Angle with Planes MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Angle with Planes - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

যদি θ রেখা \(\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{c_1}}}\) এবং সমতল a2 x + b2 y + c2 z + d = 0 এর মধ্যেকার কোণ হয় তাহলে

\(\sin \theta = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\left( {\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} } \right)\left( {\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} } \right)}}\)

গণনা:

প্রদত্ত: রেখার সমীকরণ হল \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{{ - \;2}} = \frac{{z + 4}}{- \ 3}\) এবং সমতলের সমীকরণ হল 2x - 3y + z - 5 = 0

আমরা জানি যে রেখা \(\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{c_1}}}\) এবং সমতল a2 x + b2 y + c2 z + d = 0 এর মধ্যে কোণটিকে প্রকাশ করা হয়:

\(\sin \theta = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\left( {\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} } \right)\left( {\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} } \right)}}\)

এখানে, a1 = 1, b1 = - 2, c1 = - 3, a2 = 2, b2 = - 3 and c2 = 1

⇒ a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2 = 2 + 6 - 3 = 5

\(⇒ \sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} = \sqrt {14} \;and\;\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} = \sqrt {14} \)

\(\Rightarrow \sin \theta = \frac{5}{{14}}\)

\(\Rightarrow \theta = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{5}{{14}}} \right)\)

ধারণা:

যদি  \(\vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\) রেখা এবং সমতল \(\vec r \cdot \;\vec n = q\) এর মধ্যবর্তী কোণ θ হয়, তবে তা লেখা হয়: \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\)

গণনা :

প্রদত্ত: রেখার সমীকরণ \(\vec r = \left( {\hat i + 2\hat j - \;\hat k} \right) + \lambda \;\left( {\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right)\) এবং সমতলের সমীকরণ \(\vec r \cdot \left( {2\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right) = 6\)

এখানে, আমাদের প্রদত্ত রেখা এবং সমতলের মধ্যে কোণ নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি যে, যদি  \(\vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\) রেখা এবং সমতল \(\vec r \cdot \;\vec n = q\) এর মধ্যবর্তী কোণ θ হয়, তবে তা লেখা হয়: \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\)

এখানে, \(\vec b = \hat i - \;\hat j + \;\hat k\) এবং \(\vec n = 2\hat i - \;\hat j + \;\hat k\)

⇒ \(\vec b \cdot \;\vec n = 2 + 1 + 1 = 4\) , \(\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \;1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \;and\;\left| {\vec n} \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \;1} \right)}^2} + {{\left( 1 \right)}^2}} = \sqrt 6 \)

উপরের প্রদত্ত মানগুলিকে \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\) এ প্রতিস্থাপন করে পাই,

\(\Rightarrow \sin \theta = \frac{4}{{\sqrt 3 \times \sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

\(\Rightarrow \theta = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\)

ধারণা:

যদি  \(\vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\) রেখা এবং সমতল \(\vec r \cdot \;\vec n = q\) এর মধ্যবর্তী কোণ θ হয়, তবে তা লেখা হয়: \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\)

গণনা :

প্রদত্ত: রেখার সমীকরণ \(\vec r = \left( {\hat i + 2\hat j - \;\hat k} \right) + \lambda \;\left( {\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right)\) এবং সমতলের সমীকরণ \(\vec r \cdot \left( {2\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right) = 6\)

এখানে, আমাদের প্রদত্ত রেখা এবং সমতলের মধ্যে কোণ নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি যে, যদি  \(\vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\) রেখা এবং সমতল \(\vec r \cdot \;\vec n = q\) এর মধ্যবর্তী কোণ θ হয়, তবে তা লেখা হয়: \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\)

এখানে, \(\vec b = \hat i - \;\hat j + \;\hat k\) এবং \(\vec n = 2\hat i - \;\hat j + \;\hat k\)

⇒ \(\vec b \cdot \;\vec n = 2 + 1 + 1 = 4\) , \(\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \;1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \;and\;\left| {\vec n} \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \;1} \right)}^2} + {{\left( 1 \right)}^2}} = \sqrt 6 \)

উপরের প্রদত্ত মানগুলিকে \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\) এ প্রতিস্থাপন করে পাই,

\(\Rightarrow \sin \theta = \frac{4}{{\sqrt 3 \times \sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

\(\Rightarrow \theta = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\)

ধারণা:

যদি θ রেখা \(\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{c_1}}}\) এবং সমতল a2 x + b2 y + c2 z + d = 0 এর মধ্যেকার কোণ হয় তাহলে

\(\sin \theta = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\left( {\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} } \right)\left( {\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} } \right)}}\)

গণনা:

প্রদত্ত: রেখার সমীকরণ হল \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{{ - \;2}} = \frac{{z + 4}}{- \ 3}\) এবং সমতলের সমীকরণ হল 2x - 3y + z - 5 = 0

আমরা জানি যে রেখা \(\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{c_1}}}\) এবং সমতল a2 x + b2 y + c2 z + d = 0 এর মধ্যে কোণটিকে প্রকাশ করা হয়:

\(\sin \theta = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\left( {\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} } \right)\left( {\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} } \right)}}\)

এখানে, a1 = 1, b1 = - 2, c1 = - 3, a2 = 2, b2 = - 3 and c2 = 1

⇒ a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2 = 2 + 6 - 3 = 5

\(⇒ \sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} = \sqrt {14} \;and\;\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} = \sqrt {14} \)

\(\Rightarrow \sin \theta = \frac{5}{{14}}\)

\(\Rightarrow \theta = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{5}{{14}}} \right)\)

ধারণা:

যদি  \(\vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\) রেখা এবং সমতল \(\vec r \cdot \;\vec n = q\) এর মধ্যবর্তী কোণ θ হয়, তবে তা লেখা হয়: \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\)

গণনা :

প্রদত্ত: রেখার সমীকরণ \(\vec r = \left( {\hat i + 2\hat j - \;\hat k} \right) + \lambda \;\left( {\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right)\) এবং সমতলের সমীকরণ \(\vec r \cdot \left( {2\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right) = 6\)

এখানে, আমাদের প্রদত্ত রেখা এবং সমতলের মধ্যে কোণ নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি যে, যদি  \(\vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\) রেখা এবং সমতল \(\vec r \cdot \;\vec n = q\) এর মধ্যবর্তী কোণ θ হয়, তবে তা লেখা হয়: \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\)

এখানে, \(\vec b = \hat i - \;\hat j + \;\hat k\) এবং \(\vec n = 2\hat i - \;\hat j + \;\hat k\)

⇒ \(\vec b \cdot \;\vec n = 2 + 1 + 1 = 4\) , \(\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \;1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \;and\;\left| {\vec n} \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \;1} \right)}^2} + {{\left( 1 \right)}^2}} = \sqrt 6 \)

উপরের প্রদত্ত মানগুলিকে \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\) এ প্রতিস্থাপন করে পাই,

\(\Rightarrow \sin \theta = \frac{4}{{\sqrt 3 \times \sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

\(\Rightarrow \theta = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\)

ধারণা:

যদি θ রেখা \(\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{c_1}}}\) এবং সমতল a2 x + b2 y + c2 z + d = 0 এর মধ্যেকার কোণ হয় তাহলে

\(\sin \theta = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\left( {\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} } \right)\left( {\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} } \right)}}\)

গণনা:

প্রদত্ত: রেখার সমীকরণ হল \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{{ - \;2}} = \frac{{z + 4}}{- \ 3}\) এবং সমতলের সমীকরণ হল 2x - 3y + z - 5 = 0

আমরা জানি যে রেখা \(\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{c_1}}}\) এবং সমতল a2 x + b2 y + c2 z + d = 0 এর মধ্যে কোণটিকে প্রকাশ করা হয়:

\(\sin \theta = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\left( {\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} } \right)\left( {\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} } \right)}}\)

এখানে, a1 = 1, b1 = - 2, c1 = - 3, a2 = 2, b2 = - 3 and c2 = 1

⇒ a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2 = 2 + 6 - 3 = 5

\(⇒ \sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} = \sqrt {14} \;and\;\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} = \sqrt {14} \)

\(\Rightarrow \sin \theta = \frac{5}{{14}}\)

\(\Rightarrow \theta = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{5}{{14}}} \right)\)