यदि log₂x + log₂y ≥ 6 तो (x + y) का अल्पतम मान क्या है?

Question

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This question was previously asked in

Official Sr. Teacher Gr II NON-TSP MATHEMATICS (Held on :29 Oct 2018)

Answer 1

अवधारणा:

यदि A संख्या a और b का समांतर माध्य है और इसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है ⇔ \({\rm{A}} = \frac{{{\rm{a\;}} + {\rm{\;b}}}}{2}\)
यदि G संख्या a और b का ज्यामितीय माध्य है और यह निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है ⇔ \({\rm{G}} = \sqrt {{\rm{ab}}} \)
यदि H संख्या a और b का हरात्मक माध्य है और यह निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है ⇔ \({\rm{H}} = \frac{{2{\rm{ab}}}}{{{\rm{a}} + {\rm{b}}}}\)
समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य और हरात्मक माध्य के बीच संबंध

गणना:

दिया हुआ: log₂x + log₂y ≥ 6

⇒ log₂ (xy) ≥ 6 (∵ log m + log n = log mn)

⇒ xy ≥ 2⁶

∴ xy ≥ 64 (If log_x y = p then y = x^p)

माना कि x और y दो धनात्मक संख्याएँ हैं।

जैसा कि हम जानते हैं, AM ≥ GM

\(\Rightarrow \rm \frac{ x + y }{2} \geq \sqrt { x \times y }\)

\(\Rightarrow \rm x + y \geq 2\sqrt { 64 }\\ \therefore \rm x + y \geq 16\)

तो, (x + y) का अल्पतम मान 16 है