Vectors MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Vectors - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है कि कण का वेग v(t) = A (cos(k t), sin(k t)) है, हम समय के सापेक्ष वेग को अवकलित करके त्वरण की गणना कर सकते हैं:

a(t) = dv/dt = A (-k sin(k t), k cos(k t)).

वेग v और त्वरण a के बीच के कोण का कोसाइन इस प्रकार दिया गया है:

cos(θ) = (v · a) / (|v| |a|)

अब, डॉट उत्पाद की गणना करें v · a = (A cos(k t))( -A k sin(k t)) + (A sin(k t))(A k cos(k t)), जो इस प्रकार सरलीकृत होता है:

v · a = -A² k (cos(k t) sin(k t) - sin(k t) cos(k t)) = 0.

चूँकि डॉट उत्पाद शून्य है, इसलिए वेग और त्वरण के बीच का कोण 90° है।

इस प्रकार, सही उत्तर (D) 90 है।

गणना:

OA का x-घटक = (OA) cos 90° = 0

OB का x-घटक = (OB) cos 0° = OB

OC का x-घटक = (OC) cos 135° = - (1/√2) OC

इसलिए, परिणामी का x-घटक:

⇒ OB - (1/√2) OC ... (i)

दिया गया है कि परिणामी शून्य है, और इसलिए इसका x-घटक भी शून्य है। (i) से:

⇒ OB = (1/√2) OC ... (ii)

OA का y-घटक = OA cos 180° = - OA

OB का y-घटक = OB cos 90° = 0

OC का y-घटक = (OC) cos 45° = (1/√2) OC

इसलिए, परिणामी का y-घटक:

⇒ (1/√2) OC - OA ... (iii)

चूँकि परिणामी शून्य है, इसलिए इसका y-घटक भी शून्य है। (iii) से:

(1/√2) OC = OA

⇒ OC = √2 OA = 5√2 m

(ii) से, OB = (1/√2) OC = 5 m

इस प्रकार, OB / OC = 1/ √2 = sin(π/4)

गणना:

यदि हम आयताकार निर्देशांक अक्षों के अनुदिश उनके घटकों को जानते हैं, तो हम आसानी से दो या अधिक सदिशों को जोड़ सकते हैं। मान लीजिए हमारे पास है:

a = a_x î + a_y ĵ + a_z k̂

b = b_x î + b_y ĵ + b_z k̂

c = c_x î + c_y ĵ + c_z k̂

तब, a + b + c = (a_x + b_x + c_x) î + (a_y + b_y + c_y) ĵ + (a_z + b_z + c_z) k̂

यदि सभी सदिश X-Y तल में हैं, तो सभी z घटक शून्य हैं, और परिणामी निम्न है:

a + b + c = (a_x + b_x + c_x) î + (a_y + b_y + c_y) ĵ

यह परिमाण (a_x + b_x + c_x) और (a_y + b_y + c_y) के दो परस्पर लंबवत सदिशों का योग है।

परिणामी परिमाण आसानी से पाया जा सकता है: √[(a_x + b_x + c_x)² + (a_y + b_y + c_y)²]

X-अक्ष के साथ α कोण बना कर जहाँ: tan α = (a_y + b_y + c_y) / (a_x + b_x + c_x)

इस प्रकार, बना कोण tanα = 4/3 ⇒ α = 53^∘ है।

गणना:

परिणामी सदिश का परिमाण:

R' = √(x² + y² + 2xy cos θ)

यहाँ, x = y = a

तब, R' = √(a² + a² + 2a² cos θ)

⇒ R' = a√2 √(1 + cos π ) = 0

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है। 

परिकलन:

बिंदु A (a, 0, a) और बिंदु B (0, a, a) है।

सदिश AF निम्न होगा:

AF = a î − a ĵ

मात्रक सदिश निम्न होगा:

n̂ = (1 / √2) (î − ĵ)

अवधारणा:

• सभी माप्य राशियों को दो व्यापक श्रेणियों में विभाजित किया गया है:

व्याख्या:

• ऊर्जा एक राशि है जिसमें केवल परिमाण है। इसमे कोई दिशा की आवश्यकता नहीं है। तो यह एक अदिश है, न कि सदिश राशि।
• एक निकाय का वजन गुरुत्वाकर्षण बल को दर्शाता है। और बल में परिमाण और दिशा (जिस दिशा में वह कार्य कर रहा है) दोनों की आवश्यकता होती है।
  • तो वजन एक सदिश राशि है।
• इसी तरह गति का वर्णन करने के लिए परिमाण और दिशा (जिस दिशा में कार्यरत है) दोनों की आवश्यकता होती है।
  • तो गति एक सदिश राशि है।
• रसायन विज्ञान में, आप अध्ययन करेंगे कि एक इलेक्ट्रॉन के परमाणु प्रचक्रण में दो दिशाएं दक्षिणावर्त और वामावर्त होती हैं। तो यह एक सदिश भी होगा।

अवधारणा :

• गति: दूरी के परिवर्तन की दर को गति कहा जाता है।
  • यह एक अदिश मात्रा है।
• वेग : विस्थापन के परिवर्तन की दर को वेग कहा जाता है।
  • यह एक सदिश मात्रा है।
• अदिश मात्रा : वे भौतिक मात्राएँ जिनमें केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती है , जिन्हें अदिश मात्रा या अदिश कहा जाता है।
  • उदाहरण: द्रव्यमान, आयतन, घनत्व, समय, तापमान, विद्युत धारा, दीप्त तीव्रता, गति आदि।
• सदिश राशियाँ : जिन भौतिक राशियों में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं और सदिश जोड़ के नियमों का पालन करते हैं उन्हें सदिश राशियाँ या सदिश कहा जाता है।
  • विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, संवेग, आवेग इत्यादि।

व्याख्या:

1. समय एक अदिश मात्रा है।
2. आयतन एक अदिश राशि है।
3. गति एक अदिश राशि है।
4. वेग एक सदिश मात्रा है। तो विकल्प 4 सही है।

संकल्पना:

• सभी मापन योग्य राशियों को दो व्यापक श्रेणियों में वर्गीकृत किया जाता है:

स्पष्टीकरण:

• उपरोक्त तालिका से, यह स्पष्ट है कि बल, वेग और त्वरण सदिश राशि है क्योंकि उनके पास दिशा के साथ-साथ परिमाण दोनों भी हैं। इसलिए विकल्प 1, 2 और 3 गलत है।
• दाब को बल प्रति इकाई क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह एक अदिश राशि है क्योंकि इसमें केवल परिमाण है और यह चुने गए क्षेत्र के आकार से स्वतंत्र है। इसलिए विकल्प 4 सही है।

अवधारणा:

• सदिशों का घटकों मे विभाजन: हमारे पास एक सदिश (F) है जहां सदिश का परिमाण F है और क्षैतिज के साथ कोण θ है।

सदिश के दो घटक होते हैं: 1. ऊर्ध्वाधर घटक और 2. क्षैतिज घटक

ऊर्ध्वाधर घटक (Fy) = F Sinθ

क्षैतिज घटक (Fx) = F Cosθ 

यहाँ \(F = \sqrt {F_x^2 + F_y^2}\)

गणना:

यहाँ F₁ और F₂ X- और Y- दिशा के साथ हैं।

माना आरोपित बल F = 50

और आरोपित बल का x –घटक F_x = 30

आरोपित बल F_y का y- घटक = ?

हम जानते हैं कि बल का सदिश योग

\(F = \sqrt {F_x^2 + F_y^2}\)

\(50N = \sqrt {{{30}^2} + {F^2}}\)

अब दोनों तरफ से वर्ग करने पर

2500 = 900 + F2

\({F_y} = \sqrt {2500 - 900} = \sqrt {1600}\)

\({F_y} = 40N\)

तो विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

• चाल: दूरी में परिवर्तन की दर को चाल कहा जाता है।
  • यह एक अदिश राशि है। यह वेग का परिमाण है जो कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
• द्रव्यमान: किसी वस्तु में पदार्थ की मात्रा को उस वस्तु का द्रव्यमान कहा जाता है।
  • यह कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता है यह एक अदिश राशि है।
• वेग: विस्थापन में परिवर्तन की दर को वेग कहा जाता है।
  • यह एक सदिश राशि है जो ऋणात्मक, धनात्मक या शून्य हो सकता है।
• दूरी: दो बिंदुओं के बीच की कुल पथ लंबाई को दूरी कहा जाता है।
  • यह एक अदिश राशि है और कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती।

व्याख्या:

• जैसा कि ऊपर बताया गया है, वेग एक सदिश राशि है जो ऋणात्मक हो सकती है। तो विकल्प 3 सही है।

Additional Information

• अदिश राशियाँ: वे भौतिक राशियाँ जिनमें केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती है, इन्हें अदिश राशि या अदिश कहा जाता है।
  • एक अदिश राशि उचित संख्या के साथ एक एकल संख्या द्वारा निर्दिष्ट की जा सकती है।
  • उदाहरण: द्रव्यमान, आयतन, घनत्व, समय, तापमान, विद्युत प्रवाह, दीप्त तीव्रता आदि।
• सदिश राशियाँ: वे भौतिक राशियाँ जिनमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं और सदिश जोड़ के नियमों का पालन करती है, सदिश राशियाँ या सदिश कहलाती हैं।
  • एक सदिश राशि एक इकाई और इसकी दिशा के साथ एक संख्या द्वारा निर्दिष्ट की जाती है।
  • विस्थापन, वेग, बल, संवेग, इत्यादि।

अवधारणा:

• सभी मापने योग्य मात्राओं को दो व्यापक श्रेणियों में विभाजित किया गया है:

व्याख्या:

• ऊपर से, यह स्पष्ट है कि द्रव्यमान, लंबाई और गति अदिश राशी है क्योंकि उनके पास केवल परिमाण है । इसलिए विकल्प 1, 2 और 3 गलत हैं।

• आवेग एक सदिश राशी है क्योंकि बल एक सदिश राशी है। तो विकल्प 4 एक सदिश राशी का एक उदाहरण है।

अवधारणा :

• त्वरण (a) : किसी वस्तु के वेग के परिवर्तन की दर को त्वरण कहते हैं।
  • यह एक सदिश मात्रा है।
• अदिश मात्रा : वे भौतिक मात्राएँ जिनमें केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती है , जिन्हें अदिश मात्रा या अदिश कहा जाता है।
  • उदाहरण: द्रव्यमान, आयतन, घनत्व, समय, तापमान, विद्युत धारा, दीप्त तीव्रता आदि।
• सदिश राशियाँ : जिन भौतिक राशियों में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं और सदिश जोड़ के नियमों का पालन करते हैं उन्हें सदिश राशियाँ या सदिश कहा जाता है।
  • विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, संवेग, आवेग इत्यादि।

व्याख्या:

• त्वरण एक सदिश राशि है । तो विकल्प 1 सही है।

अवधारणा :

• बल: किसी निकाय पर लगाने के बाद होने वाली अंत: क्रिया जो निकाय की विश्राम की अवस्था या गति की अवस्था को बदलती है अथवा बदलने की कोशिश करती है बल कहलाती है।
  • यह एक सदिश मात्रा है।
• तापमान : गर्माहट की माप को तापमान कहते हैं।
  • यह एक अदिश मात्रा है।
• अदिश मात्रा : वे भौतिक मात्राएँ जिनमें केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती है , जिन्हें अदिश मात्रा या अदिश कहा जाता है।
  • उदाहरण: द्रव्यमान, आयतन, घनत्व, समय, तापमान, विद्युत धारा, दीप्त तीव्रता आदि।
• सदिश राशियाँ : जिन भौतिक राशियों में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं और सदिश जोड़ के नियमों का पालन करते हैं उन्हें सदिश राशियाँ या सदिश कहा जाता है।
  • विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, संवेग, आवेग इत्यादि।

व्याख्या:

1. विस्थापन एक सदिश राशि है क्योंकि इसे प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक निर्देशित किया जाता है।
2. तापमान एक सदिश राशि नहीं है। यह एक अदिश मात्रा है। तो विकल्प 2 सही है।
3. ड्रैग भी एक प्रकार का बल है और यह एक सदिश मात्रा है।
4. बल एक सदिश मात्रा है।

अवधारणा :

सदिशों का बिंदु गुणनफल:

• बिंदु गुणनफल संख्याओं के दो अनुक्रमों के संबंधित प्रविष्टियों के गुणनफलों का योग है।
• ज्यामितीय रूप से, यह दो सदिश के यूक्लिडियन परिमाण और उनके बीच कोण के कोसाइन का गुणनफल है।

\({{\rm{A}}_1}\cdot{{\rm{A}}_2} = \left| {\overrightarrow {{{\rm{A}}_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{{\rm{A}}_2}} } \right|\cos {\rm{θ }}\)

जहाँ \(\left| {\overrightarrow {{{\rm{A}}_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{{\rm{A}}_2}} } \right|\) दो सदिश A1 और A2 के परिमाण हैं

व्याख्या:

• दो सदिश \(\vec A\) और \(\vec B\) के बीच का कोण निम्न है

\(\Rightarrow cos\;\theta = \frac{{\vec A.\vec B}}{{\left| {\vec A} \right|\left| {\vec B} \right|}}\)

• इसलिए विकल्प 4 सही है।

संकल्पना:

भौतिक राशियां दो प्रकार के होते हैं:

वर्णन:

विद्युत क्षेत्र तीव्रता (E):

• किसी विद्युत आवेश के चारों ओर वह स्थान जिसमें इसका प्रभाव पड़ सकता है, उसे विद्युत क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। 
• किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र तीव्रता उस बिंदु पर स्थित एक इकाई धनात्मक आवेश द्वारा अनुभव किया गया बल होता है। 
• विद्युत क्षेत्र तीव्रता एक सदिश राशि है। इसे ‘E’ द्वारा दर्शाया जाता है। 
• विद्युत क्षेत्र = F/q
• E की इकाई NC-1 या Vm-1 है। 

विद्युत्स्थैतिक ऊर्जा और विद्युत्स्थैतिक विभव अदिश राशियां हैं क्योंकि इसे केवल परिमाण की आवश्यकता होती है ना की दिशा की। 

Mistake Points

• विद्युत धारा की स्थिति में जब दो धाराएं एक जंक्शन पर मिलते हैं, तो इनकी परिणामी धारा बीजगणितीय योग होगी ना की सदिश योग। 
• अतः विद्युत धारा एक अदिश राशि है हालाँकि यह परिमाण और दिशा प्रदर्शित करती है।