
तो, आवश्यक वृत्त का समीकरण (x - 2) 2 + (y + 1) 2 = 50 है
⇒ x 2 + y 2 - 4x + 2y - 45 = 0
तो, वृत्त का आवश्यक समीकरण x 2 + y 2 - 4x + 2y - 45 = 0 है
इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।
वृत्त का वह समीकरण क्या होगा जो दोनों अक्षों को स्पर्श करता है और त्रिज्या 5 है?
Answer (Detailed Solution Below)
Equation of Circle Question 11 Detailed Solution
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केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण (x – h)2 + (y – k)2 = r2 है।
गणना
यहां, वृत्त दोनों अक्षों को स्पर्श करता है। माना यह (a, 0) और (0, a) पर स्पर्श करते हैं, इसलिए केंद्र (a, a) होगा
अब, त्रिज्या = a = 5
तो, केंद्र = (5, 5) और त्रिज्या = 5
अब, केंद्र (5, 5) और त्रिज्या 5 वाले वृत्त का समीकरण
(x - 5)2 + (y - 5)2 = 52
⇒ x2 + 25 - 10x + y2 + 25 - 10y = 25
⇒ x2 + y2 - 10x - 10y + 25 = 0
इसलिए, विकल्प (2) सही है।
x - अक्ष और y - अक्ष दोनों को स्पर्श करने वाले और (-2, -2) पर केंद्र वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Equation of Circle Question 12 Detailed Solution
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एक वृत्त का मानक समीकरण:
\(\rm (x-h)^2+(y-k)^2=R^2\)
जहाँ केंद्र (h, k) और त्रिज्या R है।
सूचना: व्यासों का प्रतिच्छेदन वृत्त का केंद्र है।
वृत्त पर एक बिंदु और केंद्र के बीच की दूरी वृत्त की त्रिज्या है।
2 बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) के बीच की दूरी निम्न है:
D = \(\rm \sqrt{(y_2-y_1)^2 + (x_2 -x_1)^2}\)
रेखा ax + by + c = 0 से एक बिंदु (x1, y1) की लंबवत दूरी
D = \(\rm \left|ax_1+by_1+c\over\sqrt{a^2+b^2}\right|\)
गणना:
दिया गया है वृत्त x और y अक्ष दोनों को स्पर्श करता है अर्थात् x और y अक्ष वृत्त की स्पर्श रेखाएं हैं।
x - अक्ष का समीकरण y = 0 है।
त्रिज्या स्पर्श रेखा (y = 0) से केंद्र (-2, -2) की लंबवत दूरी है।
त्रिज्या r = \(\rm \left|ax_1+by_1+c\over\sqrt{a^2+b^2}\right|\)
⇒ r = \(\rm \left|0\times(-2)+1\times(-2)+0\over\sqrt{0^2+1^2}\right|\)
⇒ r = |-2| = 2
केंद्र (-2, -2) और त्रिज्या r = 2 वाले वृत्त का समीकरण निम्न है:
\(\rm (x-h)^2+(y-k)^2=R^2\)
⇒ (x-(-2))2 + (y-(-2))2 = 22
⇒ x2 + y2 + 4x + 4y + 8 = 4
⇒ x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0
यदि समीकरण x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 एक वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है, तो इसकी त्रिज्या ___ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Equation of Circle Question 13 Detailed Solution
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एक वृत्त के समीकरण का सामान्य रूप निम्न है:
x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0
वृत्त का केंद्र (-g, -f) है।
वृत्त की त्रिज्या \(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) है।
गणना:
हमारे पास x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 है
इसकी तुलना वृत्त के सामान्य समीकरण से करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
g = -2, f = -2 और c = 4
∴ वृत्त की त्रिज्या = \(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)
\(⇒ \sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}-4}\)
\(⇒ \sqrt{4+4-4}\)
⇒ 2
अत: वृत्त की त्रिज्या 2 है।
केंद्र ( 3, 2) और त्रिज्या 7 इकाई वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Equation of Circle Question 14 Detailed Solution
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केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण निम्न है
(x – h) 2 + (y – k) 2 = r2
गणना:
दिया गया है, वृत्त का केंद्र ( 3, 2) और त्रिज्या 7 इकाई है।
हम जानते हैं कि, वृत्त का समीकरण (x – h) 2 + (y – k) 2 = r2 है।
( x - 3 )2 + ( y - 2 )2 = 72
⇒ x2+ 9 - 6x + y2+ 4 - 4y = 49
⇒ x2 + y2- 6x - 4y - 36 = 0
∴ सही विकल्प 2 है।
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र (2, -3) है और जो बिंदु (3, 4) से होकर गुजरता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Equation of Circle Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
यदि वृत्त का केंद्र (h, k) है और यह वृत्त पर स्वेच्छ बिंदु P (x, y) से होकर गुजरता है, तो वृत्त की त्रिज्या,
| CP | = r = \(\rm \sqrt{\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}}\)
केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण निम्न है
(x – h) 2 + (y – k) 2 = r2
गणना:
माना कि C (2, -3) दिए गए वृत्त का केंद्र है और माना कि यह बिंदु P (3, 4) से होकर गुजरता है। तो वृत्त की त्रिज्या
| CP | = r = \(\rm \sqrt{\left ( 3-2 \right )^{2}+\left ( 4+3 \right )^{2}}\) = \(\sqrt{50}\)
∴ वृत्त का आवश्यक समीकरण निम्न है,
( x - 2 )2 + ( y + 3 )2 = ( \(\sqrt{50}\) )2
⇒ x2 + y2 - 4x + 6y - 37 = 0
सही विकल्प 4 है।