Skew Lines MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Skew Lines - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

গণনা

\(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-1}{4}=a\) সরলরেখার উপর একটি বিন্দু হল \((2a+1, 3a-1, 4a+1)\).

\(\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-k}{2}=\dfrac{z}{1}=b\) সরলরেখার উপর একটি বিন্দু হল \((b+3, 2b+k, b)\).

এখন, প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী সরলরেখা দুটি পরস্পর ছেদ করে, আমরা পাই \(a=\dfrac{-3}{2}\) এবং \(b=-5\).

⇒ \(k=\dfrac{9}{2}\)

অতএব, বিকল্প 3 সঠিক।

ধারণা:

দুটি সরলরেখা \(\frac{x-x_0}{a_0}=\frac{y-y_0}{b_0}=\frac{z-z_0}{c_0} \) এবং \(\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1} \) এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হল d = \(\left|\frac{\left(\vec{a}_2-\vec{a}_1\right) \cdot\left(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right)}{\left|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right|}\right|\)

গণনা:

প্রদত্ত, \(\frac{x-3}{2}=\frac{y+15}{-7}=\frac{z-9}{5} \) এবং \(\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-9}{-3}\)

∴ a₁ = \(3\hat{i} -15\hat{j}+ 9\hat{k}\) এবং b₁ = \(2\hat{i} -7\hat{j}+5\hat{k}\)

a₂ = \(-1\hat{i}+\hat{j}+9\hat{k}\) এবং b₂ = \(2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\)

⇒ a₂ - a₁ = \(-4\hat{i}+16\hat{j}+0\hat{k}\)

∴ \(\overline{\mathrm{b}}_1 \times \overline{\mathrm{b}}_2=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathrm{i}} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\ 2 & -7 & 5 \\ 2 & 1 & -3 \end{array}\right|=\hat{\mathrm{i}}(16)-\hat{\mathrm{j}}(-16)+\hat{\mathrm{k}}(16)\)

= \(16(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\)

⇒ \(\left|\bar{b}_1 \times \bar{b}_2\right|=16 \sqrt{3}\)

∴ \(\left(\overline{\mathrm{a}}_2-\overline{\mathrm{a}}_1\right) \cdot\left(\overline{\mathrm{b}}_1-\overline{\mathrm{b}}_2\right)\) = 16[-4 + 16] = (16)(12)

⇒ d = \(\frac{(16)(12)}{16 \sqrt{3}}\) = 4√3

∴ ক্ষুদ্রতম দূরত্ব 4√3।

সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2।

ধারণা:

• যদি দুটি রেখা সমান্তরাল হয়, তবে তাদের মধ্যে দূরত্ব স্থির হয়।
• দুটি সমান্তরাল রেখা \(\rm \vec{r}=\vec{a}_1 +\lambda \vec{b}\) এবং \(\rm r=\vec{a}_2 + \mu\vec{b}\) -এর মধ্যে দূরত্ব: \(\rm d=\left|\dfrac{\vec{b}\times (\vec{a}_2-\vec{a}_1)}{|\vec{b}|}\right|\) সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়।

গণনা:

দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্বের সূত্রটি ব্যবহার করে, আমরা বলতে পারি যে দূরত্ব হল \(\rm d=\left|\dfrac{\vec{b}\times (\vec{a}_2-\vec{a}_1)}{|\vec{b}|}\right|\) 

ধারণা:

• যদি দুটি রেখা সমান্তরাল হয়, তবে তাদের মধ্যে দূরত্ব স্থির হয়।
• দুটি সমান্তরাল রেখা \(\rm \vec{r}=\vec{a}_1 +\lambda \vec{b}\) এবং \(\rm r=\vec{a}_2 + \mu\vec{b}\) -এর মধ্যে দূরত্ব: \(\rm d=\left|\dfrac{\vec{b}\times (\vec{a}_2-\vec{a}_1)}{|\vec{b}|}\right|\) সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়।

গণনা:

দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্বের সূত্রটি ব্যবহার করে, আমরা বলতে পারি যে দূরত্ব হল \(\rm d=\left|\dfrac{\vec{b}\times (\vec{a}_2-\vec{a}_1)}{|\vec{b}|}\right|\) 

ধারণা:

• যদি দুটি রেখা সমান্তরাল হয়, তবে তাদের মধ্যে দূরত্ব স্থির হয়।
• দুটি সমান্তরাল রেখা \(\rm \vec{r}=\vec{a}_1 +\lambda \vec{b}\) এবং \(\rm r=\vec{a}_2 + \mu\vec{b}\) -এর মধ্যে দূরত্ব: \(\rm d=\left|\dfrac{\vec{b}\times (\vec{a}_2-\vec{a}_1)}{|\vec{b}|}\right|\) সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়।

গণনা:

দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্বের সূত্রটি ব্যবহার করে, আমরা বলতে পারি যে দূরত্ব হল \(\rm d=\left|\dfrac{\vec{b}\times (\vec{a}_2-\vec{a}_1)}{|\vec{b}|}\right|\) 

গণনা

\(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-1}{4}=a\) সরলরেখার উপর একটি বিন্দু হল \((2a+1, 3a-1, 4a+1)\).

\(\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-k}{2}=\dfrac{z}{1}=b\) সরলরেখার উপর একটি বিন্দু হল \((b+3, 2b+k, b)\).

এখন, প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী সরলরেখা দুটি পরস্পর ছেদ করে, আমরা পাই \(a=\dfrac{-3}{2}\) এবং \(b=-5\).

⇒ \(k=\dfrac{9}{2}\)

অতএব, বিকল্প 3 সঠিক।

ধারণা:

দুটি সরলরেখা \(\frac{x-x_0}{a_0}=\frac{y-y_0}{b_0}=\frac{z-z_0}{c_0} \) এবং \(\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1} \) এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হল d = \(\left|\frac{\left(\vec{a}_2-\vec{a}_1\right) \cdot\left(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right)}{\left|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right|}\right|\)

গণনা:

প্রদত্ত, \(\frac{x-3}{2}=\frac{y+15}{-7}=\frac{z-9}{5} \) এবং \(\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-9}{-3}\)

∴ a₁ = \(3\hat{i} -15\hat{j}+ 9\hat{k}\) এবং b₁ = \(2\hat{i} -7\hat{j}+5\hat{k}\)

a₂ = \(-1\hat{i}+\hat{j}+9\hat{k}\) এবং b₂ = \(2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\)

⇒ a₂ - a₁ = \(-4\hat{i}+16\hat{j}+0\hat{k}\)

∴ \(\overline{\mathrm{b}}_1 \times \overline{\mathrm{b}}_2=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathrm{i}} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\ 2 & -7 & 5 \\ 2 & 1 & -3 \end{array}\right|=\hat{\mathrm{i}}(16)-\hat{\mathrm{j}}(-16)+\hat{\mathrm{k}}(16)\)

= \(16(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\)

⇒ \(\left|\bar{b}_1 \times \bar{b}_2\right|=16 \sqrt{3}\)

∴ \(\left(\overline{\mathrm{a}}_2-\overline{\mathrm{a}}_1\right) \cdot\left(\overline{\mathrm{b}}_1-\overline{\mathrm{b}}_2\right)\) = 16[-4 + 16] = (16)(12)

⇒ d = \(\frac{(16)(12)}{16 \sqrt{3}}\) = 4√3

∴ ক্ষুদ্রতম দূরত্ব 4√3।

সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2।