Initial Value Problem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Initial Value Problem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

व्याख्या:

y' = √y, y(0) = 0 ....(i)

उपरोक्त मूल समीकरण के साथ (i) की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है,

a = 1 > 0

इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

\(\frac{d y}{d x}-\frac{y} x=x \) जो y में रैखिक है

IF = \(e^{-\int \frac1xdx}\) = e^-logx = 1/x

इसलिए, सामान्य हल है

\(\frac yx=\int x.\frac 1xdx\) + c

⇒ \(\frac yx\) = x + c

⇒ y = x² + cx

y(0) = 1 का उपयोग करते हुए

⇒ 1 = 0 जो संभव नहीं है।

इसलिए, अवकल समीकरण का कोई हल नहीं है।

(4) सही है।

संप्रत्यय:

हलों का अस्तित्व: दक्षिण पक्ष \(\frac{\sin(y(x))}{1 + y(x)^4}. \) सभी \(y \in \mathbb{R}\) के लिए चिकना और सुव्यवस्थित है।

यह किसी भी प्रारंभिक स्थिति \( y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए एक वैश्विक हल के अस्तित्व को सुनिश्चित करता है, और हल सभी \(x \in \mathbb{R}\) के लिए अस्तित्व है।

व्याख्या:

हमें प्रारंभिक मान समस्या (IVP) दी गई है

\(y'(x) = \frac{\sin(y(x))}{1 + y(x)^4}, \quad x \in \mathbb{R}, \quad y(0) = y_0.\)

अवकल समीकरण का दक्षिण हस्त पक्ष है:

\(\frac{\sin(y(x))}{1 + y(x)^4}. \)

जहाँ अंश y(x) के सभी मानों के लिए -1 और 1 के बीच परिबद्ध है।

हर \(1 + y(x)^4\) तेजी से बढ़ता है क्योंकि |y(x)| बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि दक्षिण हस्त पक्ष \(\frac{\sin(y(x))}{1 + y(x)^4}. \) 0 के की ओर अग्रसर होता है चूँकि |\(y(x)| \to \infty\) है। इसलिए, y(x) की वृद्धि दर हर द्वारा नियंत्रित होती है,

और अवकल समीकरण इंगित करता है कि y(x) के बड़े मान तेजी से नहीं बढ़ेंगे क्योंकि दक्षिण पक्ष छोटा हो जाता है क्योंकि |y(x)| बढ़ता है।

यह दिया गया है कि दक्षिण पक्ष बड़े |y(x)| के लिए शून्य की ओर जाता है, यह सुझाव देता है कि सभी प्रारंभिक स्थितियों \(y_0\) के लिए हल परिबद्ध होंगे। भले ही y(x) एक बड़े मान से शुरू होता है, छोटा दक्षिण पक्ष का अर्थ है कि y(x) अनिश्चित काल तक नहीं बढ़ेगा।

धनात्मक और ऋणात्मक दोनों प्रारंभिक मानों \(y_0\) के लिए, फलन y'(x) परिबद्ध होगा क्योंकि अंश \(\sin(y(x))\) परिबद्ध है और हर \(1 + y(x)^4\) बड़े |y(x)| के लिए तेजी से बढ़ता है। इसलिए, सभी प्रारंभिक मान \(y_0\) के लिए सभी हल परिबद्ध हैं।

कोई प्रारंभिक मान \(y_0\) नहीं है जो अपरिबद्ध हल की ओर ले जाता है।

चूँकि दक्षिण हस्त पक्ष पर फलन \(\frac{\sin(y(x))}{1 + y(x)^4}. \) सभी \(y \in \mathbb{R}\) के लिए चिकना और सुव्यवस्थित है, किसी भी प्रारंभिक स्थिति \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए IVP का एक अद्वितीय हल है, और हल सभी \(x \in \mathbb{R}\) के लिए अस्तित्व में है।

विकल्प 1: एक धनात्मक \(y_0\) है जिसके लिए IVP का हल अपरिबद्ध है। असत्य है - सभी हल परिबद्ध हैं, चाहे प्रारंभिक मान \(y_0\) कुछ भी हो।

विकल्प 2: एक ऋणात्मक \(y_0\) है जिसके लिए IVP का हल परिबद्ध है। सत्य है - सभी हल परिबद्ध हैं, जिसमें ऋणात्मक प्रारंभिक मान वाले भी शामिल हैं।

विकल्प 3: प्रत्येक \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए, IVP का प्रत्येक हल परिबद्ध है। सत्य है - किसी भी प्रारंभिक मान \(y_0\) के लिए सभी हल परिबद्ध हैं।

विकल्प 4: प्रत्येक \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए, सभी \( x \in \mathbb{R}\) के लिए IVP का एक हल है। सत्य है - IVP में किसी भी प्रारंभिक स्थिति के लिए एक वैश्विक हल है क्योंकि दक्षिण हस्त पक्ष चिकना और सुव्यवस्थित है।

इसलिए, सही विकल्प 2), 3) और 4) हैं।

संप्रत्यय:

लिप्सचित्ज़ शर्त: एक फलन \(f(x, y)\) एक प्रांत \(D \subset \mathbb{R}^2 \) में \(y\) के संबंध में लिपशीट्ज-प्रतिबंध को संतुष्ट करता है। यदि एक अचर \(L > 0 \) इस प्रकार है कि किसी भी \((x, y_1) \) और \((x, y_2) \) के लिए D में, निम्नलिखित असमिका धारण करती है

\(|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \leq L |y_1 - y_2|.\)

अचर \(L\) को लिपशीट्ज अचर कहा जाता है।

व्याख्या:

\(y'(x) = \sqrt{|y(x)| + \epsilon}, \quad x \in \mathbb{R}\)

\(y(0) = y_0 \), जहाँ \(\epsilon > 0\) एक अचर है, और \(y_0 \in \mathbb{R}\) है।

S1: एक \(\epsilon > 0\) इस प्रकार है कि सभी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।

S2: एक \(y_0 \in \mathbb{R}\) इस प्रकार है कि सभी \(\epsilon > 0\) के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।

अवकल समीकरण \(y'(x) = \sqrt{|y(x)| + \epsilon}\) है। चूँकि \(\epsilon > 0\) है, समीकरण का दाहिना भाग हमेशा धनात्मक और किसी भी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए सुपरिभाषित है।

सामान्य तौर पर, IVP के हलों की विशिष्टता को अक्सर लिपशीट्ज प्रतिबंध द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

एक फलन \( f(y) = \sqrt{|y| + \epsilon}\) के लिए, हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या फलन y के संबंध में लिपशीट्ज प्रतिबंध को संतुष्ट करता है।

\(f'(y) = \frac{1}{2\sqrt{|y| + \epsilon}}.\)

यह फलन सभी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए संतत और परिबद्ध है क्योंकि \(\epsilon > 0\) y = 0 पर कोई विचित्रता सुनिश्चित करता है।

इसलिए, फलन लिपशीट्ज प्रतिबंध को संतुष्ट करता है, यह सुनिश्चित करता है कि जब \(\epsilon > 0\) हो तो प्रत्येक \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए IVP का एक विशिष्ट हल होता है।

S1: यह कथन दावा करता है कि कुछ \(\epsilon > 0\) है जिसके लिए सभी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए IVP का एक से अधिक हल है।

हमारे विशिष्टता विश्लेषण (लिपशीट्ज प्रतिबंध) से, IVP में वास्तव में सभी \(\epsilon > 0\) और \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए एक विशिष्ट हल है।

इसलिए, S1 असत्य है।

S2: यह कथन दावा करता है कि कुछ \(y_0 \in \mathbb{R}\) और सभी \(\epsilon > 0\) के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।

इसी तर्क (लिपशीट्ज प्रतिबंध और अवकलज का सांतत्य) के आधार पर, हल सभी \(\epsilon > 0\) और किसी भी \( y_0\) के लिए विशिष्ट रहता है। इसलिए, S2 भी असत्य है।

दोनों कथन S1 और S2 असत्य हैं।

इस प्रकार, सही विकल्प 4) है।

व्याख्या:

y' = y(y - 1)(y - 2)

⇒ \(dy\over dx\) = y(y - 1)(y - 2)

⇒ \(dy\over y(y-1)(y-2)\) = dx....(i)

मान लीजिये \({1\over y(y-1)(y-2)}={A\over y}+{B\over y-1}+{C\over y-2}\)

⇒ 1 = A(y - 1)(y - 2) + By(y - 2) + Cy(y - 1)

y = 0 रखने पर हम प्राप्त करते हैं

2A = 1 ⇒ A = 1/2

y = 1 रखने पर हम प्राप्त करते हैं

- B = 1 ⇒ B = - 1

y = 2 रखने पर हम प्राप्त करते हैं

2C = 1 ⇒ C = 1/2

इसलिए, \({1\over y(y-1)(y-2)}=\frac12{1\over y}-{1\over y-1}+\frac12{1\over y-2}\)

फिर (i) से

(\(\frac12{1\over y}-{1\over y-1}+\frac12{1\over y-2}\))dy = dx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं

\(\frac12[\log y+\log (y-2)]-\log (y-1)\) = x + c

⇒ log\(\sqrt{y(y-2}\over y-1\) = x + c....(ii)

जो परिभाषित है यदि

y ≠ 1 और y(y - 2) > 0

⇒ y > 2 या y < 0....(iii)

(1): y(0) = 0.5 जो संभव नहीं है क्योंकि यह (iii) को संतुष्ट नहीं करता है

विकल्प (1) गलत है

(2): y(0) = 1.2 जो संभव नहीं है क्योंकि यह (iii) को संतुष्ट नहीं करता है

विकल्प (2) गलत है

विकल्प (4) भी गलत है क्योंकि y(x) हमेशा 1 से बड़ा होता है

इसलिए विकल्प (3) सही है

व्याख्या:

माना f ∶ ℝ2 → ℝ  स्थानीयतः लिपशिट्ज फलन है। प्रारंभिक मान समस्या पर विचार करने पर,

ẋ = f(t, x), x(t0) = x0

 (t0, x0) ∈ ℝ2  के लिए,

पिकार्ड के प्रमेय का प्रयोग करने पर, हम जानते हैं कि हल अंतराल 

\(|x-x_o|< a ; |t-t_o|< b \)  में निहित हैं। 

जो एक विवृत्त अंतराल है। 

इसलिए, विकल्प (2) सही विकल्प है।

व्याख्या:

\(\frac{d y}{d t}=y^α\)

\(\Rightarrow \frac{y^{1-α}}{1-α}=t+c\)

और y(0) = y₀ ⇒ \(\frac{y_0^{1-α}}{1-α}=c\)

तब y1-α = (1 - α)t + y01-α

और यदि α > 1 ⇒ 1 - α < 0. मान लीजिये 1 - α = -a, a > 0

तब (1) y-a = -at + y0-a

⇒ \(y^a=\frac{1}{y_0^{-a}-a t}\)

तब y0-a - at = 0, हल मौजूद नहीं है।

\(\Rightarrow \quad t=\frac{y_o^{-a}}{a}=\frac{1}{a \cdot y_o^a}>o\)

(∵ y0 > 0, a > 0)

∴ (*) का कोई वैश्विक हल नहीं है

जैसे \(\frac{1}{a \cdot y_0^a}\) ∈ (0, ∞)

विकल्प (1) और (3) गलत हैं

(* *) \(\frac{d z}{d t}=-z^α\) ⇒ \(\frac{z^{1-α}}{1-α}=-t+c\)

और z0 = z(0) ⇒ \(\frac{z_0^{1-α}}{1-α}=c\)

∴ z1-α = -(1 - α)t + z01-α ....(ii)

और α > 1 के लिए ⇒ 1 - α < 0. इसलिए, मान लीजिये 1 - α = - b, b > 0

तब (ii) ⇒ z-b = bt + zo-b ⇒ \(z^b=\frac{1}{b t+z_0^{-b}}\)

और bt + z0-b​ = 0 के लिए हल मौजूद नहीं है

⇒ \( t=-\frac{z_0^{-b}}{b}=-\frac{1}{z_0^b \cdot b}\) < o

(∵ zo > o, b > 0)

इसलिए, ∀ t > 0, (* *) का हल मौजूद है

⇒​ (**) के वैश्विक हल हैं।

विकल्प (2) गलत है।

साथ ही, T < ∞के लिए, T = \(\frac{1}{a \cdot y_0 a}\)

\(\lim _{t \rightarrow T}|y(t)|=\lim _{t \rightarrow T}\left|\left(\frac{1}{y_0^{-a}-a t}\right)^{1 / a}\right| \)

\(=\lim _{t \rightarrow \frac{1}{a \cdot y_0} a}\left|\left(y_0^{\frac{1}{-a}-a t}\right)^{1 / a}\right|\)

= + ∞

∴ विकल्प (4) सही है।

संप्रत्यय:

लिप्सचित्ज़ शर्त: एक फलन \(f(x, y)\) एक प्रांत \(D \subset \mathbb{R}^2 \) में \(y\) के संबंध में लिपशीट्ज-प्रतिबंध को संतुष्ट करता है। यदि एक अचर \(L > 0 \) इस प्रकार है कि किसी भी \((x, y_1) \) और \((x, y_2) \) के लिए D में, निम्नलिखित असमिका धारण करती है

\(|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \leq L |y_1 - y_2|.\)

अचर \(L\) को लिपशीट्ज अचर कहा जाता है।

व्याख्या:

\(y'(x) = \sqrt{|y(x)| + \epsilon}, \quad x \in \mathbb{R}\)

\(y(0) = y_0 \), जहाँ \(\epsilon > 0\) एक अचर है, और \(y_0 \in \mathbb{R}\) है।

S1: एक \(\epsilon > 0\) इस प्रकार है कि सभी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।

S2: एक \(y_0 \in \mathbb{R}\) इस प्रकार है कि सभी \(\epsilon > 0\) के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।

अवकल समीकरण \(y'(x) = \sqrt{|y(x)| + \epsilon}\) है। चूँकि \(\epsilon > 0\) है, समीकरण का दाहिना भाग हमेशा धनात्मक और किसी भी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए सुपरिभाषित है।

सामान्य तौर पर, IVP के हलों की विशिष्टता को अक्सर लिपशीट्ज प्रतिबंध द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

एक फलन \( f(y) = \sqrt{|y| + \epsilon}\) के लिए, हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या फलन y के संबंध में लिपशीट्ज प्रतिबंध को संतुष्ट करता है।

\(f'(y) = \frac{1}{2\sqrt{|y| + \epsilon}}.\)

यह फलन सभी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए संतत और परिबद्ध है क्योंकि \(\epsilon > 0\) y = 0 पर कोई विचित्रता सुनिश्चित करता है।

इसलिए, फलन लिपशीट्ज प्रतिबंध को संतुष्ट करता है, यह सुनिश्चित करता है कि जब \(\epsilon > 0\) हो तो प्रत्येक \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए IVP का एक विशिष्ट हल होता है।

S1: यह कथन दावा करता है कि कुछ \(\epsilon > 0\) है जिसके लिए सभी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए IVP का एक से अधिक हल है।

हमारे विशिष्टता विश्लेषण (लिपशीट्ज प्रतिबंध) से, IVP में वास्तव में सभी \(\epsilon > 0\) और \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए एक विशिष्ट हल है।

इसलिए, S1 असत्य है।

S2: यह कथन दावा करता है कि कुछ \(y_0 \in \mathbb{R}\) और सभी \(\epsilon > 0\) के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।

इसी तर्क (लिपशीट्ज प्रतिबंध और अवकलज का सांतत्य) के आधार पर, हल सभी \(\epsilon > 0\) और किसी भी \( y_0\) के लिए विशिष्ट रहता है। इसलिए, S2 भी असत्य है।

दोनों कथन S1 और S2 असत्य हैं।

इस प्रकार, सही विकल्प 4) है।

संप्रत्यय:

यदि \(\frac{dy}{dx}=y^n\), n ∈ (0, 1) और y(a) = 0, a ∈ \(\mathbb R\) तब अवकल समीकरण के अनंत स्वतंत्र हल होते हैं।

व्याख्या:

यहाँ \( \frac{d y}{d t}=y^{\frac{5 k}{5 k+2}}\), k ∈ \(\mathbb N\), y(0) = 0

∵ n = \(\frac{5k}{5k+2}\) < 1 ∀ k ∈ \(\mathbb N\)

अतः इसके अनंत हल हैं जो (0, ∞) पर सतत रूप से अवकलनीय हैं।

विकल्प (3) सही है

अवधारणा:

चर पृथक्करण अवकल समीकरण  \(\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\) प्रकार की प्रथम-कोटि की साधारण अवकल समीकरण है, जहां f(x) और g(y), x और y के सापेक्ष फलन हैं।

स्पष्टीकरण:

\(\rm x \frac{d y}{d x}=y\),  y(0) = 0, x > 0

⇒ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)

⇒ \(\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}\)

अब, दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

logy = logx + logc

⇒ y=cx

(0,0) से गुजरता है

⇒ 0=0

⇒ अनन्त हल

गणना:

(A) \(\rm \frac{dx}{dt}=x^3⇒ \frac{dx}{x^3}=dt\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

\(\rm -\frac{1}{2x^2}=t+c\)

चूँकि, दिया गया है x(0) = 1 ⇒ \(\rm -\frac{1}{2}\) = 0 + c ⇒ = \(\rm -\frac{1}{2}\)

इसलिए

\(\rm -\frac{1}{2x^2}=t-\frac{1}{2}\)

\(\rm \frac{1}{x^2}=-2t+1\)

\(\rm x^2=\frac{1}{1-2t}\)

\(\rm x=\pm\frac{1}{\sqrt{1-2t}}\)

अतः, |x(t)| → ∞ पर \(\rm t = \frac{1}{2}\)

इसलिए, हल (A) एक सीमित समय में समाप्त हो जाता है।

∴ कथन (I) सत्य है।

(बी) \(\rm \frac{dx}{dt}=x \sin(x^2)\)

यहाँ \(\rm \left|\frac{dx}{dt}\right|=|x \sin x^2|\le|x|\)

|x| जो कि फलन x का प्रवणता है, तेजी से नहीं बढ़ता है, यह धीरे-धीरे बढ़ता है।

इसलिए x सीमित समय में समाप्त नहीं होता है।

अतः, (B) का समाधान परिमित समय में नहीं निकलता है।

∴ कथन (II) असत्य है।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

हल:

दिया गया अवकल समीकरण

\(\frac{dy}{dx}+α y\) = 0, y(0) = 1 जहाँ \(α \in R\)

\(\frac{dy}{dx} = -α y \)

पृथक्करणीय चर विधि का उपयोग करके

\(\frac{dy}{y} = -α dx \)

दोनों पक्षों का समाकलन करें

log y = - αx + log c₁

y = \(c_1e^{-α x}\)

दिया गया प्रारंभिक प्रतिबंध y(1) = 0 है तब, \(c_1 = 1\) 

इसलिए, हल है

y = \(e^{-α x}\)

(1): y(1) = \(e^{-α}\) ≠ 0 किसी भी α के लिए

इसलिए, एक α का अस्तित्व इस प्रकार नहीं है कि y(1) = 0 है। 

(1) गलत है। 

(2): \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\)y(x) = \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\)\(e^{-α x}\) = 0 सभी α > 0 के लिए

इसलिए, कोई अद्वितीय α इस प्रकार नहीं है कि​ \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\) y(x) = 0 है। 

(2) गलत है। 

(3): y(2) = 1

⇒ \(e^{-2α}\) = 1 ⇒ α = 0

एक α इस प्रकार है कि y(2) = 1 है। 

(3) गलत है। 

(4): y(1) = 2

⇒ \(e^{-α}\) = 2 ⇒ - α = log(2) ⇒ α = - log(2)

इसलिए, एक अद्वितीय α इस प्रकार है कि y(1) = 2 है। 

(4) सही है। 

अवधारणा:

अवकल समीकरण y' = ky^α, y(a) = 0 जहाँ α ∈ (0, 1) और a ∈ \(\mathbb R\) है

(i) अद्वितीय हल होगा यदि k < 0 और

(ii) अनंत हल होंगे यदि k > 0

व्याख्या:

(P) \(\left\{\begin{array}{l} \rm x^{\prime}(t)=\sqrt{x(t)}, t>0 \\ \rm x(0)=0\end{array}\right.\) तो x'(t) = x^1/2, x(0) = 0

यहाँ α = 1/2 ∈ (0, 1) और k = 1 > 0

इसलिए (P) का [0, ∞) में अनंत हल होंगे।

विकल्प (3) सही है

(Q) \(\left\{\begin{array}{l} \rm y^{\prime}(t)=-\sqrt{y(t)}, t>0 \\ \rm y(0)=0\end{array}\right.\) तो y'(t) = y1/2, y(0) = 0

यहाँ α = 1/2 ∈ (0, 1) और k = - 1 < 0

इसलिए (Q) का [0, ∞) में एक अद्वितीय हल होगा।

विकल्प (2) सही है।

व्याख्या:

माना f ∶ ℝ2 → ℝ  स्थानीयतः लिपशिट्ज फलन है। प्रारंभिक मान समस्या पर विचार करने पर,

ẋ = f(t, x), x(t0) = x0

 (t0, x0) ∈ ℝ2  के लिए,

पिकार्ड के प्रमेय का प्रयोग करने पर, हम जानते हैं कि हल अंतराल 

\(|x-x_o|< a ; |t-t_o|< b \)  में निहित हैं। 

जो एक विवृत्त अंतराल है। 

इसलिए, विकल्प (2) सही विकल्प है।