मानें कि y0 > 0, z0 > 0 तथा α > 1

निम्न दो अवकलन समीकरणों पर विचार करें:

\(\begin{aligned} &(*)\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d t}=y^\alpha \quad \text { for } t>0, \\ y(0)=y_0 \end{array}\right. \\ &(* *)\left\{\begin{array}{l} \frac{d z}{d t}=-z^\alpha \quad \text { for } t>0, \\ z(0)=z_0 \end{array}\right. \end{aligned}\)

हमारा कहना है कि अवकल समीकरण का हल सार्वत्रिक होगा यदि यह सभी t > 0 के लिए अस्तित्व में है।

निम्न कथनों में से कौन-सा सत्य है?

व्याख्या:

\(\frac{d y}{d t}=y^α\)

\(\Rightarrow \frac{y^{1-α}}{1-α}=t+c\)

और y(0) = y₀ ⇒ \(\frac{y_0^{1-α}}{1-α}=c\)

तब y1-α = (1 - α)t + y01-α

और यदि α > 1 ⇒ 1 - α < 0. मान लीजिये 1 - α = -a, a > 0

तब (1) y-a = -at + y0-a

⇒ \(y^a=\frac{1}{y_0^{-a}-a t}\)

तब y0-a - at = 0, हल मौजूद नहीं है।

\(\Rightarrow \quad t=\frac{y_o^{-a}}{a}=\frac{1}{a \cdot y_o^a}>o\)

(∵ y0 > 0, a > 0)

∴ (*) का कोई वैश्विक हल नहीं है

जैसे \(\frac{1}{a \cdot y_0^a}\) ∈ (0, ∞)

विकल्प (1) और (3) गलत हैं

(* *) \(\frac{d z}{d t}=-z^α\) ⇒ \(\frac{z^{1-α}}{1-α}=-t+c\)

और z0 = z(0) ⇒ \(\frac{z_0^{1-α}}{1-α}=c\)

∴ z1-α = -(1 - α)t + z01-α ....(ii)

और α > 1 के लिए ⇒ 1 - α < 0. इसलिए, मान लीजिये 1 - α = - b, b > 0

तब (ii) ⇒ z-b = bt + zo-b ⇒ \(z^b=\frac{1}{b t+z_0^{-b}}\)

और bt + z0-b​ = 0 के लिए हल मौजूद नहीं है

⇒ \( t=-\frac{z_0^{-b}}{b}=-\frac{1}{z_0^b \cdot b}\) < o

(∵ zo > o, b > 0)

इसलिए, ∀ t > 0, (* *) का हल मौजूद है

⇒​ (**) के वैश्विक हल हैं।

विकल्प (2) गलत है।

साथ ही, T < ∞के लिए, T = \(\frac{1}{a \cdot y_0 a}\)

\(\lim _{t \rightarrow T}|y(t)|=\lim _{t \rightarrow T}\left|\left(\frac{1}{y_0^{-a}-a t}\right)^{1 / a}\right| \)

\(=\lim _{t \rightarrow \frac{1}{a \cdot y_0} a}\left|\left(y_0^{\frac{1}{-a}-a t}\right)^{1 / a}\right|\)

= + ∞

∴ विकल्प (4) सही है।