Variance and Standard Deviation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Variance and Standard Deviation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

प्रेक्षणों की संख्या, n = 100

मूल मानक विचलन, \( \sigma = 10 \)

प्रत्येक प्रेक्षण पर लागू परिवर्तन:

नया मान, \( x' = \frac{x + 5}{20} \)

योगात्मक अचर (5) मानक विचलन को प्रभावित नहीं करता है, और 20 से सोपानन मानक विचलन को 20 से विभाजित करती है, इसलिए नया मानक विचलन है,

\( \sigma' = \frac{\sigma}{20} \)

\( \sigma' = \frac{10}{20} = 0.5 \)

∴ नया मानक विचलन 0.5 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

व्याख्या:

विचरण गुणांक (C.V.) का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

\( C.V.(X) = \frac{\sigma_X}{M_X} \times 100 \)

मान प्रतिस्थापित करने पर:

\( C.V.(X) = \frac{\sqrt{2}}{50} \times 100 = 2\sqrt{2} \)

Y के लिए विचरण गुणांक है:

\( C.V.(Y) = \frac{\sqrt{3}}{50} \times 100 = 2\sqrt{3} \)

∴ C.V.(X) < C.V.(Y)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है,

50 उष्णकटिबंधीय कंदों की लंबाई X (cm में) और भार Y (gm में) के संगत प्रेक्षणों का योग और वर्गों का योग इस प्रकार दिया गया है:
\(\Sigma X\) = 200, \(\Sigma Y\) = 250, \(\Sigma X^2\)= 900, \(\Sigma Y^2\) = 1400

प्रसरण का सूत्र है:

\( \text{Variance} = \frac{\Sigma X^2}{N} - \left( \frac{\Sigma X}{N} \right)^2 \)

जहाँ N = 50 प्रेक्षणों की संख्या है।

X का प्रसरण:

\( \text{Variance of } X = \frac{\Sigma X^2}{N} - \left( \frac{\Sigma X}{N} \right)^2 \)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\( \text{Variance of } X = \frac{900}{50} - \left( \frac{200}{50} \right)^2 \)

\( \text{X का प्रसरण} = 18 - 16 = 2 \)

Y का प्रसरण:

\( \text{Variance of } X = 18 - 16 = 2 \)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\( \text{Variance of } Y = \frac{1400}{50} - \left( \frac{250}{50} \right)^2 \)

\( \text{Variance of } Y = 28 - 25 = 3 \)

निष्कर्ष:

\( \text{Variance of } X < \text{Variance of } Y \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

उत्तर (4)

हल:

माध्य = 9 = \(\frac{a+b+8+12+10+6+4+15}{8}\)

⇒ a + b + 55 = 72 ⇒ a + b = 17

\(\frac{a^{2}+b^{2}+64+144+100+36+16+225}{8}\) - 9² = 9.25

a² + b² + 585 - 81 = 74

⇒ a² + b² = 137

⇒ (a + b)² - 2ab = 137

⇒ 289 - 2ab = 137 ⇒ 2ab = 152 ⇒ ab = 76

⇒ a + b + ab = 17 + 76 = 93

गणना:

\(\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}=10 \mathrm{n} \)

\(\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}-8+12=(10.2) \mathrm{n} \quad \therefore \mathrm{n}=20\)

अब \(\frac{\sum_{i=1}^{20} x_{i}^{2}}{20}-(10)^{2}=4 \Rightarrow \sum_{i=1}^{20} x_{i}^{2}=2080 \)

\(\frac{\sum_{i=1}^{20} x_{i}^{2}-8^{2}+12^{2}}{20}-(10.2)^{2}\)

= 108 - 104.04 = 3.96

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

प्रयुक्त सूत्र:

• σ2 = ∑(xi – x)2/n
• मानक विचलन समान होता है जब प्रत्येक तत्व को एक ही स्थिरांक से बढ़ाया जाता है

गणना:

चूंकि प्रत्येक डेटा में 10 की वृद्धि होती है,

मानक विचलन में कोई परिवर्तन नहीं होगा क्योंकि (xi – x) समान रहता है।

∴ 10, 11, 12, 13 _____ 19 का मानक विचलन K होगा।

Alternate Method 

गणना:

माना कि संख्याएँ x1, x2, x3, x4 हैं।

चार संख्याओं का माध्य x1, x2, x3, x4 = 37

चार संख्याओं का योग x1, x2, x3, x4 = 37 × 4 = 148.

तीन न्यूनतम संख्याओं का माध्य x1, x2, x3 = 34

तीन न्यूनतम संख्याओं का योग x1, x2, x3 = 34 × 3 = 102.

∴ अधिकतम संख्या का मान x4 = 148 – 102 = 46.

रेंज (अधिकतम और न्यूनतम संख्याओं के बीच का अंतर) x4 – x1 = 15.

∴ न्यूनतम संख्या x1 = 46 – 15 = 31.

अब,

x2, x3 का योग = कुल योग – (न्यूनतम और अधिकतम संख्या का योग)

⇒ 148 – (46 + 31)

⇒ 148 – 77

⇒ 71

अब,

\(\bar x\) (माध्य) \( = \;\frac{{\sum fx}}{n}\)

माध्य

⇒ n = कुल आवृति

\(\sum fx =\) मध्य मान के गुणनफल का योग - अंतराल मान और उनकी संगत आवृत्तियाँ

10 – 12 का मध्य मान = (10 + 12)/2 = 11

12 – 14 का मध्य मान = (12 + 14 )/2 = 13

14 – 16 का मध्य मान = (14 + 16 )/2 = 15

16 – 18 का मध्य मान = (16 + 18 )/2 = 17

18 – 20 का मध्य मान = (18 + 20 )/2 = 19

⇒ माध्य \( = \;\frac{{11\; \times \;6\; + \;13\; \times \;8\; + \;15\; \times \;5\; + \;17\; \times \;7\; + \;19\; \times \;4}}{{6\; + \;8\; + \;5\; + \;7\; + \;4}} = \;\frac{{440}}{{30}}\)

⇒ माध्य = 14.67

∴ दिए गए डेटा के माध्य अंक 14.67 हैं

संकल्पना:

मानक विचलन:

अवलोकन समुच्चय \(\rm \{x_i,i=1,2,3,\cdots\}\) का मानक विचलन निम्नानुसार दिया गया है:

\(\rm \sigma=\sqrt{\dfrac{\sum\left(x_i-\mu\right)^2}{N}}\)

जहाँ N = अवलोकन समुच्चय का आकार और μ = अवलोकनों का माध्य।

गणना:

सबसे पहले हम दिए गए अवलोकनों के माध्य की गणना करेंगे।

\(\begin{align*} \mu &= \dfrac{-\sqrt6-\sqrt5-\sqrt4-1+1+\sqrt4+\sqrt5+\sqrt6}{8}= 0 \end{align*}\)

इसलिए मानक विचलन सूत्र के वर्गमूल पद के अंदर अंश \(\rm (x_i-\mu)^2=x_i^2\) के बराबर होगा।

अब हम निरीक्षण करते हैं कि \(\rm N=8\)।

इसलिए, मानक विचलन निम्नानुसार दिया गया है:

\(\begin{align*} \sigma &= \sqrt{\dfrac{\left(-\sqrt6\right)^2+\left(-\sqrt5\right)^2+\left(-\sqrt4\right)^2+\left(-1\right)^2+\left(1\right)^2+\left(\sqrt4\right)^2+\left(\sqrt5\right)^2+\left(\sqrt6\right)^2}{8}}\\ &= \sqrt{\dfrac{32}{8}}\\ &= \sqrt4\\ &= 2 \end{align*}\)

इसलिए, दिए गए अवलोकनों का मानक विचलन 2 है।

संकल्पना:

यदि प्रत्येक अवलोकन को एक संख्या से गुणा किया जाता है, तो माध्य को भी समान संख्या से गुणा किया जाता है। 

\(\text { Variance }=\sigma^{2}=\frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{\text {} n}\)

यदि प्रत्येक अवलोकन को एक संख्या से गुणा किया जाता है, तो नयी भिन्नता = (संख्या)² × पुरानी भिन्नता

गणना:

यहाँ, माध्य (x̅) = 4 और भिन्नता (σ²) = 2

अवलोकन की संख्या (n) = 10

नया माध्य = 2 × (माध्य)

= 2 × 4

⇒ 8

नयी भिन्नता  = (संख्या)2 × पुरानी भिन्नता

⇒ 2² × 2

⇒ 8

अतः विकल्प (3) सही है। 

हम जानते हैं कि,

\(S.D = \sqrt {Variance} = \sqrt {81} = 9\)

और,

गुणांक भिन्नता \(= \frac{{S.D}}{{Mean}} \times 100\) 

\(30 = \frac{9}{{Mean}} \times 100\)

गणना:

दिए गए मान 6.5, 3.4, 8.6, 2.9

दी गई संख्या को आरोही क्रम में रखने पर, हमें मिलेगा

2.9, 3.4, 6.5, 8.6

वर्णन:

मानक विचलन की गणना करने में प्रयोग किया गया पद अवलोकनों के माध्य से विचलन होते हैं। 

चूँकि प्रत्येक संख्या/अवलोकन को 2 बढ़ा दिया जाता है, इसलिए माध्य से विचलन समान रहता है। 

इसलिए मानक विचलन समान रहता है। 

इसके अलावा माध्यक उसके अनुसार मध्य पद या दो माध्य पदों का औसत तब प्रदान करता है जब पदों की कुल संख्या विषम या सम होती है। 

इसलिए, इसे 2 बढ़ाना है। 

अतः नया माध्यक = 20 + 2 = 22 और मानक विचलन = 4

माध्यिका = [(n + 1)/2]^वां पद

n → विषम पद

⇒ माध्यिका = [(5 + 1)/2]^वां पद

⇒ माध्यिका = 3^वां पद

माध्य, \(\bar x = \frac{{2 + 4 + 6 + 8 + 10}}{5} = \frac{{30}}{5} = 6\) 

अतः प्रसरण​\(\ = \frac{1}{n}\sum {\left( {{x_i} - \bar x} \right)^2}\;\)

\(= \frac{1}{5}\left\{ {{{\left( {2 - 6} \right)}^2} + {{\left( {4 - 6} \right)}^2} + {{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( {8 - 6} \right)}^2} + {{\left( {10 - 6} \right)}^2}} \right\}\)

\(= \frac{1}{5}\left\{ {16 + 4 + 0 + 4 + 16} \right\} = \frac{1}{5} \times 40 = 8\)