परिमेय या अपरिमेय संख्याएं MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Rational or Irrational Numbers - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

2x + y = 256 

4x - y = 16

प्रयुक्त सूत्र:

(Xm)n = Xmn

गणना:

2x + y = (16)² 

2x + y = 2⁸

^{x + y = 8  ---- (1)}

4x - y = 16

2^{2x - 2y} = 2⁴

2x - 2y = 4

x - y = 2  ----(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर

हमें x = 5 प्राप्त होता है

सही उत्तर 5 है।

Additional Information

Xm × Xn  = X m+n

Xm ÷ Xn  = X m-n

(Xm)n = Xmn

दिया गया है :

x = \(\frac{ 5 ^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2}{2(2 +√3) - (2√3+ 3)}\)

प्रयुक्त सूत्र :

1² + 2² + 3² + ........ + n² = \(\frac{n (n + 1) (2n + 1)}{6}\)  ----- (1)

गणना :

52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102  का मान ज्ञात करना है 

हम निम्न को लागू कर सकते हैं

समीकरण (1) का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं [12 + 22 + 32 + 42 + ........ + 102] - [12 + 22 + 32 + 42]

इसलिए, 12 + 22 + 32 + 42 + ........ + 10² =\(\frac{10 (10 + 1) (20 + 1)}{6}\)

⇒ 385       ---- (2)

⇒ 12 + 22 + 32 + 4² = \(\frac{4 (4 + 1) (8 + 1)}{6}\)

⇒ 30       ----- (3)

समीकरण (1) को निम्न रूप में लिखा जा सकता है

⇒ x =  \(\frac{ 5 ^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2}{2(2 +√3) - (2√3+ 3)}\)

⇒ x =  \(\frac{(1^2+ 2^2+ 3^2+...... + 10^2)- (1^2+ 2^2+ 3^2+ 4^2)}{2(2 +√3) - (2+ √3)}\)

समीकरण (2) और (3) का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ x = 385- 30/[2(2 +√3) - (2+ √3)]

⇒ 355

अब, हमें \(√{(x/5 + 10)}\) को ज्ञात करना है

x का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ \(√{(355/5 + 10)}\)

⇒ \(√({71 + 10})\)

⇒ √81 = 9

∴ (x/5 + 10) के वर्ग मूल का मान 9 है। 

दिया गया है:

\(2.\overline{32} + 3.\overline{57} - 4.\overline{63} \)

प्रयुक्त संकल्पना:

अंश में दशमलव के बाद सभी अंकों से बनी संख्या (दोहराए गए अंक केवल एक बार लिए जाएँगे) और दोहराए नहीं गए अंकों से बनी संख्या के बीच का अंतर लीजिए। हर में, जितने दोहराए गए अंक हैं उतने ही नौ रखें और नौ के बाद दोहराए नहीं गए अंकों की संख्या के रूप में एक शून्य रखते हैं।

गणना:

\(2.\overline{32} + 3.\overline{57} - 4.\overline{63} \)

= (2 + \(\dfrac{32 - 0}{99}\) ) + (3 + \(\dfrac{57 - 0}{99}\) ) - (4 + \(\dfrac{63 - 0}{99}\) )

= ( \(2\dfrac{32}{99}\) ) + ( \(3\dfrac{57}{99}\) ) - ( \(4\dfrac{63}{99}\) )

अब, 2 + 3 - 4 + ( \(\dfrac{32}{99}\) + \(\dfrac{57}{99}\) - \(\dfrac{63}{99}\) )

= 1 + \(\dfrac{32 + 57 - 63}{99}\)

= 1 + \(\dfrac{26}{99}\)

= \(\dfrac{1 × 99 + 26}{99}\)

= \(\dfrac{125}{99}\)

∴ उत्तर \(\dfrac{125}{99}\) है।

गणना:

मान लीजिये, x = \(0.3\overline2\)

x = 0.32222222222    

दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर,

10x = 3.22222222 ....(1)

दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर,

100x = 32.22222   .....(2)

समीकरण (2) से समीकरण (1) को घटाने पर,

90 x = 29

x = 29/90

दिया गया है:

यदि p और q पूर्ण वर्ग हैं, तो √(p/q) हमेशा एक परिमेय संख्या होती है।

प्रयुक्त सूत्र:

यदि p = a² और q = b², जहाँ a और b पूर्णांक हैं, तो:

√(p/q) = √(a²/b²) = a/b

गणना:

मान लीजिए p = 16 (4²) और q = 9 (3²):

√(p/q) = √(16/9)

⇒ √(16/9) = √(4²/3²)

⇒ √(4²/3²) = 4/3

चूँकि, 4/3 परिमेय है, इसलिए कथन सत्य है।

∴ सही उत्तर विकल्प 3) है।

दिया गया है:

\(0.4\overline6-0.5\overline{89} +0.3\overline{33}\)

प्रयुक्त अवधारणा:

0.ab̅  = (ab - a)/90 

0.ab̅c̅ = (abc - a)/990

गणना:

 \(0.4\overline6-0.5\overline{89} +0.3\overline{33}\)

⇒ (46 - 4)/90 - (589 - 5)/990 + (333 - 3)/990

⇒ 42/90 - 584/990 + 330/990

⇒ 42/90 - 254/990 

⇒ (462 - 254)/990

⇒ 208/990 

उपरोक्त सूत्र के अनुसार,

0.ab̅c̅ = (abc - a)/990

\(0.2\overline{10}\) = (210 - 2)/990

∴ \(0.4\overline6-0.5\overline{89} +0.3\overline{33}\) का मान \(0.2\overline{10}\) के बराबर है।

दिया गया है:

0.135135....

प्रयुक्त अवधारणा:

(p/q) प्रकार की संख्याएँ, जहाँ q ≠ 0 और p और q पूर्णांक हैं, परिमेय संख्या कहलाती हैं।

गणना

माना x = 0.135135....      ---- (1)

समीकरण 1 में दोनों पक्ष में 1000 से गुणा कीजिये, हमारे पास है

1000x = 135.135...      ---- (2)

समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है

1000x - x = 135.135... - 0.135135....

⇒ 999x = 135

⇒ x = 135/999

⇒ x = 45/333

⇒ x = 5/37

∴ 0.135135.... को p/q के रूप में 5/37 लिखा जा सकता है।

प्रयुक्त संकल्पना:-

अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q शून्य के बराबर नहीं है।

Key Points

• दो अपरिमेय संख्याओं का योग या अंतर परिमेय या अपरिमेय हो सकता है।
• दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल या विभाजन परिमेय या अपरिमेय हो सकता है।

स्पष्टीकरण:-

मान लीजिए कि दो अपरिमेय संख्याएँ \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) है। इन दो संख्याओं का योग 0 है।

\(\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=0\)

यहाँ 0 परिमेय संख्या है। अत: दो अपरिमेय संख्याओं का योग एक परिमेय संख्या होती है।

अब मान लीजिए कि दो अपरिमेय संख्याएं \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) हैं, इन दो संख्याओं का योग है,

\(\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)

यहाँ, एक अपरिमेय संख्या है।अतः दो अपरिमेय संख्याओं का योग एक अपरिमेय संख्या होती है।

इसलिए, दो अपरिमेय संख्याओं का योग एक परिमेय या अपरिमेय संख्या हो सकती है।

अब, हम जानते हैं कि वास्तविक संख्या, वह संख्या है जो परिमेय या अपरिमेय संख्या दोनों हो सकती है। अतः हम कह सकते हैं कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग सदैव एक वास्तविक संख्या होती है।

अत: सही विकल्प 3 है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

\(.BC\overline{DEF}\) = \(\frac{BCDEF - BC}{99900}\)

गणना:

\(.45\overline{235}\)

⇒ \(\frac{45235-45}{99900}\)

⇒ \(\frac{45190}{99900}\)

⇒ \(\frac{4519}{9990}\)

∴ सही उत्तर \(\frac{4519}{9990}\) है।

105/112 = (15 × 7) / (16 × 7) = 15/16

प्रयुक्त सूत्र:

यदि हमारे पास \(0.a \bar b\) के रूप में संख्या है।

तब, \(0.a \bar b\) = \(ab - a\over 90\) 

इसमें बिना बार वाले अंक को संख्या से घटाया जाता है।

अब, यह भिन्न p/q के रूप में है।

गणना: 

यहाँ, हमारे पास \(0.2\bar7\) है।

साथ ही, यहाँ हमारे पास केवल एक अंक पर बार है।

साथ ही, 2 बिना बार के है इसलिए इसे अंश में 27 से घटाया जाएगा 

इसलिए, \(0.2\bar7\) = \(27 -2\over90\) = 25/90 = 5/18 

अब,, p/q के रूप में है

इसलिए, इसे p/q के रूप में 5/18 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

गणना:

परिमेय संख्या - एक संख्या जो p/q के रूप में होती है।

दिए गए विकल्प के अनुसार

⇒ \(\sqrt {{3^2} + {4^2}} \) = √25 = 5 एक परिमेय संख्या है।

⇒ \( √ {12.96} \) = 3.6 एक परिमेय संख्या है।

⇒ √125 = 5√5 एक परिमेय संख्या नहीं है।

⇒ √900 = 30 एक परिमेय संख्या है।

∴ √125 एक परिमेय संख्या नहीं है।

दिया गया है:

\(0.3\overline {35} \)

गणना:

माना x = \(0.3\overline {35} \)  -------- (1)

चूँकि दो संख्याओं की पुनरावृत्ति हो रही है, हम दोनों पक्षों को 100 से गुणा करेंगे।

⇒ 100x = 33.535 --------(2)

इसमें से समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:

⇒ 100x - x = 33.535 - 0.335

⇒ 99x = 33.200

⇒ x = \(\frac{33.2}{99}\) = \(\frac{332}{990}\)

इसलिए, \(0.3\overline {35} \) का भिन्नात्मक निरूपण \(\frac{332}{990}\) है।

⇒ 11025 = 5² × 21²

⇒ 6025 = 5² × 241

⇒ 9025 = 5² × 19²

⇒ 3025 = 5² × 11²

दिया गया है

√5 और √7

अवधारणा

परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो या तो सांत, असांत या आवर्ती होती हैं।

गणना

√5 = 2.236 और √7 = 2.64

परिमेय संख्या 2.33... और 2.64... के बीच है।

इसलिए, केवल \(2{2\over5}\) वह संख्या है जो 2.236 और 2.64 के बीच स्थित है।

∴ \(2{2\over5}\), √5 और √7 के बीच परिमेय संख्या है।