Chord of Contact MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Chord of Contact - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

वृत्त x2 + y2 = a2 और रेखा y = mx + c के प्रतिच्छेदन के लिए

 ⇒ x 2 + (mx + c)2 = a2 

⇒ (1 + m²)x2 + 2mcx + c2 - a2 = 0

मान लीजिए x1 और x2 इस समीकरण के मूल हैं,

⇒ (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂

⇒ (x1 - x2)2 = \((-{2mc \over 1+m^2 } )^2 - 4{c^2 -a^2 \over 1 + m^2}\) __(1)

और चूँकि y = mx + c

⇒ y₁ - y₂ = m(x₁ - x₂) __(2)

⇒ जीवा की लंबाई = \(\sqrt {(x_1-x_2)^2 +(y_1-y_2)^2 }\)

(2) का मान रखने पर,

⇒ 2b = \(\sqrt {(x_1-x_2)^2 +m^2(x_1-x_2)^2 }\)

⇒ \(4b^2 = {(x_1-x_2)^2(1 +m^2) }\)

(1) का मान रखने पर,

⇒ \(4b^2 = {[(-{2mc \over 1+m^2 } )^2 - 4{c^2 -a^2 \over 1 + m^2}](1 +m^2) }\)

⇒ \(4b^2 = {[{4m^2 c^2\over 1+m^2 } - 4{(c^2 -a^2)}] }\)

⇒ \(b^2 (1+m^2)= {[{m^2 c^2 } - (1+m^2){(c^2 -a^2)}] }\)

⇒ \((b^2 +c^2 - a^2)(1+m^2)= m^2 c^2 \)

⇒ \((a^2 - b^2 )(1+m^2)= c^2\)

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिए गए वृत्त, (x - a)² + y2 = a² और x² + (y - b)² = b²

⇒ x² - 2ax + y² = 0 और x2 + y2 - 2by = 0 

 वृत्त का प्रतिच्छेदन

⇒ ax = by 

⇒ \({b^2 } y^2 -2a^2by + a^2y^2 = 0\)

⇒ y = 0, \(2a^2b \over a^2 + b^2\) तथा x = 0, \(2ab^2 \over a^2 + b^2\)

तो प्रतिच्छेदन के बिंदु (0,0) तथा (\(2ab^2 \over a^2 + b^2\), \(2a^2b \over a^2 + b^2\)) हैं

उभयनिष्ठ जीवा इन दो बिंदुओं से गुजरने वाली जीवा होगी

⇒ उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई = \(\sqrt {({2ab^2 \over a^2 + b^2} - 0)^2 + ({2a^2b \over a^2 + b^2} - 0)^2}\)

⇒उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई = \(\frac{2ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिए गए वृत्त, (x - a)² + y2 = a² और x² + (y - b)² = b²

⇒ x² - 2ax + y² = 0 और x2 + y2 - 2by = 0 

 वृत्त का प्रतिच्छेदन

⇒ ax = by 

⇒ \({b^2 } y^2 -2a^2by + a^2y^2 = 0\)

⇒ y = 0, \(2a^2b \over a^2 + b^2\) तथा x = 0, \(2ab^2 \over a^2 + b^2\)

तो प्रतिच्छेदन के बिंदु (0,0) तथा (\(2ab^2 \over a^2 + b^2\), \(2a^2b \over a^2 + b^2\)) हैं

उभयनिष्ठ जीवा इन दो बिंदुओं से गुजरने वाली जीवा होगी

⇒ उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई = \(\sqrt {({2ab^2 \over a^2 + b^2} - 0)^2 + ({2a^2b \over a^2 + b^2} - 0)^2}\)

⇒उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई = \(\frac{2ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

वृत्त x2 + y2 = a2 और रेखा y = mx + c के प्रतिच्छेदन के लिए

 ⇒ x 2 + (mx + c)2 = a2 

⇒ (1 + m²)x2 + 2mcx + c2 - a2 = 0

मान लीजिए x1 और x2 इस समीकरण के मूल हैं,

⇒ (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂

⇒ (x1 - x2)2 = \((-{2mc \over 1+m^2 } )^2 - 4{c^2 -a^2 \over 1 + m^2}\) __(1)

और चूँकि y = mx + c

⇒ y₁ - y₂ = m(x₁ - x₂) __(2)

⇒ जीवा की लंबाई = \(\sqrt {(x_1-x_2)^2 +(y_1-y_2)^2 }\)

(2) का मान रखने पर,

⇒ 2b = \(\sqrt {(x_1-x_2)^2 +m^2(x_1-x_2)^2 }\)

⇒ \(4b^2 = {(x_1-x_2)^2(1 +m^2) }\)

(1) का मान रखने पर,

⇒ \(4b^2 = {[(-{2mc \over 1+m^2 } )^2 - 4{c^2 -a^2 \over 1 + m^2}](1 +m^2) }\)

⇒ \(4b^2 = {[{4m^2 c^2\over 1+m^2 } - 4{(c^2 -a^2)}] }\)

⇒ \(b^2 (1+m^2)= {[{m^2 c^2 } - (1+m^2){(c^2 -a^2)}] }\)

⇒ \((b^2 +c^2 - a^2)(1+m^2)= m^2 c^2 \)

⇒ \((a^2 - b^2 )(1+m^2)= c^2\)

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

गणना:

⇒ \(\rm x^{2}+y^{2}-\frac{(1+a) x}{2}-\frac{(1-a) y}{2}=0\)

\(\text { केंद्र }\left(\frac{1+\mathrm{a}}{4}, \frac{1-\mathrm{a}}{4}\right) \Rightarrow(\mathrm{h}, \mathrm{k})\)

\(\mathrm{P}\left(\frac{1+\mathrm{a}}{2}, \frac{1-\mathrm{a}}{2}\right) \Rightarrow(2 \mathrm{~h}, 2 \mathrm{k})\)

जीवा का समीकरण ⇒ T = S₁

⇒ \((\mathrm{x}-\mathrm{y}) λ-\frac{2 \mathrm{~h}(\mathrm{x}+λ)}{2}-\frac{(2 \mathrm{k})(\mathrm{y}-λ)}{2}\)

= 2λ² - 2h(λ) + 2kλ

अब, λ(2h, 2k) जीवा को संतुष्ट करता है

∴ (2h - 2k)λ - h(x + λ) - k(y − λ)

⇒ 2λ² + 4kλ - 4hλ + hλ - kλ + hx + ky = 0

⇒ 2λ2 + λ(3k - 3h) + ky + hx = 0

⇒ D > 0

⇒ 9(k - h)² - 8(ky + hx) > 0

⇒ 9(k - h)2 - 8(k² + 2h²) > 0

⇒ -7k² - 7h² - 18kh > 0

⇒ 7k² + 7h² + 18kh < 0

⇒ \(7\left(\frac{1-\mathrm{a}}{4}\right)^{2}+7\left(\frac{1+\mathrm{a}}{4}\right)^{2}+18\left(\frac{1-\mathrm{a}^{2}}{16}\right)<0\)

⇒ \(7\left[\frac{2\left(1+\mathrm{a}^{2}\right)}{16}\right]+\frac{18\left(1-\mathrm{a}^{2}\right)}{16}<0, \quad \mathrm{a}^{2}=\mathrm{t} \)

⇒ \(\frac{7}{8}(1+t)+\frac{18(1-t)}{16}<0\)

⇒ \(\frac{14+14 t+18-18 t}{16}<0\)

⇒ 4t > 32

⇒ t > 8 ⇒ a² > 8 → \((8, \infty)\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

परिणाम:

दी गई रेखा \(ax + by = 0\) (जहाँ \(a \neq b\)) और वृत्त \(x^2 + y^2 - 2x = 0 \)

इनके प्रतिच्छेदन बिंदु \(A(\alpha,0)\) और \(B(1,\beta) \) हैं।

वृत्त में \(y=0\) रखने पर: \(\alpha^2 - 2\alpha = 0\), इसलिए \(\alpha=0\) (क्योंकि \(a\neq0\)). इस प्रकार \(A=(0,0) \)

अब वृत्त में \(x=1\) रखने पर: \(1 + \beta^2 - 2 = 0\implies \beta^2 = 1 \) चूँकि \(a\neq b\), हम \(\beta=1\) लेते हैं, इसलिए \(B=(1,1) \)

AB को व्यास मानकर बनाए गए वृत्त का केंद्र \(\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr)\) और त्रिज्या \(r=\tfrac{\sqrt2}{2} \) है।

इसका समीकरण है \((x-\tfrac12)^2 + (y-\tfrac12)^2 = \tfrac12 \)

रेखा \(x+y+2=0 \) के सापेक्ष केंद्र का प्रतिबिम्ब ज्ञात करते हैं। चिह्नित दूरी गुणांक \(d=\frac{\tfrac12+\tfrac12+2}{1+1}=\tfrac32 \) है, इसलिए प्रतिबिम्बित केंद्र \(\bigl(\tfrac12-2d,\tfrac12-2d\bigr)=\bigl(-\tfrac52,-\tfrac52\bigr).\) है।

त्रिज्या \(\tfrac{\sqrt2}{2} \) ही रहेगी। इसलिए प्रतिबिम्बित वृत्त है

\(\bigl(x+\tfrac52\bigr)^2 + \bigl(y+\tfrac52\bigr)^2 = \tfrac12\) \(\Longrightarrow x^2 + y^2 + 5x + 5y + 12 = 0.\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।