महत्तम समापवर्तक MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for HCF - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

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p(x) = 2x³ – 3x² – 2x + 3 और q(x) = 3x² + 8x + 5

सिद्धांत:

दो या अधिक समीकरणों का महत्तम समापवर्त्य उच्चतम गुणनखंड होता है जो उनमें से प्रत्येक को पूर्णतः विभाजित करता है। 

गणना:

p(x) = 2x³ – 3x² – 2x + 3 के गुणनखंड

⇒ x² × (2x – 3) – 1 × (2x – 3)

⇒ (x² – 1) × (2x – 3)

⇒ (x – 1) × (x + 1) × (2x – 3)

और, q(x) = 3x² + 8x + 5 के गुणनखंड

⇒ 3x² + 5x + 3x + 5

⇒ x × (3x + 5) + 1 × (3x + 5)

⇒ (3x + 5) × (x + 1)

दिया गया है:

संख्याएँ: \(4\frac{1}{5}\), \(5\frac{2}{7}\), \(7\frac{4}{9}\)

प्रयुक्त सूत्र:

भिन्नों का महत्तम समापवर्तक (HCF) = अंशों का महत्तम समापवर्तक / हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)

गणना:

मिश्र भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें:

\(4\frac{1}{5}\) = (4 × 5 + 1)/5 = 21/5

\(5\frac{2}{7}\) = (5 × 7 + 2)/7 = 37/7

\(7\frac{4}{9}\) = (7 × 9 + 4)/9 = 67/9

अंश और हर निकालें:

अंश: 21, 37, 67

हर: 5, 7, 9

अंशों का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करें:

HCF(21, 37, 67) = 1 (चूँकि सभी सह-अभाज्य हैं)

हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें:

LCM(5, 7, 9):

अभाज्य गुणनखंड:

5 = 5¹

7 = 7¹

9 = 3²

LCM = 5¹ × 7¹ × 3² = 315

HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM

HCF = 1 / 315

\(4\frac{1}{5}\), \(5\frac{2}{7}\), और \(7\frac{4}{9}\) का HCF 1/315 है।

दिया गया है:

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 41

उनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) के अन्य दो भाजक = 14 और 17

प्रयुक्त सूत्र:

सबसे छोटी संख्या = H.C.F. x L.C.M. का दूसरा भाजक

गणना:

हम जानते हैं कि संख्याएँ H.C.F. को L.C.M. के भाजकों से गुणा करके बनाई जाती हैं।

मान लीजिए संख्याएँ हैं:

संख्या 1 = 41 x 14 = 574

संख्या 2 = 41 x 17 = 697

इनमें सबसे छोटी संख्या है: 574

दिया गया:

तेल की मात्राएँ:

प्रथम श्रेणी = 725 लीटर

द्वितीय श्रेणी = 783 लीटर

तृतीय श्रेणी = 812 लीटर

प्रयुक्त सूत्र:

बोतलों की न्यूनतम संभव संख्या ज्ञात करने के लिए दी गई मात्राओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए।

गणना:

725, 783 और 812 का HCF ज्ञात कीजिए।

अभाज्य गुणनखंड:

725 = 5 x 5 x 29

783 = 3 x 3 x 3 x 29

812 = 2 x 2 x 7 x 29

उभयनिष्ठ गुणनखंड = 29

बोतलों की न्यूनतम संभव संख्या की गणना करें:

⇒ कुल बोतलें = (725 ÷ 29) + (783 ÷ 29) + (812 ÷ 29)

⇒ कुल बोतलें = 25 + 27 + 28 = 80

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

नीम के पेड़ों की संख्या = 84

बबूल के पेड़ों की संख्या = 126

बरगद के पेड़ों की संख्या = 168

प्रयुक्त सूत्र:

आवश्यक पंक्तियों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, दी गई संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करें।

पंक्तियों की न्यूनतम संख्या = 84, 126 और 168 का महत्तम समापवर्तक

गणना:

84, 126 और 168 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करें

84 का अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 7

126 का अभाज्य गुणनखंड = 2 × 3 × 3 × 7

168 का अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 3 × 7

⇒ महत्तम समापवर्तक = 2 × 3 × 7 = 42

प्रत्येक प्रकार के पेड़ के लिए पंक्तियों की संख्या निर्धारित करने के लिए पेड़ों की कुल संख्या को महत्तम समापवर्तक से विभाजित करें।

नीम के पेड़ों के लिए पंक्तियों की संख्या = 84 ÷ 42 = 2

बबूल के पेड़ों के लिए पंक्तियों की संख्या = 126 ÷ 42 = 3

बरगद के पेड़ों के लिए पंक्तियों की संख्या = 168 ÷ 42 = 4

प्रत्येक प्रकार के पेड़ के लिए पंक्तियों को जोड़ें।

कुल पंक्तियाँ = 2 + 3 + 4 = 9

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

लकड़ी₁ की लंबाई = 143 मीटर

लकड़ी2 की लंबाई = 78 मीटर

लकड़ी3 की लंबाई = 117 मीटर

गणना:

प्रत्येक तख़्त की अधिकतम संभव लंबाई = 143, 78 और 117 का महत्तम समापवर्तक

143 = 13 × 11

78 = 13 × 2 × 3

117 = 13 × 3 × 3 

महत्तम समापवर्तक 13 है।

∴ प्रत्येक तख़्त की सबसे बड़ी संभव लंबाई 13 मीटर है।

दिया है:

दो संख्याओं का योग 288 है और उनका महत्तम समापवर्त्य 16 है।

गणना:

माना दो संख्याओं का अनुपात x : y है

इसलिए संख्याएँ 16x और 16y होंगी (म.स.प. एक संख्या का अभिन्न अंग है)

प्रश्नानुसार

16x + 16y = 288

⇒ 16(x + y) = 288

⇒ x + y = 18

x, y के जोड़े (1, 17) (5, 13) (7, 11) हो सकते हैं

इसलिए केवल 3 जोड़े हो सकते हैं।

∴ सही चयन विकल्प 1 है।

दिया गया है:

संख्याओं का अनुपात = 7 : 11

महत्तम समापवर्तक = 28

गणना:

माना संख्याएं 7x और 11x हैं

7x और 11x का महत्तम समापवर्तक x है

महत्तम समापवर्तक = x = 28

संख्याएं 7 × 28 और 11 × 28 होगी

⇒ संख्याएं 196 और 308 होगी

संख्याओं का योग = 196 + 308

⇒ संख्याओं का योग = 504

∴ संख्याओं का योग 504 है

Shortcut Trick 

ध्यान दें कि दो संख्याओं का योग पूछा गया है।

माना कि संख्याएँ 7x और 11x हैं।

संख्याएँ का योग कीजिये:

7x + 11x

⇒ 18x

अब देखिए, अंतिम संख्या 18 का गुणज होनी चाहिए, इसलिए विकल्पों में केवल 504, 18 का गुणज है।

∴ दो संख्याओं का योग 504 है।

दिया गया है:

(4315 − 1) और (425 − 1)

प्रयुक्त अवधारणा:

(a^m − 1) और (aⁿ − 1) का महत्तम समापवर्तक (a^{म.स.प. (m,n)} − 1) है।

गणनाः

म.स.प (315, 25) = 5

अवधारणा के अनुसार,

म.स.प {(4315 − 1), (425 − 1)} 

= (4^{म.स.प. (315, 25)} − 1)

= (4⁵ − 1)

= 1024 − 1

= 1023

अतः, अभीष्ट मान 1023 है।

दिया गया है:

(x3 + x2 + x + 1) और (x4 - 1) का महत्तम समापवर्तक है।

गणना:

⇒  (x3 + x2 + x + 1) = x2(x + 1) + 1(x + 1)

⇒ (x + 1) (x2 + 1)

⇒ x4 – 1 = (x2 – 1) (x2 + 1)

⇒ (x + 1) (x – 1) (x2 + 1)

∴ अभीष्ट महत्तम समापवर्तक (x + 1) (x2 + 1) है।

दिया गया है:

दो संख्याओं का गुणनफल 1521 है और इन संख्याओं का म.स.प. 13 है।

सिद्धांत:
म.स.प.: महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) दो संख्याओं के सभी समापर्वतकों में से सबसे बड़ी संख्या का चयन करके ज्ञात किया जाता है।

गणना:

माना संख्याएँ 13a और 13b हैं जैसा की इन संख्याओं का म.स.प. 13 है।

हम लिख सकते है:

13a × 13b = 1521

⇒ ab = 9

∴ एकमात्र संभव युग्म 13, 117 है

Mistake Pointsयहाँ हम a = 3 और b = 3 पर विचार नहीं करेंगे।

तब संख्या 39 और 39 होगी।

यहां महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) 39 होगा जो दी गई शर्त को पूरा नहीं करता है।

दिया गया है: 

दो धनात्मक संख्याओं का योग 240 है और उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 15 है।

गणना: 

मान लीजिए दो धनात्मक संख्याएँ 15x और 15y हैं। जहाँ x और y को अभाज्य होना चाहिए अर्थात x और y का HCH 1 होना चाहिए।

प्रश्न के अनुसार

संख्या का योग इस प्रकार है 

⇒ 15x + 15y = 240

⇒ x + y = 16

अब, हमें उन जोड़ियों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें दो संख्याओं का योग 16 है लेकिन उनके बीच कोई भी समापवर्त्य नहीं है, ऐसे जोड़े हैं

⇒ (1, 15) (3, 13) (5, 11) (7, 9)

∴ कुल संभावित जोड़े 4 हैं।

Confusion Points

हम (2, 14), (4, 12), (6, 10), (8, 8) नहीं ले सकते क्योंकि इन मामलों में जोड़ी सह अभाज्य होना चाहिए।

दिया गया है:

दो संख्याओं का गुणनफल 2160 है और उनका महत्तम समापवर्तक 12 है।

गणना:

मान लीजिये, संख्या x और y है।

प्रश्न के अनुसार,

12x × 12y = 2160

⇒ 144xy = 2160

⇒ xy = \(\dfrac{2160}{144}\) = 15

⇒ xy = 15

संभावित युग्म = (1 × 15) और (3 × 5)

∴ ऐसी संख्याओं के संभावित युग्मों की संख्या 2 है।

दिया है:

दो संख्याओं का म.स.प. 4 है और इन दोनों संख्याओं का योग 36 है।

प्रयुक्त संकल्पना:

म.स.प. की संकल्पना

म.स.प. दो या अधिक संख्याओं में महत्तम समापवर्त्य होता है।

गणना:

दो संख्याओं का म.स.प. 4 है।

माना वे दोनों संख्याएँ 4x और 4y हैं, जहाँ x और y एक दूसरे से अभाज्य हैं।

तदनुसार,

4x + 4y = 36

⇒ 4(x + y) = 36

⇒ (x + y) = 9

अब,

9 = 8 + 1

9 = 7 + 2

9 = 6 + 3

9 = 5 + 4

इन सभी स्थितियों में केवल (8,1); (7,2); और (5,4) एक दूसरे से अभाज्य हैं। इसलिए, ऐसे तीन युग्म संभव हैं।

∴ संख्याओं के ऐसे तीन युग्म संभव हैं।

दिया गया​ है

संख्याओं का अनुपात: 4 : 5 : 6

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): 180

अवधारणा:

जब तीन संख्याएँ a:b:c के अनुपात में हैं, और उनका लघुत्तम समापवर्त्य n है, तब उनका महत्तम समापवर्तक n/(abc) है।

हल:

संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) = 180/(4, 5 और 6) का लघुत्तम समापवर्त्य = 180/60 ⇒ 3

अतः उनका महत्तम समापवर्तक 3 है।
 
Alternate Methodसंख्याओं का अनुपात = 4 : 5 : 6

माना संख्याएँ 4x, 5x और 6x हैं, जहाँ x संख्याओं का HCF है।

इसलिए,

(4x, 5x, 6x) का LCM = 60x

60x = 180

इसलिए

x = 3 = संख्याओं का HCF

अतः 3 सही उत्तर है।