Angle with Planes MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Angle with Planes - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

दिक् सदिश \(\vec{d}\) वाली रेखा और अभिलंब सदिश \(\vec{n}\) वाले समतल के बीच का कोण θ, निम्न द्वारा दिया जाता है: \(\sin θ = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}| |\vec{n}|}\)

गणना:

दिया गया है:

रेखा का समीकरण \(\frac{x+1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z-3}{6}\) है।

समतल का समीकरण \(10x + 2y - 11z = 3\) है।

रेखा का दिक् सदिश \(\vec{d} = <2, 3, 6>\) है।

समतल का अभिलंब सदिश \(\vec{n} = <10, 2, -11>\) है।

\(\vec{d} \cdot \vec{n} = (2)(10) + (3)(2) + (6)(-11) = 20 + 6 - 66 = -40\)

\(|\vec{d}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\)

\(|\vec{n}| = \sqrt{10^2 + 2^2 + (-11)^2} = \sqrt{100 + 4 + 121} = \sqrt{225} = 15\)

\(\sin θ = \frac{|-40|}{(7)(15)} = \frac{40}{105} = \frac{8}{21}\)

⇒ \(θ = \sin^{-1} \left( \frac{8}{21} \right)\)

अतः विकल्प 3 सही है।

गणना

रेखा L के दिक् अनुपात: \((3-1, 3-2, -1-(-3)) = (2, 1, 2)\)

माना समतल पर बिंदु A\((2, 1, -2)\), B\((-2, -3, 6)\), C\((0, 2, -1)\) हैं।

सदिश AB = \((-4, -4, 8)\), AC = \((-2, 1, 1)\)

समतल \(\pi\) के अभिलम्ब सदिश: AB × AC

⇒ \(\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & -4 & 8 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-8) - \hat{j}(-4+16) + \hat{k}(-4-8)\)

⇒ \(-12\hat{i} - 12\hat{j} - 12\hat{k}\)

अभिलम्ब सदिश के दिक् अनुपात: \((-12, -12, -12)\) या \((-1, -1, -1)\)

माना \(\phi\) रेखा L और अभिलम्ब सदिश के बीच का कोण है।

\(\cos \phi = \frac{|(2)(-1) + (1)(-1) + (2)(-1)|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2}}\)

⇒ \(\cos \phi = \frac{|-2 - 1 - 2|}{\sqrt{4 + 1 + 4} \sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{9} \sqrt{3}} = \frac{5}{3\sqrt{3}}\)

चूँकि, \(\theta\) रेखा और समतल के बीच का कोण है, \(\theta = 90^\circ - \phi\).

⇒ \(\cos \phi = \sin \theta = \frac{5}{3\sqrt{3}}\)

⇒ \(\sin^2 \theta = \frac{25}{27}\)

⇒ \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{27} = \frac{2}{27}\)

⇒ \(27 \cos^2 \theta = 27 \times \frac{2}{27} = 2\)

∴ \(27 \cos^2 \theta = 2\)

इसलिए विकल्प 4 सही है।

गणना

दी गई रेखा का समीकरण है:

\(\dfrac{x-(-1)}{\frac{1}{2}} = \dfrac{y-0}{1} = \dfrac{z-(-4)}{1}\)

समतल का समीकरण है:

\(2x-y+\sqrt{\lambda}z+4=0\)

\(\sin{\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{\frac{1}{2} \times 2 + 1(-1) + 1\sqrt{\lambda}}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + (1)^2 + (1)^2} \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (\sqrt{\lambda})^2}}\)

\(\Rightarrow 2\sqrt{\lambda} = \dfrac{3}{2} \sqrt{5+\lambda}\)

\(\Rightarrow \lambda = \dfrac{45}{7}\)

अतः विकल्प 3 सही है। 

संकल्पना:

दो समतल a1x + b1y + c1z + d1 = 0 और a2x + b2y + c2z + d2 = 0 के बीच का कोण किसके द्वारा दिया गया है

cosθ = \({{a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2}\over{\sqrt{ (a_1^2+b_1^2+c_1^2)}\times\sqrt{ (a_2^2+b_2^2+c_2^2)}}}\)

गणना:

माना दिए गए समतलों के बीच का कोण θ है

दिए गए समतल, x + y + z + 1 = 0 और 2x - 2y + 2z + 1 = 0  हैं

उपरोक्त समतल की तुलना समतलों के सामान्य रूप से करने पर

a1x + b1y + c1z + d1 = 0 और a2x + b2y + c2z + d2 = 0, हम प्राप्त करते हैं

a1 = 1, b1 = 1, c1 = 1, a2 = 2, b2 = -2, c2 = 2

प्रयुक्त अवधारणा के अनुसार, हमारे पास है

cosθ = \({{a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2}\over{\sqrt{ (a_1^2+b_1^2+c_1^2)}\times\sqrt{ (a_2^2+b_2^2+c_2^2)}}}\)

⇒ cosθ = \({{(1)(2)+(1)(-2)+(1)(2)}\over{\sqrt{ (1^2+1^2+1^2)}\times\sqrt{ (2^2+(-2)^2+2^2)}}}\)

⇒ cosθ = \({{(2)+(-2)+(2)}\over{\sqrt{ 3}\times\sqrt{ 12}}}\)

⇒ cosθ = \({{2}\over{\sqrt{ 3}\times2\sqrt{ 3}}}\)

⇒ cosθ = \(\frac{1}{3}\)

∴ समतलों के बीच के कोण का कोसाइन \(\frac{1}{3}\) है। 

गणना:

दिए गए प्रश्न के लिए, हम एक आकृति निम्न प्रकार बना सकते हैं;

माना कि घन की भुजा "a" है।

अब, घन के विकर्ण OE, AD, FC GB हैं।

इसलिए, OE और AD के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हमें इसे ऐसे ही अग्रसर करना होगा।

अब, दिशा निर्देशांक:

OE = (a, a, a)

AD = (a, a, −a)

FC = (−a, a, −a)

GB = (−a, a, a)

विकर्णों का दिशा अनुपात निम्न प्रकार दिया गया है;

OE = \(\rm\left\{\frac{a}{\sqrt{a^2 + a^2 + a^2}}, \frac{a}{\sqrt{a^2 + a^2 + a^2}}, \frac{a}{\sqrt{a^2 + a^2 + a^2}}\right\} = \left\{\frac{a}{\sqrt{3 a^2}}, \frac{a}{\sqrt{3 a^2}}, \frac{a}{\sqrt{3 a^2}}\right\} = \left\{\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right\}\)

AD = \(\rm\left\{\frac{a}{\sqrt{a^2+a^2+a^2}},\frac{a}{\sqrt{a^2 + a^2 + a^2}},\frac{−a}{\sqrt{a^2+a^2+a^2}}\right\}\)

⇒ AD = \(\left\{\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{−1}{\sqrt{3}}\right\}\)

⇒ OE और AD के बीच का कोण,

cos θ = \(\rm\frac{a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2}{\sqrt{\left(a_1^2+b_1^2+c_1^2\right)\cdot\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}}\)

cos θ = \(\pm \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{−1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}\cdot\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}}\)

⇒ cos θ = \(\rm\pm\frac{\frac{1}{3}}{1\times1}=\pm\frac{1}{3}\)

चूँकि, घन +ve अष्टांशक में है, इसलिए cos θ = \(\frac{−1}{3}\) को नगण्य करने पर,

⇒ cos θ = \(\frac{1}{3}\)

चूँकि cos θ का मान θ के रूप में कम होता है, और 0 से 90° तक बढ़ता है, जब θ = 0 होता है, तो cos θ = 1 होता है, जब θ = 90° होता है, तो cos θ = 0 होता है।

cos 60° = \(\frac{1}{2}\)

⇒ θ > 60°

सही उत्तर विकल्प "4" है।

संकल्पना:

• माना कि A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 और A₂x + B₂y + C₂ z + D₂ = 0 एक कोण θ पर संरेखीय दो तलों के समीकरण हैं जहाँ A₁, B₁, C₁ और A₂, B₂, C₂ तल के लंब के दिशा अनुपात हैं, तो दो तलों के बीच के कोण का कोसाइन निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(cos\theta = \left| {\frac{{{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}} \right|\)

गणना:

दिए गए तल x + 2y + z = 7 और 2x – y + z = 13 हैं। 

\(cos\theta = \left| {\frac{{1.2 - 2.1 + 1.1}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }}} \right| = \frac{1}{6}\)

संकल्पना:

दो समतलों a1x + b1y + c1z = d1 और a2x + b2y + c2z = d2 के बीच न्यून कोण θ निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

\(\rm \cos \theta = \dfrac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{\sqrt{(a_{1}^2+b_{1}^2+c_{1}^2)(a_{2}^2+b_{2}^2+c_{2}^2)}}\) ।

गणना:

दिया गया: 2x + y + z = 7 और x - y + 2z = 9।

इसका मतलब,

a1 = 2, b1 = 1, c1 = 1 और a2 = 1, b2 = - 1, c2 = 2

खोजने के लिए: समतलों के बीच का कोण

कोण θ के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके:

\(\rm \cos \theta = \dfrac{2\times 1+1\times (-1)+1\times 2}{\sqrt{(2^2+1^2+1^2)(1^2+(-1)^2+2^2)}}=\dfrac{3}{\sqrt{6\times6}}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)

⇒ θ = 60°

संकल्पना:

यदि एक रेखा का समीकरण \(\rm \frac {x-x_1}{a_1} = \frac {y-y_1}{b_1} = \frac {z-z_1}{c_1}\) है और समतल का समीकरण \(\rm a_2x+b_2y+c_2z+d=0\) है। 

तब रेखा और समतल के बीच का कोण निम्न द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

\({\rm{\sin\theta }} =\left |\frac{{{{{\rm{a}}_1}{{\rm{a}}_2} + {{\rm{b}}_2}{{\rm{b}}_2} + {{\rm{c}}_1}{c_2}} }}{{\sqrt {{\rm{a}}_1^2 + {\rm{b}}_1^2 + {\rm{c}}_1^2} \sqrt {{\rm{a}}_2^2 + {\rm{b}}_2^2 + {\rm{c}}_2^2} }}\right|\),

जहाँ \(\rm (a_1,b_1,c_1)\; \text{and} (a_2,b_2,c_2) \) रेखा और समतल के अभिलंब के दिक् अनुपात हैं। 

गणना​:

दिया गया है:

\(\rm \frac {x+1}{1} = \frac {y-1}{2} = \frac {z-2}{2}\)

रेखा का दिक् अनुपात = (1, 2, 2)

समतल का समीकरण 2x - y + √λ z + ​​4 = 0 है। 

समतल के अभिलंब का दिक् अनुपात = (2, -1, √λ)

sin \(\theta = \frac 1 3\)

अब,

\(\rm \sin \theta = \left |\dfrac{1\times 2 + 2\times (-1) + 2\times \sqrt{\lambda}}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}\sqrt{2^2+(-1)^2+(\sqrt{\lambda})^2}} \right|\\\Rightarrow \dfrac{1}{3} = \left |\dfrac{2\sqrt{\lambda}}{3 \times \sqrt{5+\lambda}}\right|\)

\(\Rightarrow \rm \left|\sqrt{5+\lambda}\right| = \left |2\sqrt{\lambda}\right|\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है,

\(\Rightarrow \rm 5+\lambda = 4\lambda\Rightarrow 3\lambda = 5\Rightarrow \lambda = \dfrac{5}{3}\)

संकल्पना:

• माना कि A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 और A₂x + B₂y + C₂ z + D₂ = 0 एक कोण θ पर संरेखीय दो तलों के समीकरण हैं जहाँ A₁, B₁, C₁ और A₂, B₂, C₂ तल के लंब के दिशा अनुपात हैं, तो दो तलों के बीच के कोण का कोसाइन निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(cos\theta = \left| {\frac{{{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}} \right|\)

गणना:

दिए गए तल 2x + 4y – 4z = 6 और λx + 3y + 9 = 0 हैं,

समीकरणों में मान रखने पर -

\(\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \left| {\frac{{2.\lambda + 4.3 - 4.\left( 0 \right)}}{{\sqrt {{2^2} + {{(4)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \sqrt {{\lambda ^2} + {3^2}} }}} \right| \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \left| {\frac{{2.\lambda + 12}}{{6.\sqrt {{\lambda ^2} + {3^2}} }}} \right|\)

∴ 7λ² -24λ + 9 = 0

संकल्पना:

दो तल ax + by + cz + d = 0 और px + qy + rz + s = 0 के बीच का कोण निम्न है

cos θ = \(\rm {ap+qb+cr\over\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{p^2+q^2+r^2}}\)

गणना:

दिए गए दो तल 2x + 3y + 3 = 0 और -3y + 2z + 5 = 0 हैं। 

उनके बीच का कोण निम्न है

cos θ = \(\rm {ap+qb+cr\over\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{p^2+q^2+r^2}}\)

cos θ = \(\rm {2\times0+3\times(-3)+0\times2\over\sqrt{2^2+3^2+0^2}\sqrt{0^2+(-3)^2+2^2}}\)

cos θ = \(\rm {-9\over\sqrt{13}\times\sqrt{13}}\)

θ = \(\rm cos^{-1} \left({-9\over13}\right)\)

संकल्पना:

यदि रेखा का समीकरण \(\rm \vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\) है और तल का समीकरण \(\rm \overrightarrow{r}. \overrightarrow{n}=d\) है, तो रेखा और तल के समानांतर दिशा में कोण α निम्न है,

\(\rm \sin α = \left | \frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{b} \right |\left | \overrightarrow{n} \right |} \right |\)  

गणना:

X - अक्ष के साथ रेखा का समीकरण निम्न है,

\(\rm \overrightarrow{b}= \hat{i}\)

तल का समीकरण 2x -3y +6z - = 0 है। 

या सदिश रूप में, \(\rm \overrightarrow{n}= 2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k}\)   

∴   \(\rm \sin α = \left | \frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{b} \right |\left | \overrightarrow{n} \right |} \right |\)

⇒ \(\rm \sin α = \frac{\left ( 2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k} \right ). \left ( \hat{i}+ 0\hat{j}+0\hat{k} \right )}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}. \sqrt{1^{2}}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{49}}\)

⇒ sin α = \(\frac{2}{7}\) 

⇒ α = sin^-1 ( \(\frac{2}{7}\) )  

⇒ α = \(\frac{2}{7}\).

सही विकल्प 2 है। 

संकल्पना:

माना कि A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 और A₂x + B₂y + C₂ z + D₂ = 0 एक कोण θ पर संरेखीय दो तलों के समीकरण हैं जहाँ A₁, B₁, C₁ और A₂, B₂, C₂ तल के लंब  का  दिशा अनुपात है, तो दो तलों के बीच के कोण का कोसाइन निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(cos\theta = \left| {\frac{{{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}} \right|\;\)

गणना

दिए गए तल 3x + 4y – 5z = 5 और 2x + 5y + 4z = 12 हैं। 

कोणों के बीच का कोण \(cos\theta = \left| {\frac{{3 \times 2 + 4\times 5 - 5\times 4}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{( - 5)}^2}} \sqrt {{2^2} + {5^2} + {4^2}} }}} \right|\)

⇒ \(cos\theta = \left| {\frac{{6}}{{\sqrt {50} \sqrt {45} }}} \right|\)

⇒ \(cos\theta = \left| {\frac{{6}}{{(5\sqrt {2}) \times (3\sqrt {5})}}} \right|\)

⇒ \(cos\theta = \left| {\frac{{2}}{{5\sqrt {10}}}} \right|\)

⇒ \(cos\theta = \left| {\frac{{2\times \sqrt{10}}}{{50}}} \right|\)

संकल्पना:

यदि θ रेखा \(\vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\) और तल \(\vec r \cdot \;\vec n = q\) के बीच का कोण है, तो निम्न दिया गया है: \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \left| {\vec n} \right|}}\)

गणना:

दिया गया है: रेखा का समीकरण \(\vec r = \left( {\hat i + 2\hat j - \;\hat k} \right) + \lambda \;\left( {\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right)\) और तल का समीकरण \(\vec r \cdot \left( {2\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right) = 6\)

यहाँ, हमें दी गयी रेखा और तल के बीच का कोण ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि θ रेखा \(\vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\) और तल \(\vec r \cdot \;\vec n = q\) के बीच का कोण है, तो निम्न दिया गया है: \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \left| {\vec n} \right|}}\)

यहाँ, \(\vec b = \hat i - \;\hat j + \;\hat k\) और \(\vec n = 2\hat i - \;\hat j + \;\hat k\)

⇒ \(\vec b \cdot \;\vec n = 2 + 1 + 1 = 4\), \(\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \;1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \;and\;\left| {\vec n} \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \;1} \right)}^2} + {{\left( 1 \right)}^2}} = \sqrt 6 \)

 \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \left| {\vec n} \right|}}\) में उपरोक्त दिए गए मानों को रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\Rightarrow \sin \theta = \frac{4}{{\sqrt 3 \times \sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

\(\Rightarrow \theta = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\)

संकल्पना:

यदि दिक्-अनुपात (a, b, c) वाली एक रेखा \(\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}\) और दिक्-अनुपात (A, B, C) वाला समतल Ax + By + Cz + D = 0 पर स्थित है, तो रेखा और समतल के बीच न्यूनकोण θ द्वारा दर्शाया जाता है:

Sin θ = \(\left|\rm \frac{aA+bB+cC}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|\)

गणना:

हमें समतल 2x – 2y + z – 5 = 0 और रेखा ​​\(\rm \frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{5}\) प्राप्त है, 

∴ समतल के दिक्-अनुपात = (A, B, C) = (2, -2, 1)

और, रेखा के दिक्-अनुपात = (a, b, c) = (3, 4, 5)

∴ Sin θ = \(\left|\rm \frac{aA+bB+cC}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|\)

= \(\left|\rm \frac{3\times2+4\times(-2)+5\times1}{\sqrt{3^2+4^2+5^2}\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}\right|\)

= \(\left|\rm \frac{6-8+5}{\sqrt{9+16+25}\sqrt{4+4+1}}\right|\)

= \(\left|\frac{3}{\sqrt{50}\sqrt{9}}\right|\)

= \(\frac{3}{5\sqrt{2}\times3}\)

= \(\frac{1}{5\sqrt{2}}\)

= \(\frac{\sqrt{2}}{10}\)

⇒ Sin θ = √2/10

इसलिए, दी गई रेखा और समतल के बीच के कोण की ज्या \(\frac{√{2}}{10}\) है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

लंबवत सदिश ज्ञात करने के लिए दो समतलों को ज्ञात करते हैं, पहले समतल में सदिश ज्ञात कीजिए और फिर उनका अनुप्रस्थ गुणनफल लीजिए।

हल:

दिया गया है, समतल बिंदुओं P(1, 4, 6), Q(-2, 5, -1) और R(1, -1, 1) से होकर गुजरता है।

चरण (1) समतल में दो सदिश ज्ञात कीजिए।

हम इसे (1, 4, 6) (-2, 5, -1) और (1, 4, 6) (1, -1, 1) से सदिश ज्ञात करके करेंगे।

चूंकि सभी तीन बिंदु समतल में हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक सदिश भी होगा।

\(\overrightarrow{u_1}=(1,4,6)-(-2,5,-1)=(3,-1,7)\)

\(\overrightarrow{u_2}=(1,4,6)-(1,-1,1)=(0,5,5)\)

चरण (2) समतल के लंबवत सदिश ज्ञात कीजिए।

यदि एक सदिश एक समतल में दो सदिशों के लंबवत है, तो यह स्वयं समतल के लंबवत होना चाहिए। चूंकि दो सदिशों का अनुप्रस्थ-गुणनफल दोनों के लिए लंबवत सदिश उत्पन्न करता है, इसलिए हम सदिश के अनुप्रस्थ गुणनफल  \(\overrightarrow{u_1}\ और \ \overrightarrow{u_2}\)  का प्रयोग करके उन्हें समाहित करने वाले समतल के लंबवत सदिश \(\overrightarrow{u}\) को ज्ञात करेंगे।

\(\Rightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u_1} \times \overrightarrow{u_2}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix} i &j & k \\ 3& -1 & 7 \\ 0&5 & 5\\ \end{vmatrix}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{u}=i(-5-35)-j(15-0)+k(15-0)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{u}=-40i-15j+15k\)

इसलिए, बिंदु P(1, 4, 6), Q(-2, 5, -1), और R(1, -1, 1) से गुजरने वाले समतल के लिए लंबवत सदिश (-40, -15, 15) है।