Variation of Parameters MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Variation of Parameters - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 4, 2025
Latest Variation of Parameters MCQ Objective Questions
Variation of Parameters Question 1:
दिया गया अवकल समीकरण \(x^2 y'' - 3x y' + 4y = \ln(x), \quad x > 0 \) है, जहाँ प्रतिबंध y(1) = 6 और y'(1) = 13 हैं। तब y(e) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Variation of Parameters Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
\(x^2 y'' - 3x y' + 4y = \ln(x), \quad x > 0 \)
यह कॉची यूलर समीकरण है।
मान लीजिये \(x = e^z \) और
\(x^2 y'' = r(r-1) , x y' = r \) प्रतिस्थापित करते पर,
r(r-1) - 3r + 4 = 0
⇒ \(r^2 - 4r + 4 = 0 \)
⇒ \((r-2)^2 = 0 \)
मूल एक पुनरावृत्त मूल r = 2 है।
इसलिए, समांगी समीकरण का हल है:
⇒ \(C.F = C_1 x^2 + C_2 x^2 \ln(x) \)
⇒ \(y_p = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x), \)
जहाँ \(y_1(x) = x^2 \) और \(y_2(x) = x^2 \ln(x) \)
\(W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} \)
⇒ \(W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} x^2 & x^2 \ln(x) \\ 2x & 2x \ln(x) + x \end{vmatrix} \)
⇒ \(W(y_1, y_2) = x^2 (2x \ln(x) + x) - (x^2 \ln(x))(2x) \)
⇒ \(W(y_1, y_2) = 2x^3 \ln(x) + x^3 - 2x^3 \ln(x) \)
⇒ \(W(y_1, y_2) = x^3 \)
\(u_1(x) = \int -\frac{\ln^2(x)}{x} \, dx, \quad u_2(x) = \int \frac{\ln(x)}{x} \, dx \)
⇒ \(u_2(x) = \int \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \frac{\ln^2(x)}{2} \)
इसका विशेष हल है:
\(y_p = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x) \)
⇒ \(y_p = \left(-\frac{\ln^3(x)}{3}\right)x^2 + \left(\frac{\ln^2(x)}{2}\right)x^2 \ln(x) \)
⇒ \(y_p = -\frac{x^2 \ln^3(x)}{3} + \frac{x^2 \ln^3(x)}{2} \)
⇒ \(y_p = x^2 \ln^3(x) \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \)
⇒ \(y_p = \frac{x^2 \ln^3(x)}{6} \)
सामान्य हल
\(y = y_h + y_p \)
\(y_h = C_1 x^2 + C_2 x^2 \ln(x) \) और \(y_p = \frac{x^2 \ln^3(x)}{6} \) प्रतिस्थापित करते पर:
⇒ \(y = C_1 x^2 + C_2 x^2 \ln(x) + \frac{x^2 \ln^3(x)}{6} \)
और \(y' = 2x C_1 + C_2 (2x \ln(x) + x) + \frac{1}{6}( 2x \ln^3{x} +3 x \ln^2{x} ) \)
चूँकि, y(1) = 6 ⇒ \(C_1 = 6 \)
इसके अलावा y'(1) = 13
\(13 = 2C_1 + C_2 \)
\(13 = 12 + C_2 \)
\(C_2 = 1 \)
अब, सामान्य हल है:
\(y = 6 x^2 + x^2 \ln(x) + \frac{x^2 \ln^3(x)}{6} \)
\(y(e) = 6 e^2 + e^2 \ln(e) + \frac{e^2 × 1}{6} \)
\(y(e) = 7 e^2 + \frac{1}{6} e^{2} \)
इसलिए विकल्प (4) सही उत्तर है।
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Variation of Parameters Question 2:
दिया गया अवकल समीकरण \(x^2 y'' - 3x y' + 4y = \ln(x), \quad x > 0 \) है, जहाँ प्रतिबंध y(1) = 6 और y'(1) = 13 हैं। तब y(e) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Variation of Parameters Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
\(x^2 y'' - 3x y' + 4y = \ln(x), \quad x > 0 \)
यह कॉची यूलर समीकरण है।
मान लीजिये \(x = e^z \) और
\(x^2 y'' = r(r-1) , x y' = r \) प्रतिस्थापित करते पर,
r(r-1) - 3r + 4 = 0
⇒ \(r^2 - 4r + 4 = 0 \)
⇒ \((r-2)^2 = 0 \)
मूल एक पुनरावृत्त मूल r = 2 है।
इसलिए, समांगी समीकरण का हल है:
⇒ \(C.F = C_1 x^2 + C_2 x^2 \ln(x) \)
⇒ \(y_p = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x), \)
जहाँ \(y_1(x) = x^2 \) और \(y_2(x) = x^2 \ln(x) \)
\(W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} \)
⇒ \(W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} x^2 & x^2 \ln(x) \\ 2x & 2x \ln(x) + x \end{vmatrix} \)
⇒ \(W(y_1, y_2) = x^2 (2x \ln(x) + x) - (x^2 \ln(x))(2x) \)
⇒ \(W(y_1, y_2) = 2x^3 \ln(x) + x^3 - 2x^3 \ln(x) \)
⇒ \(W(y_1, y_2) = x^3 \)
\(u_1(x) = \int -\frac{\ln^2(x)}{x} \, dx, \quad u_2(x) = \int \frac{\ln(x)}{x} \, dx \)
⇒ \(u_2(x) = \int \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \frac{\ln^2(x)}{2} \)
इसका विशेष हल है:
\(y_p = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x) \)
⇒ \(y_p = \left(-\frac{\ln^3(x)}{3}\right)x^2 + \left(\frac{\ln^2(x)}{2}\right)x^2 \ln(x) \)
⇒ \(y_p = -\frac{x^2 \ln^3(x)}{3} + \frac{x^2 \ln^3(x)}{2} \)
⇒ \(y_p = x^2 \ln^3(x) \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \)
⇒ \(y_p = \frac{x^2 \ln^3(x)}{6} \)
सामान्य हल
\(y = y_h + y_p \)
\(y_h = C_1 x^2 + C_2 x^2 \ln(x) \) और \(y_p = \frac{x^2 \ln^3(x)}{6} \) प्रतिस्थापित करते पर:
⇒ \(y = C_1 x^2 + C_2 x^2 \ln(x) + \frac{x^2 \ln^3(x)}{6} \)
और \(y' = 2x C_1 + C_2 (2x \ln(x) + x) + \frac{1}{6}( 2x \ln^3{x} +3 x \ln^2{x} ) \)
चूँकि, y(1) = 6 ⇒ \(C_1 = 6 \)
इसके अलावा y'(1) = 13
\(13 = 2C_1 + C_2 \)
\(13 = 12 + C_2 \)
\(C_2 = 1 \)
अब, सामान्य हल है:
\(y = 6 x^2 + x^2 \ln(x) + \frac{x^2 \ln^3(x)}{6} \)
\(y(e) = 6 e^2 + e^2 \ln(e) + \frac{e^2 × 1}{6} \)
\(y(e) = 7 e^2 + \frac{1}{6} e^{2} \)
इसलिए विकल्प (4) सही उत्तर है।