Trigonometric Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometric Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

• ज्या फलन का परिसर: ज्या फलन का आउटपुट हमेशा −1 और 1 के बीच होता है, अर्थात्, सभी वास्तविक θ के लिए sin(θ) ∈ [−1, 1]।
• द्विघात फलन: ax2 + bx + c के रूप का द्विघात फलन एक परवलय का प्रतिनिधित्व करता है। यदि a > 0, तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है, और इसका न्यूनतम मान x = −b / 2a पर होता है।
• मुख्य विचार: यह पता लगाने के लिए कि sin(व्यंजक) = द्विघात के लिए कितने हल मौजूद हैं, हम यह निर्धारित करते हैं कि x के कितने मान द्विघात व्यंजक को [−1, 1] के भीतर रखते हैं।

गणना:

दिया गया है,

\(\sin (\frac{\pi x }{3\sqrt{2}}) = x^2-4x+6 \)

माना f(x) = x2 − 4x + 6

f(x) का न्यूनतम मान इस पर होता है:

x = 4 / 2 = 2

⇒ f(2) = (2)2 − 4x2 + 6 = 4 − 8 + 6 = 2

चूँकि परवलय ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए f(x) का परिसर [2, ∞) है

लेकिन, sin(θ) ∈ [−1, 1]

⇒ समीकरण के हल तभी होंगे जब x2 − 4x + 6 ∈ [−1, 1]

लेकिन सभी x के लिए f(x) ≥ 2, और 2 > 1

⇒ x का कोई भी मान f(x) ∈ [−1, 1] को संतुष्ट नहीं करता है

∴ वास्तविक हलों की संख्या शून्य है।

गणना:

दिया गया,

\(x = \sec\theta - \cos\theta\)

\(y = \sec^4\theta - \cos^4\theta\)

हम पहले से जानते हैं:

\(\displaystyle \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2} = \frac{16\,(y^{2}+4)}{\,x^{2}+4\,} \)

दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलन करते हैं:

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl[(x^{2}+4)\bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^{2}\Bigr] = \frac{d}{dx}\bigl[16\,(y^{2}+4)\bigr] \)

इससे अवकलन संबंध प्राप्त होता है:

\(\displaystyle (x^{2}+4)\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} \;+\;x\,\frac{dy}{dx} \;-\;16\,y \;=\;0\)

आवश्यक अभिव्यक्ति है

\(\displaystyle \frac{x^{2}+4}{y^{2}+4}\,\frac{dy}{dx} \Bigl[(x^{2}+4)\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-16y\Bigr] \)

अवकलन संबंध से,

\(\displaystyle (x^{2}+4)\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-16y = -\,x\,\frac{dy}{dx} \)

तो व्यंजक बन जाता है

\(\displaystyle \frac{x^{2}+4}{y^{2}+4}\,\frac{dy}{dx}\, \bigl(-x\,\tfrac{dy}{dx}\bigr) = -\,x\,\frac{x^{2}+4}{y^{2}+4} \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2} \)

\(\bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^{2} = \tfrac{16\,(y^{2}+4)}{x^{2}+4}\), -16x को छोड़कर सभी कारक रद्द हो जाते हैं।

∴ दिए गए व्यंजक का मान \(-16x\) है।

अतः, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया,

\(x = \sec\theta - \cos\theta \)

\(y = \sec^4\theta - \cos^4\theta\)

अवकलनों की गणना करते हैंθ" id="MathJax-Element-5-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">θ θ $\theta$ :

\(\dfrac{dx}{d\theta} = \sec\theta\,\tan\theta + \sin\theta\)

\(\dfrac{dy}{d\theta} = 4\sec^4\theta\,\tan\theta \;+\; 4\cos^3\theta\,\sin\theta\)

अनुपात \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}\) से

\(\dfrac{dy}{dx} = \frac{4\bigl(\sec^4\theta\,\tan\theta + \cos^3\theta\,\sin\theta\bigr)} {\sec\theta\,\tan\theta + \sin\theta}\)

सर्वसमिकाओं \(x^2 = \sec^2\theta + \cos^2\theta - 2\) , \(\sec^3\theta + \cos^5\theta)^2 = y^2 + 4\) , तथा \((1 + \cos^2\theta)^2 = x^2 + 4,\)

\(\displaystyle \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2} = 16 \,\frac{\,y^{2} + 4\,}{\,x^{2} + 4\,} \)

∴ \(\displaystyle \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2} = 16\,\frac{y^{2} + 4}{x^{2} + 4} \)

अतः, सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा :

a2 - b2 = (a - b) (a + b)

sec x = 1/cos x and cosec x = 1/sin x

a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab)

गणना :

\(\frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left( {{\rm{secA}} - {\rm{cosecA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}{\rm{A}}} \right)}}\)

⇒ \( \frac{{\left( {{\rm{1}} - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left[ {\frac{1}{{{\rm{cosA}}}} - \frac{1}{{{\rm{sinA}}}}} \right]\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}} - {\rm{sinAcosA}}} \right)}}\)

⇒ \( \frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left[ {\frac{{{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}}}{{{\rm{sinA}}.{\rm{cosA}}}}} \right]\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)}}\)

⇒ \(\frac{sinA - cosA}{cosA[\frac{sinA - cosA}{sinA.cosA}]}\)

⇒ \(\frac{(sinA - cosA)\times sinA.cosA}{cosA[sinA - cosA]}\)

⇒ \(\frac{ sinA.cosA}{cosA}\)

⇒ sin A

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

धारणा:

cos 2x = cos² x – sin² x = 2 cos² x - 1 = 1 – 2 sin² x

गणना:

cos 4x

= cos 2(2x)

= 2 cos² 2x – 1                                         (∵cos 2x = 2 cos² x – 1)

= 2 (1 – 2 sin² x)² – 1                              (∵ cos 2x = 1 – 2 sin² x)

= 2 [1 – 4 sin² x + 4 sin⁴ x] – 1               [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]

= 2 - 8 sin² x + 8 sin⁴ x – 1

= 1 - 8 sin² x + 8 sin⁴ x

संकल्पना:

यदि sin θ = sin α  है, तो θ = nπ + (- 1)ⁿ α, α ∈ [-π/2, π/2], n ∈ Z है। 

गणना:

दिया गया है: 4 sin 3x = 2

⇒ sin 3x = ½

चूँकि हम जानते हैं कि, sin (π/6) = ½

⇒ sin 3x = sin (π/6)

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि sin θ = sin α है, तो

θ = nπ + (- 1)ⁿ α, α ∈ [-π/2, π/2], n ∈ Z 

⇒ 3x = nπ + (- 1)ⁿ × (π/6), जहाँ n ∈ Z

संकल्पना:

कुछ मानक त्रिकोणमितीय समीकरणों का सामान्य हल:

गणना:

दिया गया है: cos x = 1

⇒ cos x = cos 0

चूँकि हम जानते हैं, यदि cos θ = cos α है, तो θ = 2nπ ± α है। 

इसलिए, x = 2nπ ± 0 = 2nπ 

अतः cos x = 1 का सामान्य हल x = 2nπ, n ∈ Z है। 

संकल्पना:

sin2x + cos2x = 1

गणना:

दिया गया है, 4sin2x -  2 cos2x = 2

⇒2sin2x -  cos2x = 1

⇒ 2sin2x -  cos2x = sin2x + cos2x

⇒ sin2x = 2 cos2x

⇒tan2 x = 2

⇒ tan x = √2

अवधारणा:

\(\rm cot (A + B) = \frac{cot A cot B - 1}{cot A + cot B}\)

गणना:

(cot 2x ∙ cot 4x) - (cot 4x ∙ cot 6x) - (cot 6x ∙ cot 2x)

⇒ (cot 2x ∙ cot 4x) - cot 6x [cot 4x + cot 2x]

⇒ (cot 2x ∙ cot 4x) - cot (2x + 4x) [cot 4x + cot 2x]

⇒ (cot 2x ∙ cot 4x) -  \((\rm \dfrac{cot 2x .cot 4x - 1}{cot 2x + cot 4x})\)× [cot 4x + cot 2x]

⇒ (cot 2x ∙ cot 4x) - (cot 2x ∙ cot 4 x - 1)

⇒ (cot 2x ∙ cot 4x) - (cot 2x ∙ cot 4x) + 1

⇒ 1

अवधारणा:

\(\rm \sin \theta = \frac{Perpendicular}{Hypotenuse}\)

\(\rm \cos \theta = \frac{Base}{Hypotenuse} \)

sin2 θ + cos2 θ = 1 

गणना:

7 sinθ + 24 cosθ = 25

दोनों तरफ से 25 को विभाजित करके, हम प्राप्त करते हैं

\(\rm \frac{7}{25}\)sinθ + \(\rm \frac{24}{25}\)cosθ = 1      ....(i)

हम जानते हैं कि,

sin² θ + cos² θ = 1  

sin θ.sin θ + cos θ.cos θ = 1      ....(ii)

समीकरण (i) और (ii) तुलना करने पर

sin θ = \(\rm \frac{7}{25}\) 

cos θ = \(\rm \frac{24}{25}\)

अब, (sinθ + cosθ) 

= \(\rm \frac{7}{25}\)+ \(\rm \frac{24}{25}\)

= \(\rm \frac{31}{25}\)

संकल्पना:

cos (A + B) = cosA. cosB - sinA. sin B

गणना:

दिया गया है: cos 2B = 3 sin² A   .... (1)

और 3sin 2A = 2 sin 2B     .... (2)

(1) को (2) से विभाजित करने पर,

हम जानते हैं कि,

sin 2A = 2 sin A∙ cos A

इसलिए, समीकरण (3) निम्न बन जाता है,

\(\frac{cos(2B)}{2sin(2B)}=\frac{sin^2(A)}{2sin(A)cos(A)}\)

⇒ \(\frac{cos(2B)}{sin(2B)}=\frac{sin(A)}{cos(A)}\)

⇒ cos (2B) cos (A) = sin (2B) sin (A)

⇒ cos (2B) cos (A) - sin (2B) sin (A) = 0

उपरोक्त अवधारणा से,

cos (A + 2B) = 0

⇒ (A + 2B) = cos-1 (0)

⇒ (A + 2B) =  π/2

संकल्पना:

यदि tan θ = tan α है, तो θ = nπ + α, α ∈ (-π/2, π/2), n ∈ Z.

गणना:

दिया गया है: 8 tan(2x) – 5 = 3

⇒ 8 tan(2x) = 8

⇒ tan 2x = 1

चूँकि हम जानते हैं कि, tan (π/4) = 1

⇒ tan 2x = tan (π/4)

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि tan θ = tan α है, तो θ = nπ + α, α ∈ (-π/2, π/2), n ∈ Z

⇒ 2x = nπ + (π/4), जहाँ n ∈ Z

संकल्पना:

2sinx cos x = sin 2x

sin (90° + x) = cos x

गणना:

दिया गया है, 2 sin 75° cos 75°

= sin [2 (75°)]

= sin (150°)

= sin (90° + 60°)

= cos 60°

= \(\rm \dfrac 1 2\)

अतः 2 sin 75° cos 75° का मान \(\rm \dfrac 1 2\) है।