यदि cosec θ + cot θ = p है, तो \(\rm\frac{p^2-1}{p^2+1}\) किसके बराबर है?

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)² = a² + 2ab + b²,

sin2 θ+cos² θ = 1 और 1 - sin2 θ = cos² θ

cot θ = cos θ/sin θ और cosec θ = 1/sin θ

और समीकरण a/b = c/d के लिए,

योगांतरानुपात और अंतरानुपात नियम का उपयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

(a + b)/(a - b) = (c + d)/(c - d)

or (a-b)/(a+b) = (c-d)/(c+d)

गणना:

1/sin θ + cos θ/sin θ = p

⇒ (1+cos θ)/sin θ = p/1

दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
(1 + cos θ)²/sin² θ = p²/1

⇒ (1 + cos² θ + 2cos θ)/sin2 θ = p²/1

योगांतरानुपात और अंतरानुपात को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

(1 + cos² θ + 2cos θ - sin2 θ)/(1 + cos² θ + 2cos θ + sin2 θ) = (p²-1)/(p²+1)

⇒ (1 - sin2 θ + cos² θ + 2cos θ )/(1 + cos² θ+ sin2 θ + 2cos θ ) = (p²-1)/(p2+1)

⇒ (cos² θ + cos² θ + 2cos θ )/(1 + 1 + 2cos θ ) = (p²-1)/(p2+1)

⇒ (2cos² θ + 2cos θ )/(2 + 2cos θ ) = (p²-1)/(p2+1)

⇒ 2cos θ(cos θ + 1 )/2(1 + cos θ ) = (p²-1)/(p2+1)

⇒ cos θ = (p²-1)/(p2+1)

इस प्रकार,  (p²-1)/(p2+1) का मान cos θ है।