आव्यूह \(M=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right)\) समीकरण M³ + αM² + βM + 3 = 0 को संतुष्ट करता है, यदि (α, β) हैं:

अवधारणा:

हम अभिलाक्षणिक आव्यूह समीकरण की स्थिति का उपयोग करेंगे जो बताता है कि

• \(det[A-\lambda I]=0\)

व्याख्या:

दिया गया है, \(M=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right)\) समीकरण \(M^3+\alpha M^2+\beta M+3=0\) को संतुष्ट करता है

• \(det[M-\lambda I]=0\)
• \(det \begin{bmatrix} 3-\lambda & -1 & 2 \\[0.3em] -1 & 2-\lambda & 0 \\[0.3em] 2 & 0 & 1-\lambda \end{bmatrix}=0\)
• \((3-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda)-1(1-\lambda)-4(2-\lambda)=0\)
• \((3-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda)-1+\lambda-8+4\lambda=0\)
• \((3-\lambda)(2-3\lambda+\lambda^2)+5\lambda-9=0\)
• \(6-9\lambda+3\lambda^2-2\lambda+3\lambda^2-\lambda^3+5\lambda-9=0\)
• \(-3-6\lambda+6\lambda^2-\lambda^3=0\)
• \(\lambda^3-6\lambda^2+6\lambda+3\)
• इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण \(M^3+\alpha M^2+\beta M+3=0\) से करें
• हमें प्राप्त होता है \(\alpha=-6, \beta=6\)

इसलिए, सही उत्तर \((\alpha,\beta)=(-6,6)\) है।