Non IVP MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Non IVP - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest Non IVP MCQ Objective Questions
Non IVP Question 1:
आइए हम एक प्रारंभिक मान समस्या y' = xy1/3, y(0) = 0, (x, y) ∈ ℝ x ℝ पर विचार करें। तब निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Non IVP Question 1 Detailed Solution
अवधारणा:
मान लीजिये एक IVP y' = f(x, y) है। फलन f(x, y) लिप्सचित्ज़ शर्त को संतुष्ट करेगा यदि \(\partial f\over \partial y\) परिबद्ध है।
व्याख्या:
दिया गया IVP
y' = xy1/3, y(0) = 0, (x, y) ∈ ℝ x ℝ.
f(x, y) = xy1/3
\(\partial f\over \partial y\) = \(\frac13xy^{-\frac23}\) = \(\frac13.\frac x {y^{\frac23}}\) जो y = 0 के प्रतिवेश में परिबद्ध नहीं है।
इसलिए फलन f(x, y) = xy1/3 y के संबंध में y = 0 के किसी भी प्रतिवेश में लिप्सचित्ज़ शर्तों को संतुष्ट नहीं करता है
(1) सही है।
y' = xy1/3
\(y^{-\frac13}dy=xdx\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर
\(\frac32y^{2/3}=\frac {x^2}2+c\)
y(0) = 0 का उपयोग करने पर c = 0 प्राप्त होता है
इसलिए, \(y^{2/3}=\frac{x^2}3\)
अर्थात, y = \((\frac{x^2}3)^{3/2}\) जो एक हल है।
साथ ही y = 0 एक हल है।
इसलिए IVP का एक से अधिक हल है।
(4) सही है।
Non IVP Question 2:
यदि \(y_1(t)=e^{-x^2}\) किसी वास्तविक संख्या α और β के लिए अवकल समीकरण xy" + αy' + βx3y = 0 का एक हल है, तो αβ का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Non IVP Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
\(y_1(t)=e^{-x^2}\), \(y_1'(t)=-2xe^{-x^2}\), \(y_1''(t)=4x^2e^{-x^2}-2e^{-x^2}\)
दिए गए अवकल समीकरण xy" + αy' + βx3y = 0 में प्रतिस्थापित करने पर
x(\(4x^2e^{-x^2}-2e^{-x^2}\))+ α(\(-2xe^{-x^2}\)) + βx3 (\(e^{-x^2}\)) = 0
दोनों ओर \(e^{-x^2}\) से भाग देने पर
x3(β + 4) - 2x(α + 1) = 0
गुणांकों की तुलना करने पर
β = -4, α = -1
αβ = 4
(4) सही है
Top Non IVP MCQ Objective Questions
Non IVP Question 3:
आइए हम एक प्रारंभिक मान समस्या y' = xy1/3, y(0) = 0, (x, y) ∈ ℝ x ℝ पर विचार करें। तब निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Non IVP Question 3 Detailed Solution
अवधारणा:
मान लीजिये एक IVP y' = f(x, y) है। फलन f(x, y) लिप्सचित्ज़ शर्त को संतुष्ट करेगा यदि \(\partial f\over \partial y\) परिबद्ध है।
व्याख्या:
दिया गया IVP
y' = xy1/3, y(0) = 0, (x, y) ∈ ℝ x ℝ.
f(x, y) = xy1/3
\(\partial f\over \partial y\) = \(\frac13xy^{-\frac23}\) = \(\frac13.\frac x {y^{\frac23}}\) जो y = 0 के प्रतिवेश में परिबद्ध नहीं है।
इसलिए फलन f(x, y) = xy1/3 y के संबंध में y = 0 के किसी भी प्रतिवेश में लिप्सचित्ज़ शर्तों को संतुष्ट नहीं करता है
(1) सही है।
y' = xy1/3
\(y^{-\frac13}dy=xdx\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर
\(\frac32y^{2/3}=\frac {x^2}2+c\)
y(0) = 0 का उपयोग करने पर c = 0 प्राप्त होता है
इसलिए, \(y^{2/3}=\frac{x^2}3\)
अर्थात, y = \((\frac{x^2}3)^{3/2}\) जो एक हल है।
साथ ही y = 0 एक हल है।
इसलिए IVP का एक से अधिक हल है।
(4) सही है।