समतल 2x – 3y + 6z – 11 = 0, x-अक्ष के साथ sin–1(α) कोण बनाता है। α का मान किसके बराबर है?

अवधारणा:

यदि एक रेखा \(\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}\) मौजूद है, जिसमें दिशा अनुपात (a, b, c) और एक समतल Ax + By + Cz + D = 0 है, जिसका दिशा अनुपात (A, B, C) है, तब रेखा और समतल के बीच न्यूनकोण α निम्न द्वारा दिया जाता है:

sin θ = \(\left|\rm \frac{aA+bB+cC}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|\)

गणना:

दिया गया है: समतल 2x – 3y + 6z – 11 = 0 x-अक्ष के साथ sin–1(α) कोण बनाता है। 

∴ समतल का दिशा अनुपात = (A, B, C) = (2, -3, 6)

और x-अक्ष का दिशा अनुपात = (a, b, c) = (1, 0, 0)

∴ sin θ = \(\left|\rm \frac{aA+bB+cC}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|\)

= \(\left|\rm \frac{1\times2+0\times(-3)+0\times6}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}}\right|\)

= \(\left|\rm \frac{2+0+0}{\sqrt{1+0+0}\sqrt{4+9+36}}\right|\)

= \(\frac{2}{\sqrt{49}}\)

= \(\frac{2}{7}\)

⇒ sin θ = \(\frac{2}{7}\)

⇒ θ = sin–1(\(\frac{2}{7}\))

∴ α = \(\frac{2}{7}\)

α का मान 2/7 के बराबर है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।