Mean Deviation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mean Deviation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

10 प्राकृत संख्याओं का माध्य

⇒ \(\overline{x} = \frac{1+2+3+4+....10}{10}\)

= \(\frac{10\times11}{2\times10}\) = 5.5

माध्य विचलन = \(\frac{|1- 5.5| + |2-5.5| + |3- 5.5| + ... + |10- 5.5|}{10} = 2.5\)

∴ विकल्प (b) सही है।

स्पष्टीकरण -

x + y = 10 .........(1)

माध्यिका = 18 = M

M.D. = \(\frac{\sum \mathrm{f}_{\mathrm{i}}\left|\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-\mathrm{M}\right|}{\sum \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)

1.25 = \(\frac{36+x+2 y}{40}\)

x + 2y = 14 .........(1)

(1) एवं (2) द्वारा

x = 6, y = 4

⇒ 4x + 5y = 24 + 20 = 44

अतः विकल्प (2) सही है।

धारणा:

माध्य के ओर माध्य विचलन = \(\frac{{\mathop \sum \nolimits_{{\rm{i}} = 1}^{{\rm{i}} = {\rm{n}}} \left| {{{\rm{x}}_{\rm{i}}}-{\rm{\;\bar x}}} \right|}}{{\rm{n}}}\), जहाँ \({\rm{\bar x}}\) माध्य है।

गणना:

दी गई संख्याएँ 10, 9, 21, 16, 24 हैं

कुल संख्याएँ = 5

\({\rm{Mean}} = {\rm{\bar x}} = \;\frac{{10 + 9 + 21 + 16 + 24}}{5} = \frac{{80}}{5} = 16\)

हम जानते हैं कि माध्य के ओर माध्य विचलन = \(\frac{{\mathop \sum \nolimits_{{\rm{i}} = 1}^{{\rm{i}} = {\rm{n}}} \left| {{{\rm{x}}_{\rm{i}}}-{\rm{\;\bar x}}} \right|}}{{\rm{n}}}\)

माध्य से माध्य विचलन = \(\frac{{\left| {10-{\rm{\;}}16} \right| + \left| {9-{\rm{\;}}16} \right| + \left| {21-{\rm{\;}}16} \right| + \left| {16{\rm{\;}}-{\rm{\;}}16} \right| + \left| {24-{\rm{\;}}16} \right|\;}}{5}\)

संकल्पना:

माध्य विचलन = \(\frac{1}{n}|x_i-\bar{X}|\)

जहाँ,

\(\bar{X}= \frac{∑ x}{n}\) = माध्य,

x = सभी प्रेक्षणों का योग,

n = प्रेक्षणों की संख्या।

गणना​:

प्रथम 10 सम प्राकृत संख्याएँ हैं

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

माध्य,

X̅ = \(\rm \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20}{10}\)

⇒ X̅ = 11

इसलिए, माध्य मान 11 है

अब, प्रत्येक माध्य को पहले 10 सम प्राकृत संख्याओं में से घटाएँ, और ऋण चिह्न को अनदेखा करें यदि कोई हो

⇒ माध्य विचलन = \(\frac{1}{n}|x_i-\bar{X}|\)

⇒ माध्य विचलन  \(=\frac{1}{10}(|2 - 11|+ |4 - 11| + |6-11|+|8-11|+|10-11|+\\|12-11|+|14-11|+|16-11|+|18-11|+|20-11|\)

⇒ \(\rm\frac{9 + 7 + 5 + 3 + 1 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9}{10}\) = \(\frac{50}{10}\)

∴ प्रथम 10 सम प्राकृत संख्याओं का माध्य विचलन 5 है।

दिया गया है:

किसी विशिष्ट केंद्रीय प्रवृत्ति से मापे जाने पर मानों के एक समूह के वर्ग विचलन का योग न्यूनतम होता है।

प्रयुक्त सूत्र:

समांतर माध्य से मापने पर वर्ग विचलन का योग न्यूनतम हो जाता है।

गणना:

⇒ वर्ग विचलनों का योग = Σ (x _i - μ) ²

जहाँ μ समांतर माध्य है।

⇒ यदि हम समांतर माध्य का उपयोग करते हैं, तो यह योग अन्य मापों (मोड, माध्यिका, आदि) की तुलना में न्यूनतम हो जाता है।

∴ सही उत्तर विकल्प (1), समांतर माध्य है।

सूत्र

माध्यिका = (n + 1)/2

गणना

माध्यिका = (n + 1)/2 वां पद का मान

⇒ (48 + 1)/2 = 24.5th पद

24.5, 36 के संचयी आवृत्ति में निहित है

माध्यिका = 12

माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन = (1/48)(36)

⇒ 0.75

∴ माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन 0.75 है।

धारणा:

माध्य के ओर माध्य विचलन = \(\frac{{\mathop \sum \nolimits_{{\rm{i}} = 1}^{{\rm{i}} = {\rm{n}}} \left| {{{\rm{x}}_{\rm{i}}}-{\rm{\;\bar x}}} \right|}}{{\rm{n}}}\), जहाँ \({\rm{\bar x}}\) माध्य है।

गणना:

दी गई संख्याएँ 10, 9, 21, 16, 24 हैं

कुल संख्याएँ = 5

\({\rm{Mean}} = {\rm{\bar x}} = \;\frac{{10 + 9 + 21 + 16 + 24}}{5} = \frac{{80}}{5} = 16\)

हम जानते हैं कि माध्य के ओर माध्य विचलन = \(\frac{{\mathop \sum \nolimits_{{\rm{i}} = 1}^{{\rm{i}} = {\rm{n}}} \left| {{{\rm{x}}_{\rm{i}}}-{\rm{\;\bar x}}} \right|}}{{\rm{n}}}\)

माध्य से माध्य विचलन = \(\frac{{\left| {10-{\rm{\;}}16} \right| + \left| {9-{\rm{\;}}16} \right| + \left| {21-{\rm{\;}}16} \right| + \left| {16{\rm{\;}}-{\rm{\;}}16} \right| + \left| {24-{\rm{\;}}16} \right|\;}}{5}\)

अवधारणा:

माध्यिका के ओर अनियंत्रित डेटा के लिए माध्य विचलन:

''n' अवलोकन x1, x2 ………… .. xn के लिए उनके माध्य \(\bar x\) के ओर माध्य विचलन इसके द्वारा दिया गया है: \(M.D = \frac{{\mathop \sum \nolimits_{i = 1}^n \left| {{x_i} - M} \right|}}{N}\) जहां N अवलोकनों की संख्या है और M माध्यिका है।

गणना:

आरोही क्रम में डेटा की व्यवस्था करें -

2, 3, 4, 6, 7, 9, 11

अवलोकनों की संख्या n = 7 (विषम)

माध्यिका \(\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)th\) पद अर्थात 4^था पद = 6 होगा।

उनके माध्यिका M के ओर माध्य विचलन निम्न द्वारा दिया जाता है

यहाँ, M = 6

\(M.D\left( M \right) = \frac{{\left| {2 - 6} \right| + \left| {3 - 6} \right| + \left| {4 - 6} \right| + \left| {6 - 6} \right| + \left| {7 - 6} \right| + \left| {9 - 6} \right| + \left| {11 - 6} \right|}}{7}\)

\(M.D\left( M \right) = \frac{{18}}{7} = 2.57\)

संकल्पना:

माध्य: यह दिए गए अवलोकन का औसत है। माना x₁, x₂, …, x_n, n अवलोकन है, तो 

माध्य \( = {\rm{\bar X}} = \frac{{\mathop \sum \nolimits_{{\rm{i}} = 1}^{\rm{n}} {{\rm{x}}_{\rm{i}}}}}{{\rm{n}}}\)

माध्य विचलन: माना कि x₁, x₂, …, x_n, n अवलोकन है, तब:

माध्य विचलन \( = \frac{{\mathop \sum \nolimits_{{\rm{i}} = 1}^{\rm{n}} \left| {{{\rm{x}}_{\rm{i}}} - {\rm{\bar x}}} \right|}}{{\rm{n}}}\)

गणना:

दिया गया है: आँकड़ें: 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17

माध्य \({\rm{\bar X}} = \frac{{4 + 7 + 8 + 9 + 10 + 12 + 13 + 17}}{8}\)

\( \Rightarrow {\rm{\bar X}} = \frac{{80}}{8}\)

⇒ X̅ = 10

माध्य विचलन \( = \frac{{\mathop \sum \nolimits_{\rm{i}}^{\rm{n}} \left| {{{\rm{X}}_{\rm{i}}} - {\rm{\bar X}}} \right|}}{{\rm{n}}}\)

\(= \frac{{6 + 3 + 2 + 1 + 0 + 2 + 3 + 7}}{8}\)

= 3

संकल्पना:

माध्य से माध्य विचलन = \(\displaystyle \frac{Σ∣x_i​ − x̅ ∣​}{N}\) 

माध्य विचलन का गुणांक = \(\displaystyle \frac{Mean\ Deviation}{\bar x}\)

जहां N प्रेक्षण की संख्या है

x̅ आंकड़ों का माध्य है

x प्रेक्षण का मान है।

गणना:

\(\displaystyle Mean=\bar x=\frac{Sum\ of \ observation\ }{Number\ of \ observation}\)

\(\displaystyle Mean=\bar x=\frac{21+34+23+39+26+37+40+20+33+27}{10}\)

⇒ x̅ = \(\displaystyle \frac{300}{10}=30\)

 माध्य से विचलन का योग Σ∣xi​ − x̅∣ द्वारा दिया जाता है

⇒ Σ∣x_i​ − x̅∣ = ∣21 − 30∣ + ∣34 − 30∣ + ∣23 − 30∣ + ∣39 − 30∣ + ∣26 − 30∣ + ∣37 − 30∣ + ∣40 − 30∣ + ∣20 − 30∣ + ∣33 − 30∣ + ∣27 − 30∣

⇒ Σ∣xi​ − x̅∣ = 9 + 4 + 7 + 9 + 4 + 7 + 10 + 10 + 3 + 3

⇒ Σ∣xi​ − x̅∣ = 66
माध्य से माध्य विचलन = \(\displaystyle \frac{Σ∣x_i​ − x̅ ∣​}{10}\) = \(\displaystyle \frac{66}{10}\) ​= 6.6
माध्य विचलन का गुणांक = \(\displaystyle \frac{6.6}{30}\) = 0.22

∴ माध्य विचलन का गुणांक = 0.22

संकल्पना:

माध्य विचलन ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरणों का प्रयोग कीजिए

चरण 1: दिए गए आकड़ों एक मानों के लिए माध्य मान ज्ञात कीजिए। 

चरण 2: अब दिए गए आकड़ों के मान में से प्रत्येक मान को माध्य मान से घटाइए। (सूचना: घटाव के चिन्ह को नजरअंदाज कीजिए)

चरण 3: अब, चरण 2 में प्राप्त उन मानों का माध्य ज्ञात कीजिए। 

माध्य विचलन \(\rm = \dfrac {1}{n} \sum |x - \bar x|\)

गणना:

दिए गए आकड़े  2, 9, 9, 3, 6, 9, 4 हैं। 

⇒ n = 7

माध्य \(\rm \bar x = \dfrac {2+9+9+3+6+9+4}{7}\)

⇒  \(\rm \bar x = 6\)

माध्य विचलन 

\(\rm = \dfrac {1}{n} \sum |x - \bar x|\;\)

⇒ माध्य विचलन 

\(\rm = \dfrac {1}{7} {(|2-6|+|9-6|+|9-6|+|3-6|+ |6-6|+|9-6|+|4-6|)}\)

⇒ माध्य विचलन =  2.57

अतः आकड़े  2, 9, 9, 3, 6, 9, 4 का माध्य विचलन 2.57 है। 

प्रयुक्त सूत्र

माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन = \(∑\rm \frac{|x_{i} - M|}{n}\)

जहाँ, 

xi = एकल पद

M = माध्यिका

n = पदों की कुल संख्या

गणना:

52, 56, 66, 70, 75, 80, 82

माध्यिका = 70

⇒  M = 70

⇒ (xi - M) का मान है

⇒ -18, -14, -4, 0, 5, 10, 12

⇒ माध्य विचलन = \(\rm \frac{18 + 14 + 4 + 0 + 5 + 10 + 12}{7}\)

∴ माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन 9 हैI

Important Points

माध्य एक आंकड़े के समूह का औसत होता है।

माध्यिका संख्याओं के समूह का माध्य होती है।

माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन 

\(∑\rm \frac{|x_{i} - x̅|}{n}\) जहाँ x̅ = माध्य

xi = एकल पद

n = पदों की कुल संख्या

संकल्पना:

विचलन = |डेटा मान - माध्य|

गणना:

मान लें, डेटा मान \(\rm a_1, a_{2},a_{3},....,a_n\) है

\(\left(a_{1}-2.5\right)+\left(a_{2}-2.5\right)+\left(a_{3}-2.5\right)+\ldots+\left(a_{n}-2.5\right) =50\)​​

\(\left(a_1+a_{2}+a_{3}+.....+a_n\right)-2.5(n)=50\)

\( \left(a_1+a_{2}+a_{3}+.....+a_n\right) = 50+2.5n \) and 

\(\left(a_{1}-3.5\right)+\left(a_{2}-3.5\right)+\left(a_{n}-3.5\right)=-50\)

\(\left(a_1+a_{2}+a_{3}+.....+a_n\right)-3.5(n)=-50\)

\(\left(a_1+a_{2}+a_{3}+.....+a_n\right) = -50+3.5n\)

Now,

अब -50 + 3.5n = 50 + 2.5n

⇒n = 100

⇒ n = 100

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

• एक बंटन का माध्य = \(∑ f_i x_i \over ∑ f_i\) 
• माध्य में माध्य विचलन x̅ = \({∑ f_i|x_i -\overline x | \over ∑ f_i}\)

जहां  fi बारम्बारताएं हैं और xi  वर्ग के मध्य बिंदु हैं। 

गणना:

माध्य की गणना करने पर 

⇒ माध्य = \(∑ f_i x_i \over ∑ f_i\) = \(690 \over 20\) = 34.5

अवधारणा:

असमूहीकृत डेटा के लिए  औसत  विचलन:

'n' अवलोकन x1, x2 ………… .. xn के लिए उनके माध्य \(\bar x\) के ओर विचलन इसके द्वारा दिया गया है: \(M.D= \frac{{\mathop \sum \nolimits_{i = 1}^n \left| {{x_i} - \bar x} \right|}}{N}\) जहां N अवलोकनों की संख्या है

गणना:

दिया गया संख्याओं का डेटा p, 6, 6, 7, 8, 11, 15 और 16 है

माध्य \(\rm\bar x = \frac{{Sum\;of\;all\;the\;observations}}{{Total\;number\;of\;observations}} = \frac{{p + 6 + 6 + 7 + 8 + 11 + 15 + 16}}{8} = 3p\)

⇒ p + 69 = 24p

⇒  23p = 69                  

∴  p = 3

तो दिया गया डेटा 3, 6, 6, 7, 8, 11, 15, 16 है और माध्य 3p यानी 9 है।

∴ माध्य विचलन \(= \frac{{\left| {3 - 9} \right| + \left| {6 - 9} \right| + \left| {6 - 9} \right| + \left| {7 - 9} \right| + \left| {8 - 9} \right| + \left| {11 - 9} \right| + \left| {15 - 9} \right| + \left| {16 - 9} \right|}}{8}\)