लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for LCM and HCF - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

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p(x) = 2x³ – 3x² – 2x + 3 और q(x) = 3x² + 8x + 5

सिद्धांत:

दो या अधिक समीकरणों का महत्तम समापवर्त्य उच्चतम गुणनखंड होता है जो उनमें से प्रत्येक को पूर्णतः विभाजित करता है। 

गणना:

p(x) = 2x³ – 3x² – 2x + 3 के गुणनखंड

⇒ x² × (2x – 3) – 1 × (2x – 3)

⇒ (x² – 1) × (2x – 3)

⇒ (x – 1) × (x + 1) × (2x – 3)

और, q(x) = 3x² + 8x + 5 के गुणनखंड

⇒ 3x² + 5x + 3x + 5

⇒ x × (3x + 5) + 1 × (3x + 5)

⇒ (3x + 5) × (x + 1)

दिया गया है:

संख्या 1: 6

संख्या 2: 29

प्रयुक्त सूत्र:

a और b का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) = (a × b) / a और b का महत्तम समापवर्तक (HCF)

6 और 29 का महत्तम समापवर्तक (HCF) = 1 (क्योंकि 6 और 29 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं)

गणना:

LCM (6, 29) = (6 × 29) / HCF(6, 29)

LCM (6, 29) = (6 × 29) / 1

LCM (6, 29) = 174

HCF (6, 29) = 1

X = LCM (6, 29) = 174

Y = HCF (6, 29) = 1

X + 4Y = 174 + 4 × 1

X + 4Y = 174 + 4

X + 4Y = 178

(X + 4Y) का अभीष्ट मान 178 है।

दिया गया है:

लघुतम समापवर्त्य = 56 × महत्तम समापवर्तक

महत्तम समापवर्तक + लघुतम समापवर्त्य = 1710

प्रयुक्त सूत्र:

महत्तम समापवर्तक × लघुतम समापवर्त्य = दोनों संख्याओं का गुणनफल

गणना:

माना, महत्तम समापवर्तक = x तथा लघुतम समापवर्त्य = 56x

इसलिए, x + 56x = 1710

⇒ 57x = 1710

⇒ x = 1710/57 = 30

तब, महत्तम समापवर्तक = 30 तथा लघुतम समापवर्त्य = 30 × 56 = 1680

पहली संख्या = 240

माना, दूसरी संख्या = a

इसलिए, 30 × 1680 = 240 × a

⇒ a = (30 × 1680)/240 = 210

∴ दूसरी संख्या 210 है। 

दिया गया:

तेल की मात्राएँ:

प्रथम श्रेणी = 725 लीटर

द्वितीय श्रेणी = 783 लीटर

तृतीय श्रेणी = 812 लीटर

प्रयुक्त सूत्र:

बोतलों की न्यूनतम संभव संख्या ज्ञात करने के लिए दी गई मात्राओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए।

गणना:

725, 783 और 812 का HCF ज्ञात कीजिए।

अभाज्य गुणनखंड:

725 = 5 x 5 x 29

783 = 3 x 3 x 3 x 29

812 = 2 x 2 x 7 x 29

उभयनिष्ठ गुणनखंड = 29

बोतलों की न्यूनतम संभव संख्या की गणना करें:

⇒ कुल बोतलें = (725 ÷ 29) + (783 ÷ 29) + (812 ÷ 29)

⇒ कुल बोतलें = 25 + 27 + 28 = 80

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

नीम के पेड़ों की संख्या = 84

बबूल के पेड़ों की संख्या = 126

बरगद के पेड़ों की संख्या = 168

प्रयुक्त सूत्र:

आवश्यक पंक्तियों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, दी गई संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करें।

पंक्तियों की न्यूनतम संख्या = 84, 126 और 168 का महत्तम समापवर्तक

गणना:

84, 126 और 168 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करें

84 का अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 7

126 का अभाज्य गुणनखंड = 2 × 3 × 3 × 7

168 का अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 3 × 7

⇒ महत्तम समापवर्तक = 2 × 3 × 7 = 42

प्रत्येक प्रकार के पेड़ के लिए पंक्तियों की संख्या निर्धारित करने के लिए पेड़ों की कुल संख्या को महत्तम समापवर्तक से विभाजित करें।

नीम के पेड़ों के लिए पंक्तियों की संख्या = 84 ÷ 42 = 2

बबूल के पेड़ों के लिए पंक्तियों की संख्या = 126 ÷ 42 = 3

बरगद के पेड़ों के लिए पंक्तियों की संख्या = 168 ÷ 42 = 4

प्रत्येक प्रकार के पेड़ के लिए पंक्तियों को जोड़ें।

कुल पंक्तियाँ = 2 + 3 + 4 = 9

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

लकड़ी₁ की लंबाई = 143 मीटर

लकड़ी2 की लंबाई = 78 मीटर

लकड़ी3 की लंबाई = 117 मीटर

गणना:

प्रत्येक तख़्त की अधिकतम संभव लंबाई = 143, 78 और 117 का महत्तम समापवर्तक

143 = 13 × 11

78 = 13 × 2 × 3

117 = 13 × 3 × 3 

महत्तम समापवर्तक 13 है।

∴ प्रत्येक तख़्त की सबसे बड़ी संभव लंबाई 13 मीटर है।

दिया गया है:

चार घंटियाँ शुरुआत में एक साथ बजती हैं और क्रमशः 6 सेकंड, 12 सेकंड, 15 सेकंड और 20 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं।

अवधारणा:

ल.स.प.: यह एक संख्या है जो दो या अधिक संख्याओं की गुणज होती है।

गणना:

(6, 12, 15, 20) का ल.स.प. = 60

सभी 4 घंटियाँ हर 60 सेकंड के बाद पुनः एक साथ बजती हैं

अब,

2 घंटे में, वे एक साथ बजती हैं = [(2 × 60 × 60) / 60] बार + 1 (शुरुआत में) = 121 बार

∴   2 घंटे में वे 121 बार एक साथ बजती हैं

Mistake Points

इस प्रकार के प्रश्न में हम मान लेते हैं कि हमने पहली घंटी बजने के बाद गिनना शुरू किया है। इसके कारण जब हम ल.स.प. की गणना करते हैं तो यह हमें दूसरी बार घंटी बजना देता है पहली बार की नहीं। इसलिए, हमें 1 जोड़ने की आवश्यकता होती है।
  

दिया गया है:

चार घंटियों के बजने का समय 12 सेकंड, 15 सेकंड, 20 सेकंड, 30 सेकंड है।

गणना:

चार घंटियों के बजने का समय 12 सेकंड, 15 सेकंड, 20 सेकंड, 30 सेकंड है।

अब हमें समय अंतराल पर लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेना होगा।

⇒ (12, 15, 20, 30) का LCM = 60

8 घंटे में कुल सेकंड = 8 × 3600 = 28800

घंटी के बजने की संख्या = 28800/60

⇒ घंटी के बजने की संख्या = 480

यदि प्रारंभ में चार घंटियाँ एक साथ बजती हैं।

⇒ 480 + 1 

∴ घंटियां 8 घंटे में 481 बार बजतीं है।

Mistake Pointsएक साथ घंटियाँ बजने लगती हैं, पहली बार घंटी के बजने को भी गिनना पड़ता है, पहली बार के बाद से घंटी के बजने की संख्या है।

हम जानते हैं कि,

दो संख्याओं का गुणनफल = ल.स. × उन संख्याओं का म.स.

माना कि दूसरी संख्या x है।

24 × x = 168 × 6

x = 6 × 7

दिया गया है:

24 आम के पेड़, 56 सेब के पेड़ और 72 संतरे के पेड़ पंक्तियों में इस तरह लगाए जाने हैं कि प्रत्येक पंक्ति में केवल एक ही किस्म के पेड़ों की संख्या समान हो।

गणना:

24 आम के पेड़, 56 सेब के पेड़ और 72 संतरे के पेड़ हैं।

पंक्तियों की न्यूनतम संख्या प्राप्त करने के लिए, हमें प्रत्येक पंक्ति में अधिकतम पेड़ चाहिए।

प्रत्येक पंक्ति में, हमें समान संख्या में वृक्षों की आवश्यकता होती है।

तो हमें महत्तम समापवर्तक की गणना करने की जरूरत है।

24, 56 और 72 का महत्तम समापवर्तक

⇒ 24 = 2³ × 3

⇒ 56 = 2³ × 7

⇒ 72 = 2³ × 3²

महत्तम समापवर्तक = 2³ = 8

न्यूनतम पंक्तियों की संख्या = (24 + 56 + 72)/8 = 152/8

⇒ 19

∴ सही चुनाव विकल्प 3 होगा।

दिया है:

म.स.प. = 24

ल.स.प. = 168

संख्याओं का अनुपात = 1 ∶ 7.

सूत्र:

संख्याओं का गुणनफल = ल.स.प. × म.स.प.

गणना:

माना कि संख्याएं x और 7x हैं।

x × 7x = 24 × 168

⇒ x² = 24 × 24

⇒ x = 24

∴ बड़ी संख्या = 7x = 24 × 7 = 168

दिया है:

550 और 700 के बीच की संख्या इस प्रकार है कि जब उन्हें 12, 16 और 24 से विभाजित किया जाता है, तो प्रत्येक दशा में शेष 5 है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

LCM लघुतम समापवर्त्य ज्ञात करने की विधि है।

गणना:

⇒ 12, 16 और 24 का लघुत्तम समापवर्त्य = 48

550 से बड़े 48 के गुणज जिनका शेषफल 5 है।

⇒ पहली संख्या = 48 x 12 + 5 = 581

⇒ दूसरी संख्या = 48 x 13 + 5 = 629

⇒ तीसरी संख्या = 48 x 14 + 5 = 677

⇒ इन संख्याओं का योग = 581 + 629 + 677 = 1887

⇒ अतः, संख्याओं का योग 1887 है।

Shortcut Trick विकल्प विलोपन विधि: शेषफल 5 को हर संख्या से घटाने का तात्पर्य है कि विकल्प 15 में हमें घटाना है क्योंकि तीनों संख्याओं का योग दिया हुआ है।

इस स्थिति में केवल 3, कोई संभावित स्थिति नहीं है।

इसलिए हमें 15 घटाना है और फिर 16 और 3 की विभाज्यता की जांच करनी है।

इस्तेमाल किया फॉर्मूला:

एन (ए∪बी) = एन (ए) + एन (बी) - एन (ए∩बी)

गणना:

100 को 3 से भाग देने पर हमें 33 . का भागफल प्राप्त होता है

3 के गुणजों की संख्या, n(A) = 33

100 को 4 से भाग देने पर हमें 25 . का भागफल प्राप्त होता है

4 के गुणजों की संख्या, n(B) = 25

3 और 4 का एलसीएम 12 . है

100 को 12 से भाग देने पर 8 . का भागफल प्राप्त होता है

12 के गुणजों की संख्या, n(A∩B) = 8

वह संख्या जो 3 या 4 का गुणज है = n(A∪B)

अब, n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

33 + 25 - 8

50

3 या 4 की कुल संख्या 50 है

प्रयुक्त अवधारणा:

भिन्न का लघुत्तम समापवर्त्य = अंश का लघुत्तम समापवर्त्य/हर का महत्तम समापवर्तक

गणना:

\(\frac{2}{4}, \frac{5}{6}, \frac{10}{8}\)=  \(\frac{1}{2}, \frac{5}{6}, \frac{5}{4}\)

⇒ (1, 5, 5) का लघुत्तम समापवर्त्य = 5

⇒ (2, 6, 4) का महत्तम समापवर्तक = 2

⇒ \(\dfrac{LCM\; of\;(1,5,5)}{HCF\;of\;(2,4,6)}\) = 5/2

∴ सही उत्तर 5/2 है।

Mistake Points कृपया ध्यान दें कि लघुत्तम समापवर्त्य का मतलब न्यूनतम उभयनिष्ठ गुणज होता है। लघुत्तम समापवर्त्य वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं (2/4, 5/6, 10/8) से पूरी तरह विभाजित हो जाती है।

इस प्रकार के प्रश्नों में, सुनिश्चित करें कि आप उनके सूत्रों का उपयोग करने से पहले भिन्नों को उनके न्यूनतम रूपों में लिख दें, अन्यथा, आपको गलत उत्तर मिल सकता है।

यदि हम भिन्नों को उनके निम्नतम रूपों में नहीं लिखते हैं तो लघुत्तम समापवर्त्य 5 है लेकिन इन 3 संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 5/2 है।

दिया गया है

संख्या का महत्तम समापवर्त्य = 13

संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य = 585

गणना:

संख्या 13a और 13b है जहां a और b सह अभाज्य हैं।

13a और 13b का लघुत्तम समापवर्त्य = 13ab

प्रश्न के अनुसार, 13ab = 585

⇒ ab = 45

⇒ ab = 5 × 9

⇒ a = 5 और b = 9 या a = 9 और b = 5

⇒ पहली संख्या = 13a

⇒ पहली संख्या = 13 × 5

⇒ पहली संख्या = 65

⇒ दूसरी संख्या = 13b

⇒ दूसरी संख्या = 13 × 9

⇒ दूसरी संख्या = 117

अभीष्ट अंतर = 117 - 65 = 52

∴ अभीष्ट अंतर = 52