दोन किंवा अधिक चलांतील रेषीय समीकरण MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Linear Equation in 2 or more Variables - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेल्याप्रमाणे:

दोन विद्यार्थी परीक्षेला बसले.

त्यापैकी एकाला दुसऱ्यापेक्षा 9 गुण जास्त मिळाले.

त्याचे गुण त्यांच्या गुणांच्या बेरजेच्या 56% आहेत.

वापरलेली संकल्पना:

दिलेल्या परिस्थितींचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी आणि अज्ञात गोष्टी सोडवण्यासाठी बीजगणितीय समीकरणे वापरा.

गणना:

कमी गुण मिळवणाऱ्या विद्यार्थ्याचे गुण x मानावेत.

मग, ज्या विद्यार्थ्याने जास्त गुण मिळवले त्याचे गुण x + 9 आहेत.

त्यांच्या गुणांची बेरीज = x + (x + 9) = 2x + 9.

समस्येनुसार, ज्या विद्यार्थ्याने जास्त गुण मिळवले आहेत त्यांचे गुण त्यांच्या गुणांच्या बेरजेच्या 56% आहेत.

⇒ x + 9 = 56/100 × (2x + 9)

⇒ x + 9 = 0.56(2x + 9)

⇒ x + 9 = 1.12x + 5.04

⇒ x + 9 - 1.12x = 5.04

⇒ -0.12x + 9 = 5.04

⇒ -0.12x = 5.04 - 9

⇒ -0.12x = -3.96

⇒ x = -3.96 / -0.12

⇒ x = 33

कमी गुण मिळालेल्या विद्यार्थ्याचे गुण = 33

जास्त गुण मिळवणाऱ्या विद्यार्थ्याचे गुण = 33 + 9 = 42

∴ विद्यार्थ्यांना मिळालेले गुण 33 आणि 42 आहेत.

दिलेले आहे:

रेषीय समीकरणांची जोडी:

5x - 3y = 7

7x + 4y = 18

वापरलेले सूत्र:

a1x + b1y = c1 आणि a2x + b2y = c2 या रेषीय समीकरणांच्या जोडीसाठी:

जर \(\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}\) असेल, तर एकच उकल असते.

गणना:

5x - 3y = 7      ..........(1)

7x + 4y = 18   ..........(2)

⇒ \(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{5}{7}\)

⇒ \(\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{-3}{4}\)

जसे \(\dfrac{5}{7} \ne \dfrac{-3}{4}\), दिलेल्या रेषीय समीकरणांच्या जोडीची एकच उकल आहे.

∴ पर्याय (1) योग्य आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

रेषीय समीकरणे:

1) 2x - y + z = 8

2) x + y - z = 10

3) x + y + 2z = 12

वापरलेले सूत्र:

प्रतिस्थापन किंवा निर्मूलन पद्धतीने सोडवणे.

गणना:

z काढून टाकण्यासाठी (1) आणि (2) बेरीज करा:

(2x - y + z) + (x + y - z) = 8 + 10

⇒ 3x = 18

⇒ x = 6

(2) मध्ये x = 6 ला प्रतिस्थापित करा:

6 + y - z = 10

⇒ y - z = 4 ...(i)

(3) मध्ये x = 6 ला प्रतिस्थापित करा:

6 + y + 2z = 12

⇒ y + 2z = 6 ...(ii)

(i) पासून (ii) वजा करा:

(y + 2z) - (y - z) = 6 - 4

⇒ 3z = 2

⇒ z = 2/3

(i) मध्ये z = 2/3 ला प्रतिस्थापित करा:

y - 2/3 = 4

⇒ y = 4 + 2/3

⇒ y = 14/3

∴ निरसन x = 6, y = 14/3, z = 2/3 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

x + y + z = 6

2x - y + 3z = 14

-x + 2y - z = -2

गणना:

पहिल्या समीकरणापासून, आपण एक चर इतर चलांमध्ये व्यक्त करू शकतो. चला z साठी सोडवूया:

x + y + z = 6

⇒ z = 6 - x - y

z = 6 - x - y हे इतर दोन समीकरणांमध्ये बदलूया:

दुसऱ्या समीकरणासाठी:

2x - y + 3(6 - x - y) = 14

⇒ x + 4y = 4

तिसऱ्या समीकरणासाठी:

-x + 2y - (6 - x - y) = -2

⇒ -x + 2y - 6 + x + y = -2

⇒ 3y = 4

⇒ y = 4/3

आता y = 4/3 हे x + 4y = 4 मध्ये बदलूया:

x + 4(4/3) = 4

⇒ x + 16/3 = 4

⇒ x = 4 - 16/3

⇒ x = 12/3 - 16/3

⇒ x = -4/3

आता x = -4/3 आणि y = 4/3 हे z = 6 - x - y मध्ये बदलूया:

z = 6 - (-4/3) - 4/3

⇒ z = 6 + 4/3 - 4/3

⇒ z = 6

निरसन x = -4/3, y = 4/3, z = 6 आहे.

योग्य उत्तर पर्याय 4 आहे.

दिलेले आहे:

13x - z मधून 2x - 3y + 7z आणि 4z - 5x यांची बेरीज वजा करा.

वापरलेले सूत्र:

(13x - z) - [(2x - 3y + 7z) + (4z - 5x)]

गणना:

(13x - z) - [(2x - 3y + 7z + 4z - 5x)]

⇒ (13x - z) - [2x + 4z - 5x - 3y + 7z]

⇒ (13x - z) - [-3x - 3y + 11z]

⇒ 13x - z + 3x + 3y - 11z

⇒ 16x + 3y - 12z

∴ योग्य उत्तर पर्याय (4) आहे.

माझे सध्याचे वय = x वर्षे आणि माझ्या चुलत भावाचे वय = y वर्षे मानू.

माझ्या सध्याच्या वयाचा तीन-पंचमांश हे माझ्या एका चुलत भावाच्या वयाच्या पाच-षष्ठमांश समान आहे.

⇒ 3x/5 = 5y/6

⇒ 18x = 25y

माझे दहा वर्षांपूर्वीचे वय हे त्याचे चार वर्षांनंतरचे  वय असेल.

⇒ x – 10 = y + 4

⇒ y = x – 14,

⇒ 18x = 25(x – 14)

⇒ 18x = 25x – 350

⇒ 7x = 350

दिलेले आहे

2 मिक्सर + 1 टीव्ही = 700 रुपये

2 टीव्ही + 1 मिक्सर = 980 रुपये

संकल्पना:

ही समस्या समीकरण प्रणाली वापरून सोडवली जाऊ शकते.

निरसन:

2M + T = 700

2T + M = 980

दोन्ही समीकरणांची बेरीज करूया:

2T + M + (2M + T) = 980 + 700 ⇒ T + M = 1680/3 = 560

2T + M = 980

T + T + M = 980

T + 560 = 980

T = 420

त्यामुळे एका टीव्हीची किंमत 420 रुपये आहे.

दिलेले आहे:

x + y = 12, y + z = 15, x + z = 18

गणना:

x + y = 12      ----(1)

y + z = 15      ----(2)

x + z = 18      ----(3)

(1) आणि (2) समीकरणे सोडवून

⇒ x – z = -3      ----(4)

(3) आणि (4) समीकरणे सोडवून

⇒ x = 7.5

x चे मूल्य समीकरण (1) मध्ये ठेवून

⇒ y = 4.5

y चे मूल्य समीकरण (2) मध्ये ठेवून

⇒ z = 10.5

x + y + z

⇒ 7.5 + 4.5 + 10.5

⇒ 22.5

∴ x + y + z चे मूल्य 22.5 आहे.

Shortcut Trick

(1), (2) आणि (3) यांची बेरीज करा

⇒ 2(x + y + z) = 45     

⇒ (x + y + z) = 45/2 = 22.5

∴ x + y + z चे मूल्य 22.5 आहे.

दिलेले आहे:

(x + y) : (y + z) : (z + x) = 11 : 13 : 16 आणि x + y + z = 200

गणना:

(x + y) चे मूल्य = 11x 

(y + z) चे मूल्य = 13x

(z + x) चे मूल्य = 16x 

तिन्ही समीकरणांची बेरीज करा

⇒ x + y + y + z + z + x = 40x

⇒ 2(x + y + z) = 40x

⇒ (x + y + z) = 20x

प्रश्नानुसार,

⇒ 20x = 200

⇒ x = 10

आता,

(x + y) चे मूल्य = 11 × 10 = 110 

प्रश्नानुसार,

⇒ (x + y + z) - (x + y) = 200 - 110

⇒ z = 90

∴ 'z' चलाचे मूल्य 90 आहे.

⇒ समीकरणांचे उतार सारखे असताना त्यांना कोणतेही समाधान नसते

⇒ समीकरणाचा उतार 1 = - 14/8 = - 7/4

⇒ समीकरण 2 = 21/k चा उतार

⇒ तर, 21/k = - 7/4

∴ k चे मूल्य - 12 आहे.

वापरलेली संकल्पना:

x आणि y या दोन चलांमधील रेखीय समीकरणांच्या जोडीचा विचार करा.

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

येथे  a1, b1, c1, a2, b2, c2 या सर्व वास्तविक संख्या आहेत.

लक्षात ठेवा, a12 + b12 ≠ 0, a22 + b22 ≠ 0

जर (a1/a2) = (b1/b2) ≠ (c1/c2), तर कोणतेही समाधान होणार नाही.

गणना:

जेव्हा दोन समीकरणांना कोणतेही समाधान नसते तेव्हा समांतर समीकरण प्रणाली वापरून,

मग,

⇒  6/15 = -5/k

⇒ k = -25/2

दिल्याप्रमाणे:

3 समीकरणे, a(a + b + c) = 126, b(a + b + c) = 147 आणि c(a + b + c) = 168

गणना:

तिनही समीकरणांची बेरीज केल्यास, (a + b + c) (a + b + c) = 126 + 147 + 168

⇒ (a + b + c)² = 441

⇒ (a + b + c) = 21

गणना:

x + 1/y = 3      ----(1) 

y + 1/z = 2      ----(2) 

z + 1/x = 4      ----(3)

समीकरण (1), (2) आणि (3) यांची बेरीज करुन.

⇒ x + y + z + 1/x + 1/y + 1/z = 9      ----(4)

आता समीकरण (1), (2) आणि (3) यांचा गुणाकार करुन

⇒ (x + 1/y) × (y + 1/z) × (z + 1/x) = 3 × 2 × 4

⇒ (xy + x/z + 1 + 1/zy)(z + 1/x) = 24

⇒ (xyz + y + x + 1/z + z + 1/x + 1/y + 1/xyz) = 24

⇒ [xyz + (1/xyz) + x + y + z + 1/x + 1/y + 1/z] = 24

⇒ xyz + 1/xyz + 9 = 24 

⇒ xyz + 1/xyz = 24 – 9 = 15

∴ उत्तर 15 आहे

संख्या x आणि y असू द्या

दिलेल्या डेटावरून, आम्हाला मिळते

⇒ 2 (x - y) = x + y

केस १

जेव्हा, x = 15

⇒ 2 (15 - y) = 15 + y

⇒ 30 - 2y = 15 + y

⇒ 15 = 3y

⇒ y = 5

केस 2

जेव्हा, y = 15

⇒ 2 (x - y) = x + y

⇒ 2 (x - 15) = x + 15

⇒ 2x - 30 = x + 15

⇒ x = 45

∴ दुसरी संख्या 5 किंवा 45 आहे

गोंधळाचे मुद्दे प्रश्नात दुसरी संख्या शोधण्यास सांगितले जाते आणि इतर संख्या 5 किंवा 45 असू शकतात.

पहिल्या क्रमांकाबद्दल विचारले जात नाही म्हणून 15 आणि 45 हे बरोबर उत्तर नाही.

श्री. X ने केलेले चुकीचे प्रश्न प्रयत्न करा

उजवा प्रश्न = (100 – a)

प्रश्नानुसार

⇒ (100 – a) × 4 – a × 1 = 340

⇒ 400 – 4a – a = 340

⇒ 5a = 400 – 340 = 60

⇒ 5a = 400 – 340 = 60

⇒ a = 60/5 = 12