Trigonometric Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometric Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 8, 2025
Latest Trigonometric Functions MCQ Objective Questions
Trigonometric Functions Question 1:
यदि \(\theta \in\left[-\frac{7 \pi}{6}, \frac{4 \pi}{3}\right],\) है, तो \(\sqrt{3} \operatorname{cosec}^{2} \theta-2(\sqrt{3}-1) \operatorname{cosec} \theta-4=0\) के हलों की संख्या बराबर है
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Functions Question 1 Detailed Solution
\(\sqrt{3} \operatorname{cosec}^{2} \theta-2(\sqrt{3}-1) \operatorname{cosec} \theta-4=0 \)
\(\operatorname{cosec} \theta=\frac{2(\sqrt{3}-1) \pm \sqrt{4(\sqrt{3}-1)^{2}+16 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{3}} \)
\(=\frac{2(\sqrt{3}-1) \pm 2 \sqrt{4-2 \sqrt{3}+4 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{3}} \)
\(=\frac{\sqrt{3}-1 \pm(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}}=2, \frac{-2}{\sqrt{3}}\)
\(\operatorname{cosec} \theta=2, \quad \operatorname{cosec} \theta=\frac{-2}{\sqrt{3}}\)
\(\sin \theta=\frac{1}{2} \quad \sin \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\theta=\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{-7 \pi}{6} \quad \theta=\frac{4 \pi}{3}, \frac{-\pi}{3}, \frac{-2 \pi}{3}\)
हलों की संख्या 6
Trigonometric Functions Question 2:
समीकरण \(\sin (\frac{\pi x }{3\sqrt{2}}) = x^2-4x+6 \) के हलों की संख्या है:
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Functions Question 2 Detailed Solution
अवधारणा:
- ज्या फलन का परिसर: ज्या फलन का आउटपुट हमेशा −1 और 1 के बीच होता है, अर्थात्, सभी वास्तविक θ के लिए sin(θ) ∈ [−1, 1]।
- द्विघात फलन: ax2 + bx + c के रूप का द्विघात फलन एक परवलय का प्रतिनिधित्व करता है। यदि a > 0, तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है, और इसका न्यूनतम मान x = −b / 2a पर होता है।
- मुख्य विचार: यह पता लगाने के लिए कि sin(व्यंजक) = द्विघात के लिए कितने हल मौजूद हैं, हम यह निर्धारित करते हैं कि x के कितने मान द्विघात व्यंजक को [−1, 1] के भीतर रखते हैं।
गणना:
दिया गया है,
\(\sin (\frac{\pi x }{3\sqrt{2}}) = x^2-4x+6 \)
माना f(x) = x2 − 4x + 6
f(x) का न्यूनतम मान इस पर होता है:
x = 4 / 2 = 2
⇒ f(2) = (2)2 − 4x2 + 6 = 4 − 8 + 6 = 2
चूँकि परवलय ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए f(x) का परिसर [2, ∞) है
लेकिन, sin(θ) ∈ [−1, 1]
⇒ समीकरण के हल तभी होंगे जब x2 − 4x + 6 ∈ [−1, 1]
लेकिन सभी x के लिए f(x) ≥ 2, और 2 > 1
⇒ x का कोई भी मान f(x) ∈ [−1, 1] को संतुष्ट नहीं करता है
∴ वास्तविक हलों की संख्या शून्य है।
Trigonometric Functions Question 3:
Comprehension:
\(\left[ \frac{x^2+4}{y^2+4} \frac{dy}{dx} \left( x^2+4 \frac{d^2y}{dx^2} - 16y \right) \right] \) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Functions Question 3 Detailed Solution
गणना:
दिया गया,
\(x = \sec\theta - \cos\theta\)
\(y = \sec^4\theta - \cos^4\theta\)
हम पहले से जानते हैं:
\(\displaystyle \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2} = \frac{16\,(y^{2}+4)}{\,x^{2}+4\,} \)
दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl[(x^{2}+4)\bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^{2}\Bigr] = \frac{d}{dx}\bigl[16\,(y^{2}+4)\bigr] \)
इससे अवकलन संबंध प्राप्त होता है:
\(\displaystyle (x^{2}+4)\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} \;+\;x\,\frac{dy}{dx} \;-\;16\,y \;=\;0\)
आवश्यक अभिव्यक्ति है
\(\displaystyle \frac{x^{2}+4}{y^{2}+4}\,\frac{dy}{dx} \Bigl[(x^{2}+4)\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-16y\Bigr] \)
अवकलन संबंध से,
\(\displaystyle (x^{2}+4)\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-16y = -\,x\,\frac{dy}{dx} \)
तो व्यंजक बन जाता है
\(\displaystyle \frac{x^{2}+4}{y^{2}+4}\,\frac{dy}{dx}\, \bigl(-x\,\tfrac{dy}{dx}\bigr) = -\,x\,\frac{x^{2}+4}{y^{2}+4} \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2} \)
\(\bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^{2} = \tfrac{16\,(y^{2}+4)}{x^{2}+4}\), -16x को छोड़कर सभी कारक रद्द हो जाते हैं।
∴ दिए गए व्यंजक का मान \(-16x\) है।
अतः, सही उत्तर विकल्प 3 है।
Trigonometric Functions Question 4:
Comprehension:
\((\frac{dy}{dx})^2\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Functions Question 4 Detailed Solution
गणना:
दिया गया,
\(x = \sec\theta - \cos\theta \)
\(y = \sec^4\theta - \cos^4\theta\)
अवकलनों की गणना करते हैं
Trigonometric Functions Question 5:
\(\left[ \frac{x^2+4}{y^2+4} \frac{dy}{dx} \left( x^2+4 \frac{d^2y}{dx^2} - 16y \right) \right]\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Functions Question 5 Detailed Solution
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सरलीकृत कीजिए: \(\frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left( {{\rm{secA}} - {\rm{cosecA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}{\rm{A}}} \right)}}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Functions Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा :
a2 - b2 = (a - b) (a + b)
sec x = 1/cos x and cosec x = 1/sin x
a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab)
गणना :
\(\frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left( {{\rm{secA}} - {\rm{cosecA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}{\rm{A}}} \right)}}\)
⇒ \( \frac{{\left( {{\rm{1}} - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left[ {\frac{1}{{{\rm{cosA}}}} - \frac{1}{{{\rm{sinA}}}}} \right]\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}} - {\rm{sinAcosA}}} \right)}}\)
⇒ \( \frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left[ {\frac{{{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}}}{{{\rm{sinA}}.{\rm{cosA}}}}} \right]\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)}}\)
⇒ \(\frac{sinA - cosA}{cosA[\frac{sinA - cosA}{sinA.cosA}]}\)
⇒ \(\frac{(sinA - cosA)\times sinA.cosA}{cosA[sinA - cosA]}\)
⇒ \(\frac{ sinA.cosA}{cosA}\)
⇒ sin A
∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।
cos 4x का मान ज्ञात करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Functions Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
cos 2x = cos2 x – sin2 x = 2 cos2 x - 1 = 1 – 2 sin2 x
गणना:
cos 4x
= cos 2(2x)
= 2 cos2 2x – 1 (∵cos 2x = 2 cos2 x – 1)
= 2 (1 – 2 sin2 x)2 – 1 (∵ cos 2x = 1 – 2 sin2 x)
= 2 [1 – 4 sin2 x + 4 sin4 x] – 1 [∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2]
= 2 - 8 sin2 x + 8 sin4 x – 1
= 1 - 8 sin2 x + 8 sin4 x
समीकरण 4 sin 3x = 2 का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Functions Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
यदि sin θ = sin α है, तो θ = nπ + (- 1)n α, α ∈ [-π/2, π/2], n ∈ Z है।
T-अनुपात |
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
Sin |
0 |
1/2 |
1/√2 |
√3/2 |
1 |
Cos |
1 |
√3/2 |
1/√2 |
1/2 |
0 |
Tan |
0 |
1/√3 |
1 |
√3 |
परिभाषित नहीं है |
गणना:
दिया गया है: 4 sin 3x = 2
⇒ sin 3x = ½
चूँकि हम जानते हैं कि, sin (π/6) = ½
⇒ sin 3x = sin (π/6)
चूँकि हम जानते हैं कि, यदि sin θ = sin α है, तो
θ = nπ + (- 1)n α, α ∈ [-π/2, π/2], n ∈ Z
⇒ 3x = nπ + (- 1)n × (π/6), जहाँ n ∈ Z
⇒ x = n × (π/3) + (- 1)n × (π/18), जहाँ n ∈ Zcos x = 1 का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Functions Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
कुछ मानक त्रिकोणमितीय समीकरणों का सामान्य हल:
समीकरण |
हल |
शर्त |
sin θ = sin α |
θ = nπ + (-1)n α |
α ∈ [-π/2, π/2] और n ∈ z |
cos θ = cos α |
θ = 2nπ ± α |
α ∈ [0, π] और n ∈ z |
tan θ = tan α |
θ = nπ + α |
α ∈ (-π/2, π/2) और n ∈ z |
गणना:
दिया गया है: cos x = 1
⇒ cos x = cos 0
चूँकि हम जानते हैं, यदि cos θ = cos α है, तो θ = 2nπ ± α है।
इसलिए, x = 2nπ ± 0 = 2nπ
अतः cos x = 1 का सामान्य हल x = 2nπ, n ∈ Z है।
यदि 4sin2x - 2 cos2x = 2 है तो tan x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Functions Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
sin2x + cos2x = 1
गणना:
दिया गया है, 4sin2x - 2 cos2x = 2
⇒2sin2x - cos2x = 1
⇒ 2sin2x - cos2x = sin2x + cos2x
⇒ sin2x = 2 cos2x
⇒tan2 x = 2
⇒ tan x = √2
cot 2x cot 4x - cot 4x cot 6x - cot 6x cot 2x किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Functions Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
\(\rm cot (A + B) = \frac{cot A cot B - 1}{cot A + cot B}\)
गणना:
(cot 2x ∙ cot 4x) - (cot 4x ∙ cot 6x) - (cot 6x ∙ cot 2x)
⇒ (cot 2x ∙ cot 4x) - cot 6x [cot 4x + cot 2x]
⇒ (cot 2x ∙ cot 4x) - cot (2x + 4x) [cot 4x + cot 2x]
⇒ (cot 2x ∙ cot 4x) - \((\rm \dfrac{cot 2x .cot 4x - 1}{cot 2x + cot 4x})\)× [cot 4x + cot 2x]
⇒ (cot 2x ∙ cot 4x) - (cot 2x ∙ cot 4 x - 1)
⇒ (cot 2x ∙ cot 4x) - (cot 2x ∙ cot 4x) + 1
⇒ 1
यदि 7 sinθ + 24 cosθ = 25 तो (sin θ + cos θ) का मूल्य क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Functions Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
\(\rm \sin \theta = \frac{Perpendicular}{Hypotenuse}\)
\(\rm \cos \theta = \frac{Base}{Hypotenuse} \)
sin2 θ + cos2 θ = 1
गणना:
7 sinθ + 24 cosθ = 25
दोनों तरफ से 25 को विभाजित करके, हम प्राप्त करते हैं
\(\rm \frac{7}{25}\)sinθ + \(\rm \frac{24}{25}\)cosθ = 1 ....(i)
हम जानते हैं कि,
sin2 θ + cos2 θ = 1
sin θ.sin θ + cos θ.cos θ = 1 ....(ii)
समीकरण (i) और (ii) तुलना करने पर
sin θ = \(\rm \frac{7}{25}\)
cos θ = \(\rm \frac{24}{25}\)
अब, (sinθ + cosθ)
= \(\rm \frac{7}{25}\)+ \(\rm \frac{24}{25}\)
= \(\rm \frac{31}{25}\)
A और B धनात्मक न्यून कोण इस प्रकार हैं जिससे cos 2B = 3 sin2 A और 3 sin 2A = 2 sin 2B हैं। तो (A + 2B) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Functions Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
cos (A + B) = cosA. cosB - sinA. sin B
गणना:
दिया गया है: cos 2B = 3 sin2 A .... (1)
और 3sin 2A = 2 sin 2B .... (2)
(1) को (2) से विभाजित करने पर,
हम जानते हैं कि,
sin 2A = 2 sin A∙ cos A
इसलिए, समीकरण (3) निम्न बन जाता है,
\(\frac{cos(2B)}{2sin(2B)}=\frac{sin^2(A)}{2sin(A)cos(A)}\)
⇒ \(\frac{cos(2B)}{sin(2B)}=\frac{sin(A)}{cos(A)}\)
⇒ cos (2B) cos (A) = sin (2B) sin (A)
⇒ cos (2B) cos (A) - sin (2B) sin (A) = 0
उपरोक्त अवधारणा से,
cos (A + 2B) = 0
⇒ (A + 2B) = cos-1 (0)
⇒ (A + 2B) = π/2
समीकरण 8 tan(2x) – 5 = 3 का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Functions Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
यदि tan θ = tan α है, तो θ = nπ + α, α ∈ (-π/2, π/2), n ∈ Z.
T-अनुपात |
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
Sin |
0 |
1/2 |
1/√2 |
√3/2 |
1 |
Cos |
1 |
√3/2 |
1/√2 |
½ |
0 |
Tan |
0 |
1/√3 |
1 |
√3 |
परिभाषित नहीं है |
गणना:
दिया गया है: 8 tan(2x) – 5 = 3
⇒ 8 tan(2x) = 8
⇒ tan 2x = 1
चूँकि हम जानते हैं कि, tan (π/4) = 1
⇒ tan 2x = tan (π/4)
चूँकि हम जानते हैं कि, यदि tan θ = tan α है, तो θ = nπ + α, α ∈ (-π/2, π/2), n ∈ Z
⇒ 2x = nπ + (π/4), जहाँ n ∈ Z
⇒ x = n (π/2) + (π/8), जहाँ n ∈ Z2 sin 75° cos 75° का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Functions Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
2sinx cos x = sin 2x
sin (90° + x) = cos x
गणना:
दिया गया है, 2 sin 75° cos 75°
= sin [2 (75°)]
= sin (150°)
= sin (90° + 60°)
= cos 60°
= \(\rm \dfrac 1 2\)
अतः 2 sin 75° cos 75° का मान \(\rm \dfrac 1 2\) है।