Properties of Triangles MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties of Triangles - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया,

\(AB + AC = 3\)

मान लीजिए \(AB = x\) और \(AC = 3 - x \) ।

तब,

\(BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{(3 - x)^2 - x^2} = \sqrt{9 - 6x} \)

त्रिभुज का क्षेत्रफल है,

\(A = \tfrac12\,x\,BC = \tfrac12\,x\,\sqrt{9 - 6x}\)

अधिकतम करने के लिए, \(x\) के संबंध में अवकलन करते हैं और शून्य पर सेट करते हैं:

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(x\sqrt{9-6x}\bigr) = \sqrt{9-6x} \;-\;\frac{6x}{2\sqrt{9-6x}} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \)

\(x = 1\) पर, हमें \(BC = \sqrt{9 - 6} = \sqrt{3}\) प्राप्त होता है, अतः

\(A_{\max} = \tfrac12 \times 1 \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

∴ अधिकतम क्षेत्रफल \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) वर्ग इकाई है।

अतः, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया,

\(AB + AC = 3\)

मान लीजिए \(AB = x\) और \(AC = 3 - x\) 

तब,

\(BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{(3 - x)^2 - x^2} = \sqrt{9 - 6x} \)

त्रिभुज का क्षेत्रफल है,

\(A = \tfrac12\,x\,\sqrt{9 - 6x} \)

अधिकतम करने के लिए, सेट अप करते हैं

\(A^2 = \tfrac14\,x^2\,(9 - 6x)\)

\(\displaystyle \frac{d(A^2)}{dx} = \tfrac14\bigl(2x(9 - 6x) + x^2(-6)\bigr) = \frac{18x(1 - x)}{4} = 0 \)

अतः, \(x = 1\) (x=0 को छोड़कर, इसलिए 

\(BC = \sqrt{9 - 6}= \sqrt{3},\quad AC = 3 - 1 = 2\)

इसलिए,

\(\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies A = \frac{\pi}{3}\)

∴ \(\angle A = \frac{\pi}{3}\) 

अतः, सही उत्तर विकल्प 3 है।

व्याख्या:

हमें कोणों वाला त्रिभुज दिया गया है:

\( \angle B = x = 30^\circ\)

\( \angle A = 3x = 90^\circ \)

\(\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

चरण 1: जाँचें कि क्या कोणों का योग 180° है:

\( \angle A + \angle B + \angle C = 90^\circ + 30^\circ + 60^\circ = 180^\circ \)

यह पुष्टि करता है कि कोण त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म को संतुष्ट करते हैं।

कथन I. त्रिभुज समकोण है।

चूँकि\( \angle A = 90^\circ \), त्रिभुज समकोण है।

कथन III: III. त्रिभुज के कोण A, C और B समांतर श्रेढ़ी में हैं।

कोण \(30^\circ 60^\circ , \text and 90^\circ \) समांतर श्रेढ़ी में हैं क्योंकि:

\( 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ \quad \text{और} \quad 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)

यह पुष्टि करता है कि कोण समांतर श्रेढ़ी में हैं।

कथन II सही नहीं है क्योंकि किसी भुजा के दूसरे के 3 गुना होने का कोई उल्लेख नहीं है।

∴ सही उत्तर विकल्प (I) और (III) सही हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

धारणा:

यदि a, b और c इकाइयाँ Δ ABC की तीन भुजाएँ हैं, तो

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}\;}}{{2bc}}\)

\(\cos B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}\;}}{{2ac}}\)

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}\;}}{{2ab}}\)

गणना:

यहाँ, Δ ABC के भुजाएँ हैं: a = 12 इकाइयाँ, b = 14 इकाइयाँ और c = 16 इकाइयाँ

हम जानते हैं कि \(\cos B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}\;}}{{2ac}}\), सूत्र में a, b और c के मानों को प्रतिस्थापित करके हम प्राप्त करते हैं

⇒ \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}\;}}{{2ac}} = \frac{{{{12}^2} + {{16}^2} - {{14}^2}}}{{2 \times 12 \times 16}}\)

\(=\frac{204}{384}= \frac{{17}}{{32}}\)

धारणा:

• Sine Rule:

एक त्रिभुज Δ ABC में जहाँ a, A के विपरित भुजा है; b, B के विपरित भुजा है; c, C के विपरीत भुजा है और जहाँ R परि-त्रिज्या है:

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

गणना:

दिया हुआ: त्रिभुज के कोण A: B: C = 1: 2: 3 के अनुपात में हैं और परि-त्रिज्या 10 cm है।

माना कि A: B: C = 1: 2: 3 या A = k, B = 2k और C = 3k जहां k कोई भी वास्तविक संख्या है और R = 10 cm

जैसा कि हम जानते हैं कि, A + B + C = 180°

⇒ A + B + C = k + 2k + 3k = 180°

⇒ k = 30°

⇒ A = 30°, B = 60° और C = 90°

जैसा कि हम जानते हैं कि, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

\( \Rightarrow \frac{a}{{\sin 30^\circ }} = \frac{b}{{\sin 60^\circ }} = \frac{c}{{\sin 90^\circ }} = 20\)

⇒ a = 20 × sin 30° = 10 cm, b = 20 × sin 60° = 10√3 cm और c = 20 × sin 90° = 20 cm

संकल्पना:

भुजा a, b और c के साथ Δ ABC के लिए, 

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\), \(\cos B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ac}}\) और \(\cos C = \frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

गणना:

यहाँ, Δ ABC की भुजाएं a = 3 इकाई, b = 5 इकाई और c = 3 इकाई हैं और हम जानते हैं कि, \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

⇒ \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{5^2} + {3^2} - {3^2}}}{{2 \times 5 \times 3}}\)

⇒ cos A = 5/6

दिया गया हैं:

D और E भुजाओं AB और AC पर स्थित बिंदु हैं। 

AD = CE

BE और CD, F पर प्रतिच्छेद करते हैं।  

प्रयुक्त अवधारणा:

त्रिभुज की सर्वांगसमता की अवधारणा,

बहिष्कोण हमेशा अंतराभिमुख कोण के योग के बराबर होता है।

गणना:

ΔCBE ≅ ΔACD [SAS सर्वांगसमता]

तो, इन दोनों त्रिभुजों के तीनों कोण समान हैं,

माना कि ∠EBC, θ हैं इसमे से ∠ACD भी θ हैं। 

अब,

∠BEC = 180° - (60° + θ)

⇒ 120° - θ

अब, ΔECF में 

बहिष्कोण ∠CFB = (120° - θ) + θ

⇒ 120°

∴ ∠CFB, 120° हैं। 

अवधारणा:

कोण योग गुण: एक त्रिभुज के कोणों का योग 180 ° होता है

गणना :

यहां, हमें एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के दो समान कोणों का माप खोजना होगा।

माना कि Δ ABC एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें ∠ B = 90° और AB = BC है।

जैसा कि हम जानते हैं कि समान भुजाओं के सामनेवाले कोण भी समान होते हैं।

⇒ ∠ACB = ∠BAC = x

अब कोण योग गुण द्वारा हमारे पास है

⇒ x + x + 90° = 180°

⇒ x = 45°

इसलिए, एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के दो समान कोणों का माप 45° है।

Key Points

 एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज में, एक कोण 90° और अन्य दो भुजाएं समान होंगी। समान भुजा के विपरीत कोण भी समान होंगे।

दिया गया है:

 sin (C + D) = √3/2

sec (C - D) = 2/√3

गणना:

यदि  sin (C + D) = √3/2 और sec (C - D) = 2/√3

तो,

⇒ C + D = 60°.............(1)

⇒ C - D = 30°..............(2)

1 और 2 को हल करने पर,

C = 45°

D = 15°

∴ विकल्प 1 सही उत्तर है।

संकल्पना:

त्रिभुज का कोज्या नियम:

किसी दिए गए त्रिभुज की किसी भी भुजा की लंबाई का वर्ग अन्य भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है, अन्य दो भुजाओं के गुणनफल को उनके बीच शामिल कोण के कोज्या से गुणा किया जाता है।

मान लीजिए, a, b, और c त्रिभुज ABC की भुजा की लंबाई हैं, जैसा कि दिखाया गया है;

\(cos(x)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(cos(y)=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)

\(cos(z)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

गणना:

माना m = n = 1 इकाई

फिर,

\(\rm \sqrt{m^2+n^2+mn} \ \\\Rightarrow\rm \sqrt{1^2+1^2+1}= \sqrt 3\)

कोसाइन नियम का उपयोग करके;

\(\rm \cos θ = {1^2+ 1^2 - {\sqrt 3}^2\over2\times 1 \times 1}\)

⇒ cos θ = -1/2

∴ θ = 120° 

अब, त्रिभुज के न्यून कोणों का योग = 180° - 120° = 60°

अवधारणा :

यदि a, b और c Δ ABC के पक्ष हैं जैसे कि, a + b + c = 2S तब

• \(\rm \tan \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {S - b} \right)\left( {S - c} \right)}}{{S(S -a)}}} \)
• \(\rm \tan \frac{B}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {S - c} \right)\left( {S - a} \right)}}{{S(S -b)}}} \)
• \(\rm \tan \frac{C}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {S - a} \right)\left( {S - b} \right)}}{{S(S - c)}}} \)

गणना:

दिया गया है कि: ΔABC के लिए हमारे पास a = 13, b = 14 और c = 15 है

यहाँ, हमें tan (C/2) का मान ज्ञात करना है

जैसा कि हम जानते हैं कि यदि a, b और c Δ ABC के पक्ष हैं तो 2S = a + b + c

⇒ 2S = 13 + 14 + 15 = 42

⇒ S = 21

जैसा कि हम जानते हैं कि, \(\rm \tan \frac{C}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {S - a} \right)\left( {S - b} \right)}}{{S(S - c)}}} \)

⇒ \(\rm \tan \frac{C}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {21 - 13} \right) \times \left( {21 - 14} \right)}}{{21 \times (21-15)}}} \)

= \(\rm \sqrt {\frac {8 \times 7}{21 \times 6}} = \frac 2 3\)

इसलिए, विकल्प 2 सही उत्तर है।

संकल्पना:

यदि a, b और c, ΔABC की भुजाएं इस प्रकार हैं जिससे a + b + c = 2S है, तो \(\sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {S - b} \right)\left( {S - C} \right)}}{{bc}}} \)

गणना:

दिया गया है: ΔABC के लिए हमारे पास a = 18, b = 24 और c = 30 हैं। 

यहाँ, हमें sin (A/2) का मान ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि a, b और c, ΔABC की भुजाएं हैं, तो 2S = a + b + c है।

⇒ 2S = 18 + 24 + 30 = 72

⇒ S = 36

चूँकि हम जानते हैं कि,\(\sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {S - b} \right)\left( {S - C} \right)}}{{bc}}} \)

\(\Rightarrow \sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {36 - 24} \right) \times \left( {36 - 30} \right)}}{{24 \times 30}}} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\)

अतः विकल्प A सही उत्तर है। 

संकल्पना:

• sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B  ___(1)
• त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है
  
• sin(180 - θ) = sin θ  ___(2)

गणना:

त्रिभुज ABC में, कोणों का योग = A + B + C = 180° 

⇒ B + C = 180 - A   ___(3)

दिया गया है , sec A (sin B cos C + cos B sin C)

⇒ sec A sin (B + C)     ∵ {(1)​ का उपयोग करने पर}

⇒ sec A. sin (180 - A)   ∵ {(2)​ का उपयोग करने पर​}

⇒ sec A. sin A   ∵ {(3)​ का उपयोग करने पर​}

⇒  \({\sin A \over \cos A }\)

⇒ tan A

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।